8.2 特殊的平行四边形 同步练习 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

8.2 特殊的平行四边形 同步练习 一、选择题： 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 2.如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是(    ) A. B. C. D. 3.数学活动课上，小深用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具小深想要让这个菱形学具成为正方形学具如图，需要添加的条件可以是(    ) A. B. C. D. 4.如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    ) A. 当时，平行四边形是矩形 B. 当时，平行四边形是菱形 C. 当时，平行四边形是矩形 D. 当且时，平行四边形是正方形 5.如图，为菱形的对角线，于点，若，则度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，点在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点的对应点恰好在线段上．若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福若最外层菱形的对角线长度分别为、，则它的两条对边的距离应为(    ) A. B. C. D. 8.如图，矩形中，于，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，矩形中，，，点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是             (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，在四边形中，，于点请添加一个条件：          ，使四边形成为菱形． 12.如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则            13.如图，两张宽为的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是          ． 14.如图，在正方形的外侧作等边三角形，则           度 15.如图，在正方形中，是对角线上一点点不与点，重合，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于点若，，则          ． 16.平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，且，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为          ． 三、解答题： 17.如图，在菱形中，，，是的中点，点是边上的一个动点不与点重合，延长交的延长线于点，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 18.如图，已知点，，，在同一条直线上，且，，． 求证：； 若，求证：四边形是菱形． 19.如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接． 若，求证：四边形为正方形 若，则的面积为          ． 20.如图，在矩形中，，． 在图中，是边上一点，垂直平分，分别交边，于点，，求证：四边形是菱形． 在图中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形的边上，并求出该菱形的边长保留作图痕迹，不写作法． 21.如图，，分别是的内、外角平分线，于点，于点且交的延长线于点，连接． 判断四边形的形状，并说明理由； 与相等吗？为什么？ 当满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 22.如图，将矩形纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，折痕交于点将图展开铺平，再沿翻折，使点的对应点落在边上，点落在点的位置，与交于点，折痕交于点，得到图将图展开铺平，再沿翻折，使点的对应点落在边上，点落在点的位置，得到图． 在图中，请判断四边形的形状，并说明理由 在图中，请判断与的数量关系，并加以证明 在图中，若，，请直接写出点到的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：菱形中，若，则四边形是正方形． 故选：． 由正方形的判定可得出结论． 本题考查菱形的性质、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型． 4.【答案】  【解析】解：当时，平行四边形是矩形，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； B.当时，平行四边形是菱形，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； C.当时，平行四边形是矩形，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； D.当且时，平行四边形是正方形，即由可得平行四边形是菱形，但是平行四边形自带属性，无法进一步证明菱形是正方形，此选项错误，符合题意； 故选：． 根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法逐一判断即可． 本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，关键是相关性质和判定定理的熟练掌握． 5.【答案】  【解析】解：于点，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：． 由于点，得，因为，所以，由菱形的性质得，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得是解题的关键． 6.【答案】  7.【答案】  【解析】解：如图，菱形的对角线、相交于点，，， ， ， ，， ， 设菱形两条对边的距离， ， ， 解得， 它的两条对边的距离应为， 故选：． 设最外层菱形为菱形，它的对角线、相交于点，，，由，得，而，，所以，设菱形两条对边的距离，则，解方程求出的值即得到问题的答案． 此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质解题关键在于利用矩形每个角都为直角和对角线相等且相互平分的性质，结合题目中的角的关系即可得出答案． 【解答】 解：四边形为矩形， ，， 为等腰三角形， ， 又：：，， ，， ． 故选C． 9.【答案】  【解析】解：将沿折叠，使点落在边上的处，，， ，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键先连接交于，连接，由矩形中，四边形是菱形，易证得≌，即可得，根据线段垂直平分线的性质可得，设设，则，根据勾股定理求出即可． 【解答】 解：如图，连接，交于，连接， 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ，  ， ， 在与中， ， ≌， ， ， 设，则， 在中：， 解得： 11.【答案】(答案不唯一)   12.【答案】  13.【答案】  【解析】如图，过点作于点，于点，根据题意得，，，四边形是平行四边形．，，，．，，，同理，，四边形是菱形，，． 14.【答案】  15.【答案】  【解析】提示：如图，连接，过点作于点，于点，则四边形为矩形所以，，所以是等腰直角三角形因为，，所以，所以因为四边形为正方形，所以，易证，所以，因为，所以，所以因为，所以，所以因为，，所以所以，所以，所以． 16.【答案】或  【解析】作于点．，，，，且，，，，，，，分两种情况：当点在点的右侧时，如图所示．以点，，，为顶点的四边形是菱形，，，点的坐标为当点在点的左侧时，如图所示．以点，，，为顶点的四边形是菱形，，，点的坐标为综上所述，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为或 17.【答案】【小题】 四边形是菱形，，，．是的中点，在和中， ，，四边形是平行四边形． 【小题】 当时，四边形是矩形理由如下：四边形是菱形，要使得平行四边形是矩形，则，即．，，．   18.【答案】【小题】 证明：， ， ， ，， ≌， ， ． 【小题】 证明：≌， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形．   19.【答案】【小题】 四边形为菱形， ． ，， ． 在和中， ， ． ， ， ， 菱形为正方形． 【小题】 作交的延长线于点，连接，如图． 四边形为矩形， ， ， 即． 四边形为菱形， ，， ， ． 在和中， ≌， ． ，， ， 的面积． 20.【答案】【小题】 证明：因为四边形是矩形，所以，所以因为垂直平分，所以，易证≌，所以所以，所以所以，所以四边形是菱形． 【小题】 解：如图，以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线被矩形两边所截的线段作菱形的对角线，连接各点，所得菱形即为矩形内面积最大的菱形，菱形即为所求．设该菱形的边长为根据勾股定理，得，解得所以该菱形的边长为．   21.【答案】【小题】 解：四边形是矩形．理由：，分别是中的内、外角平分线，，，，四边形是矩形． 【小题】 相等．理由：在和中， ≌，  由知四边形是矩形，，． 【小题】 当为等腰直角三角形且时，四边形是正方形．  理由：是等腰直角三角形且，，矩形是正方形．   22.【答案】【小题】 一题多解法 解法一：四边形是正方形． 理由：因为四边形是矩形， 所以． 由翻折的性质可知，，， 所以， 所以四边形是矩形． 又因为， 所以四边形是正方形 解法二：四边形是正方形． 因为四边形是矩形， 所以， 由翻折的性质可知，，，， 所以， 所以，所以． 又因为，， 所以， 所以四边形是菱形． 又因为， 所以四边形是正方形 【小题】 ． 证明：如解图，连接． 因为四边形是矩形， 所以，． 由可知，四边形是正方形， 所以． 由翻折的性质可知，，． 又因为，，， 所以，． 在和中， 所以斜边、直角边， 所以，所以． 又因为， 所以， 所以 【小题】 ． 【解法提示】如解图，过点作于点． 因为，，由可知，， 由翻折的性质可知，，， 所以， 所以， 即，解得．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $