2026年中考数学一轮复习13 二次函数的应用及与几何综合知识归纳与考点专练

中考一轮复习13二次函数的应用及与几何综合知识归纳与 考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（十考点） 知识归纳： 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取值范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 考点专练： 考点一：二次函数的最值问题 1.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（       ） A． B． C． D． 2.如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（　　） A．243秒 B．486秒 C．18秒 D．36秒 3．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 4．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 5.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 考点二：几何图形面积问题 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 2．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 3.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 考点三：动态几何问题 1．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（    ） A．B．C．D． 3.如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是(     ) A．B．C．D． 4．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：(　　) A． B． C． D． 5．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B． C．D． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    7.如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．           (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 考点四：销售中的利润问题 1．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 2．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 3．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元． 4.某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 考点五：生活中的抛物线问题 1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m 3.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 4.拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（       ）米. A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 6．在2025年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 7．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 8．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米． 9．如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 ． 10.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 考点六：线段、周长问题 1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得的周长最小，求出这个最小值； (3)连接，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线的距离相等，求点P的坐标． 2.抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．    (1) (2)求抛物线的解析式 (3)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和的周长 (4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 3.如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过两点，且． (1)求抛物线的解析式． (2)是抛物线第一象限内的一个动点，过作于，求的最大值． (3)是抛物线对称轴上的一个动点，连接，把线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标． 考点七：面积周长问题 1.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中．    (1)求的坐标； (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 2.如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），若的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），若，求点的坐标． 3.已知抛物线，直线． (1)记抛物线的顶点为，求关于的函数关系式； (2)设直线与抛物线相交于点，在点之间的抛物线上有一动点．求的面积的最大值． 考点八：角度问题 1.已知抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为、(点在点右侧). (1)求抛物线的表达式. (2)将抛物线沿轴向左平移个单位，所得的拋物线与轴的左交点为，与轴的交点为，若，求m的值. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式． (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标． (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点D的坐标为，连接、，点P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． 考点九：特殊三角形问题 1.已知经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点是的中点，点是轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得与全等，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十： 特殊四边形问题 1.如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点B，C． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形． ①当时，求菱形DPEQ的面积； ②当点E落在内部（不含边上）时，直接写出的取值范围． 2.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作圆，交轴于，两点，点在上．    (1)求出，两点的坐标； (2)试确定经过、两点且以点为顶点的抛物线解析式； (3)在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 中考一轮复习13二次函数的应用及与几何综合知识归纳与 考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（十考点） 知识归纳： 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取值范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 考点专练： 考点一：二次函数的最值问题 1.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（　　） A．243秒 B．486秒 C．18秒 D．36秒 【答案】C 3．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【答案】5 4．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m 5.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 【答案】2 考点二：几何图形面积问题 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 【答案】A 2．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】B 3.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】解：（1）由题意得， ∵24-3x 10， ∴x； ∴（x）； （2）， ∵-3<0，抛物线的对称轴为：直线x=4， ∴当x≥时， y随x的增大而减小， ∴当x=时，即：24-3x=10时，此时面积y有最大值为， ∴长方形的长为10m，宽为m，最大面积为m2． 考点三：动态几何问题 1．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 3.如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是(     ) A．B．C．D． 【答案】A 4．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：(　　) A． B． C． D． 【答案】A 5．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    【答案】 7.如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．           (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)1；(2)； (3)（）；（）；（） 【详解】（1）解：当点Q与点D重合时， 如图， ∵在菱形中，，． ∴． ∵过点P作， ∴， ∴， ∴, ∴ 故答案为： （2）由（1）得到，， ∵在菱形中， ∴， ∵， 即和之间的距离为； 故答案为： （3）当时，如图， ∵， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵，， ∴ 考点四：销售中的利润问题 1．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 【答案】B 2．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】C 3．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元． 【答案】25 4.某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）设y=kx+b，由图象可知，， 解得：，则y=-4x+160; （2）设销售利润为P，根据题意， 得：P=（x-20）（-4x+160） =-4x2+240x-3200， =-4（x-30）2+400， 则当x=30时，P最大值=400， 答：当售价为30元/千克时，该品种苹果的每天销售利润最大，最大利润是400元． 考点五：生活中的抛物线问题 1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m 【答案】A 3.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 【答案】C 4.拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（       ）米. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 5．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 【答案】D 6．在2025年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 【答案】B 7．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 【答案】8 8．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米． 【答案】 9．如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 10.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 【答案】设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+3. 把A(0 , 2.25)代入解得a=−0.75； 所以y=−0.75 (x−1) 2+3 当y=0时，−0.75 (x−1) 2+3=0 解得x1=−1（舍），x2=3 所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m. 考点六：线段、周长问题 1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得的周长最小，求出这个最小值； (3)连接，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：（1）将代入， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：由题意，B点关于抛物线对称轴的对称点为A，故连接，交抛物线对称轴于点E，则，此时的周长最小．    ∵二次函数解析式为， ∴由解得，，又当时，， ∴，，． ∴，，又， ∴， ∵，，， ∴， 故周长的最小值为． （3）解：过点P作于点E，作轴于点F，延长交延长线于于点G．    ∵点P到x轴的距离和点P到直线的距离相等，∴． ∵由可得，， ∴， 设，则，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 解得 ∵， ∴． 2.抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．    (1) (2)求抛物线的解析式 (3)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和的周长 (4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当的周长最小时，点M的坐标为，△MBC的周长为 (3)在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：解：将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ∴点C的坐标为． ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 连接，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．    ∵点A，B关于直线对称， ， ， ∴此时的周长取最小值． ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ，，直线的解析式为（可用待定系数法求出来）． 当时，， ∴当的周长最小时，点M的坐标为，的周长为． （3）解：∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2， ∴点Q的纵坐标为2或，如图2所示．    当时，， 解得：（舍去）， ∴点Q的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点Q的坐标为或． ∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或． 3.如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过两点，且． (1)求抛物线的解析式． (2)是抛物线第一象限内的一个动点，过作于，求的最大值． (3)是抛物线对称轴上的一个动点，连接，把线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为 (3)点坐标为或 【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，，当时，，解得：， ，， ∵抛物线经过两点，且， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于，交轴于，过点作于，过点作于，如图1， ， 设，则，， ， ，， ，， 在中，， 轴， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：设，， ∵线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上， 的中点在直线上， ， 化简得：， 当点在的上方时， 如图2，过点作轴交抛物线的对称轴于，设对称轴交于， ， 则， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 联立①②得：， 解得：， ， ， ； 当点在的下方时，如图3， ， 同理可得：， ； 综上所述，点坐标为或． 考点七：面积周长问题 1.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中．    (1)求的坐标； (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 【答案】(1)， (2)当的值最大时，此时点的坐标为，此时的最大值为 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，且点在轴的负半轴上， ∴， ∴，整理得，， ∵， ∴联立方程组得，，解得，， ∴抛物线的解析式为， 令，则，整理得，，解得，，， ∵， ∴， 令，则， ∴， ∴，． （2）解：设点到的距离为， ∴，则的最大值即的最大值， 如图所示，过点作轴交与点，    ∵，，设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线，点在上， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，且， ∴当时，取得最大值， ∴， ∴当的值最大时，此时点的坐标为，此时的最大值为． 2.如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），若的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将，分别代入， 可得， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）， ∴抛物线的对称轴为，顶点的坐标是． 设的解析式为， 联立 解得（舍） 或 ． 而 ， ， 解得， ∵点在的下方， ． （3）过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点． 设的解析式为，由（2）得． ， ， ， ， ， 又， ． ， 解得． ∵点在的下方， ， ． 3.已知抛物线，直线． (1)记抛物线的顶点为，求关于的函数关系式； (2)设直线与抛物线相交于点，在点之间的抛物线上有一动点．求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线的顶点， ∴ （2）解法一：如图，过点P作轴，交于点M．    ∵直线l与抛物线相交于点A，B，联立解析式得 ∴ 根据求根公式求得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△PAB的面积的最大值． 解法二： 如图，平移直线l得到直线l1，当直线l1与抛物线有唯一公共点时，S△PAB的值最大．    设直线l1：，得 ∴ 整理得 ∴直线l1： 设直线l1交x轴于点C，直线l交x轴于点D，则有 ，， ∴， ∵直线l与抛物线相交于点A，B，联立解析式得 ∴ ∵A，B在直线上 ∴ ∴ ∴△PAB的面积的最大值是． 解法三：平移直线l得到直线l1，当直线l1与抛物线有唯一公共点时，的值最大． 设直线，得 ∴ ∴ ∴直线l1： 设直线l1交x轴于点C，直线l交x轴于点D，则有 ，， ∴， ∴由题意可知直线l与直线l1的距离 由勾股定理得A，B两点间的距离为 由解法一、二可得： ∴ ∴． 考点八：角度问题 1.已知抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为、(点在点右侧). (1)求抛物线的表达式. (2)将抛物线沿轴向左平移个单位，所得的拋物线与轴的左交点为，与轴的交点为，若，求m的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为、 解得： 抛物线的表达式为：； （2）抛物线的表达式为： 令，得； 解得：，， ，， 平移后的抛物线的解析式为： 当时， 所得的抛物线与轴的左交点为， ， ， ， ，即 解得：或    2.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式． (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标． (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得 ， 把代入，得 ，解得， 抛物线得解析式为； （2）解：由（1）得：， 如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，    轴， ， ， 即， ， 设D点的坐标为 ，则 ， ，， ∴ 解得（舍去），， 当时，， 点D的坐标为； （3）解：如图，    ∵，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设 ， ， 解得 ， 点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到是问题的解题关键，本题综合难度不大． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点D的坐标为，连接、，点P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线， 当时，， ， （2）解：当在轴右侧时，如图： 设， ，， ， 过点作的垂线，交于， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， 解得，（舍）， ， 当在轴左侧时，如图： 设， ，， 同理可得：， 解得，（舍）， ， 综上所述：或． 考点九：特殊三角形问题 1.已知经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点是的中点，点是轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得与全等，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：过原点的抛物线与轴的另一个交点为． 令，则，解得，， ， 抛物线， 抛物线的对称轴为， ，抛物线的对称轴为直线； （2）点是的中点， ， ①当时，    ， ，， ，， ，抛物线， ， ； ②当时，过点作轴于，    ， ， ， 设， ，解得，（舍去）， 点 ， 综上所述：存在，点的坐标为或． 2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形， ， 或 ， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或 ， 或 ， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或 ，或 ，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或， 或， 或， 或， 【详解】（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则， 解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴ ， 解得 ， ∴， ； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为 ， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴ ， 或 ， ； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴， 解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴ ， ∴ ， 或 ， ， 即满足条件的点，或 ， 或 ， ； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴顶点，， 设，， ①当时，， 解得或舍， ∴，； ②当时，， 解得 或 ， ∴ ，或 ，； ③当时，， 解得， ∴，； 综上所述：点坐标为，或 ，或 ，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，， 解得， ∴，； ②当时，， 解得 ， ∴， 或， ； ③当时，， 解得 或 ， ∴， 或， ； 综上所述：点坐标为，或， 或， 或， 或， ． 考点十： 特殊四边形问题 1.如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点B，C． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形． ①当时，求菱形DPEQ的面积； ②当点E落在内部（不含边上）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；② 【详解】（1）解：∵直线经过点B，C 令，则，令，则， ∴， 代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． （2） ， ， ①当时， ， 解得， ， 四边形DPEQ是菱形， 关于对称， ， ， ， 菱形DPEQ的面积为， ②四边形DPEQ是菱形， 关于对称， ， 设， 当在轴上时,，， 当在上时，，． 当点E落在内部（不含边上）时，的取值范围为． 2.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【答案】(1) (2)0或1 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线与x轴相交于点C． ∴点， ∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或或（舍去）或， 综上所述，m的值为0或1． 3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作圆，交轴于，两点，点在上．    (1)求出，两点的坐标； (2)试确定经过、两点且以点为顶点的抛物线解析式； (3)在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）作于点E，连接， ∵，半径， ∴， ∴， ∴；    （2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为或， 当抛物线的顶点P的坐标为时，设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， ∴； 当抛物线的顶点P的坐标为时，设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， ∴； （3）假设存在点D使线段与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴且， ∵轴， ∴点D在y轴上， 当抛物线为时， ∵， ∴，即， 又满足， ∴点D在抛物线上， 存在使线段与互相平分； 当抛物线为时， ∵， ∴，即， ∵不满足， ∴不存在使线段与互相平分； 综上，存在使线段与互相平分． 学科网（北京）股份有限公司 $