中考一轮复习12二次函数图象与性质知识归纳与考点专练 2026 年人教版数学九年级下册（十考点）

中考一轮复习12二次函数图象与性质知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（十考点） 知识归纳： 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时， y最小值= 当x=–时， y最大值= 顶点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 四、抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 3．注意 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 五、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 考点专练： 考点一：二次函数的定义 1.下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3.若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 考点二：二次函数的图像和性质 1.下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A． B． C． D． 3.已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 4.二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0 5.二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　． 6.已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1.如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点四：二次函数平移变换问题 1.将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（    ） A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点． 2.将抛物线进行以下平移，平移后的抛物线顶点恰好落在坐标轴上的是（    ） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 3.在平面直角坐标系中将抛物线沿轴平移后的顶点恰好落在了轴上，则正确的平移方式为（    ） A．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位 C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位 4.将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.将抛物线平移，使得平移后的抛物线与轴相交于、两点，若，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 考点五：已知抛物线对称的两点求对称轴 1.已知二次函数，其图象过点，则h的值应该是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2.如果抛物线经过，那么抛物线的对称轴是 ． 3.在平面直角坐标系中，二次函数过点，，直线与抛物线交于，两点，取中点，则的横坐标为 ． 考点六：根据二次函数的性质求最值 1.已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（        ） A． B． C． D．5 3.若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（   ） A． B． C． D．2 4.对于二次函数，已知，当时，有下列说法： ①若y的最大值为，则； ②若y的最小值为，则； ③若，则y的最大值为． 则上述说法（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确 考点七：根据二次函数的最值求字母的取值范围 1.二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，当时，函数值随x增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点八： 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 1.已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点九：二次函数与一次函数 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C． D． 2.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 考点十：二次函数与方程、不等式 1.如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1或x＞3 2.若抛物线y＝x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 　 　． 3.如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 ． 4.画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【答案】 中考一轮复习12二次函数图象与性质知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（十考点） 知识归纳： 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时， y最小值= 当x=–时， y最大值= 顶点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 四、抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 3．注意 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 五、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 考点专练： 考点一：二次函数的定义 1.下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 3.若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 【答案】A． 考点二：二次函数的图像和性质 1.下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【答案】A． 4.二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0 【答案】C． 5.二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　． 【答案】﹣2． 6.已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1.如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 2．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B． 考点四：二次函数平移变换问题 1.将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（    ） A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点． 【答案】B 2.将抛物线进行以下平移，平移后的抛物线顶点恰好落在坐标轴上的是（    ） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 3.在平面直角坐标系中将抛物线沿轴平移后的顶点恰好落在了轴上，则正确的平移方式为（    ） A．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位 C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位 【答案】C 4.将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 5.将抛物线平移，使得平移后的抛物线与轴相交于、两点，若，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】D 考点五：已知抛物线对称的两点求对称轴 1.已知二次函数，其图象过点，则h的值应该是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 2.如果抛物线经过，那么抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 3.在平面直角坐标系中，二次函数过点，，直线与抛物线交于，两点，取中点，则的横坐标为 ． 【答案】 考点六：根据二次函数的性质求最值 1.已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 【答案】A 2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（        ） A． B． C． D．5 【答案】C 3.若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 4.对于二次函数，已知，当时，有下列说法： ①若y的最大值为，则； ②若y的最小值为，则； ③若，则y的最大值为． 则上述说法（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确 【答案】C 考点七：根据二次函数的最值求字母的取值范围 1.二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知函数，当时，函数值随x增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 考点八： 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 1.已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 考点九：二次函数与一次函数 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 2.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 考点十：二次函数与方程、不等式 1.如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1或x＞3 【答案】C． 2.若抛物线y＝x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 　 　． 【答案】9． 3.如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 ． 【答案】x＜﹣1或x＞3． 4.画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【答案】函数图象见解析；（1）；（2） 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，解得：， ∴抛物线与轴的交点为， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 关于对称轴对称的点为， 函数的图象，如图所示， （1）根据函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． （2）当时，， 当时，， 又∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $