精品解析：青海果洛藏族自治州玛多县2024-2025学年高三下学期数学三模试卷

2024-2025学年玛多县高考数学三模试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 3. 定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为 A. B. C. D. 4. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 240 B. 264 C. 274 D. 282 5. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 12. 已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________. 14. 若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________. 15. 已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_________. 16. 为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. （1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数，为的导数，函数在处取得最小值． （1）求证：； （2）若时，恒成立，求的取值范围． 19. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）若，，求的值； （2）若，求的值. 20. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于、两点，求的面积. 21. 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围. 22. 在四棱锥中，底面是平行四边形，底面． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年玛多县高考数学三模试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值. 【详解】解法一：由，所以，由条件可得，对任意的，所以是等差数列，，要使最小，由解得，则. 解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值. 故选：A 【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题. 2. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 所以， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，此时， ， 点在以为焦点的椭圆上，， 由椭圆的定义得， 所以椭圆的离心率，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 3. 定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】由（）★★ ，得（+2）★★， 又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018， 又◆◆，◆， 所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020， 所以（◆2020）（2020★2018）， 故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 4. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 240 B. 264 C. 274 D. 282 【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长交于点， 其中，，， 所以表面积. 故选B项. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 5. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用复数几何意义计算. 【详解】设，由已知，，所以点在单位圆上， 而，表示点 到的距离，故. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决. 6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案 【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接， 因为，所以， 所以， 由椭圆的定义可得，则， 又因为，所以， 所以椭圆的方程为， 故选：D 7. 设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法求出，然后计算． 【详解】， ∴． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 8. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集． 【详解】由，解得，故． 依题意，所以． 故选：C 9. 已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得. 故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 10. 如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值． 【详解】由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，， 又， ． ， 则， 设异面直线与所成角为，则，为锐角， ，所以． 故选：D． 11. 已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率. 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 12. 已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由即可表示之间的关系. 【详解】由题可知，等比数列中，且公比为2，故 故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，，从而可求得，得斜率． 【详解】由得，即 联立得 解得或，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法． 14. 若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由双曲线C：（，， 可得一条渐近线，一个顶点， 所以，解得， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 15. 已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_________. 【答案】2889 【解析】 【分析】先计算集合中最小的数为，最大的数，可得，求和即得解. 【详解】当时，集合中最小数； 当时，得到集合中最大的数； 故答案为：2889 【点睛】本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 16. 为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________． 【答案】100. 【解析】 【详解】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数． 详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为， ∴样本中三等品的件数为. 点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. （1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）3360元；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失； （2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值． 【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则 ； （2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户）， 随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2； 计算P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， 所以X的分布列为； X 0 1 2 P 数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝． 【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题． 18. 已知函数，为的导数，函数在处取得最小值． （1）求证：； （2）若时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证； （2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，，分析可得的最小值为，分，讨论即得解. 【详解】（1）由题意， 令，则，知为的增函数， 因为，， 所以，存在使得，即． 所以，当时，为减函数， 当时，为增函数， 故当时，取得最小值，也就是取得最小值． 故，于是有，即， 所以有，证毕． （2）由（1）知，的最小值为， ①当，即时，为的增函数， 所以， ， 由（1）中，得，即． 故满足题意． ②当，即时，有两个不同的零点，， 且，即， 若时，为减函数，（*） 若时，为增函数， 所以的最小值为． 注意到时，，且此时， （ⅰ）当时，， 所以，即， 又 ， 而，所以，即． 由于在下，恒有，所以． （ⅱ）当时，， 所以， 所以由（*）知时，为减函数， 所以，不满足时，恒成立，故舍去． 故满足条件． 综上所述：的取值范围是． 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题. 19. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）若，，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ，即， 解得或（舍），所以； （2）由及得，， 所以， 又因为，所以， 从而，所以. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题. 20. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于、两点，求的面积. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）计算出直线截圆所得弦长，并计算出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由得，故直线的普通方程是. 由，得，代入公式得，得， 故曲线的直角坐标方程是； （2）因为曲线的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则弦长. 又到直线的距离为， 所以. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 21. 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) . 【解析】 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围． 详解：（1）当时， 可得的解集为． （2）等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 22. 在四棱锥中，底面是平行四边形，底面． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得：， ， 底面， 平面， ； （2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，， 设平面的法向量为，由可得：，令，则， 设平面的法向量为，由可得:，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 则， ，故二面角的正弦值为. 【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $