微专题03 角平分线的相关问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

微专题03 角平分线的相关问题 题型1 直接求角的度数 题型特征：已知角平分线和一个角的度数，求其他相关角的度数。 解题核心：直接应用角平分线定义。 1．（23-24七年级上·广东韶关·期末）完成下面的解答过程． 如图，是直角的角平分线，是的角平分线，若，求的度数．    解：∵是直角， ∴． ∵是直角的角平分线， ∴____________． ∵， ∴____________． ∵是的角平分线， ∴____________． 【答案】，，，，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，即可得出答案，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵是直角的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：，，，，，． 2．（25-26七年级上·山东济南·月考）如图，是的角平分线，是的角平分线，如果，，求的度数． 解：是的角平分线，， ___________， 是的角平分线，， ______________________． ____________________________________________ 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． 根据是的角平分线，，可以求出，是的角平分线，，得出，两角相加得． 【详解】解：是的角平分线， ， 是的角平分线， ， ． 故答案为：，，，，，，． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，点在直线上，过点作射线和是的角平分线，已知，求． 解：， _____________， 是的角平分线， __________________________°， __________________________°， _____________° 【答案】，，60，，120，40 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系以及角平分线的定义，由题目所提供的解题过程进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，60，，120，40． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线．求：的度数． 解：因为①________（如图）， ，（已知）， 所以②________． 因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）． 所以⑤________． 所以⑥________． 【答案】；；；角平分线的定义；； 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义；根据图形可得，根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：因为（如图）， ，（已知）， 所以． 因为为的角平分线（已知）， 所以（角平分线的定义）． 所以． 所以． 故答案为：；；；角平分线的定义；；． 5．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)若，试说明平分．请你将它补充完整： 平分， _______（角平分线的定义）， ， _______（垂直的定义）， ， （_______）， 平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)； (2)，，，同角的余角相等（或等量代换）． 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义及判定，互余、互补的概念及计算，掌握角度的和差，以及互余、互补的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由垂直的定义，平角为，得到，，再根据同角的余角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴，， ∴（同角的余角相等（或等量代换））， ∴平分（角平分线的定义）． 故答案为：，，，同角的余角相等（或等量代换）． 6．（25-26七年级上·山东聊城·期末）点为直线上一点，在直线同侧作射线，，使得． (1)如图1，过点作射线使得射线为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得射线为的角平分线，过点作射线使得射线为的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，求出，再由三角形内角和定理计算答案即可． （2）先求出，根据角平分线的定义得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：平分，且， ， ． ， ； （2）解：为的角平分线，为的角平分线， ，． ， ， ， ． 6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图1，过点作射线使得为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得为的角平分线，过点作射线使得为的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，求出，再由三角形内角和定理计算答案即可． （2）先求出，根据角平分线的定义得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：为的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 为的角分线，为的角平分线． ，， ， ． 题型2 双角平分线问题 题型特征：一个角被两条射线分成多个部分，其中两条射线分别是不同角的平分线。 解题核心：分别利用每条角平分线的定义，将相关角相加或相减。 1．（22-23七年级下·山东·期中）已知，在内部作角，是的角平分线，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，利用角平分线平分角，以及角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，为角平分线， ∴； ∵，为角平分线， ∴； ∴．    【点睛】本题考查与角平分线有关的计算．解题的关键是正确的画图，利用数形结合的思想进行求解． 2．（22-23七年级上·山东济南·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，如果，，求的度数． 解：是的角平分线， ， 是的角平分线， _______________________． 【答案】，，，，，，， 【分析】根据是的角平分线，，可以求出，是的角平分线，，得出，两角相加得． 【详解】解：是的角平分线， ， 是的角平分线， ， ． 故答案为：，，，，，，，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得：，，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴． 4．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及用代数式表示规律，根据角平分线的性质可得，，，，得出即可． 【详解】解：∵，射线是的角平分线， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质以及用代数式表示，根据角平分线的性质可得，，，，结合即可． 【详解】解：∵，射线是的角平分线， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， 则， 故选：D． 6．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)猜想的度数不随的改变而改变．证明见解析 (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 题型3 角平分线与角度计算（含比例或和差关系） 题型特征：角平分线与已知角的和、差、倍数或比例关系结合。 解题核心：设未知数建立方程，利用平角为180°或周角为360°列出方程求解。 1．（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据角平分线的意义分别得出，，从而可得，再利用角的和得出，从而可利用，求得，再根据角平分线的意义求得． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 2．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）已知，是的角平分线，射线将分成的两部分，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，能够根据角平分线表示相关的角之间的倍分关系，再根据角的和差进行计算； 先根据角平分线定义求出和的度数，再根据比例关系求出分的两种情况下的度数，最后利用角的和差关系求出的度数 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵将分成的两部分， ∴当时，，， 则； 当时，，， 则， 故答案为：或． 3．（22-23七年级上·山东德州·期末）点O为直线上一点，在直线AB上侧任作一个，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，请求出与之间的倍数关系， (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）设，求出，由平分，得，最后由，求出即可； （2）设，求出，由平分、平分 ，求出即可； （3）由（2）得，由，求出，最后利用平分即可求解． 【详解】（1）设 ∴ 又∵平分 ∴         又∵ ∴     ∴ （2）设     ∵ ∴ 又∵平分     ∴ 又∵平分    ∴ ∴ ∴ （3）由（2）得： 即 又∵ ∴ 又∵平分 ∴ 【点睛】此题主要考查角度的求解；解题的关键是熟知角平分线的定义及角的和差关系. 4．（2024六年级下·山东济宁·竞赛）在数学活动课上，老师和同学们开展了以“线段与角的共性”为主题的数学活动．研究发现线段中点的概念与角平分线的概念类似，甚至它们在计算方法上也有类似之处，它们之间的题目可以互相转化，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)会用数学的眼光观察： ①若，，则的长度为______； ②若，，则的长度为______； (2)会用数学的语言表达：“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作，的角平分线，． ③若，则的度数为______； ④若，则的度数为______； (3)会用数学的思维分析：“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作，的角平分线，．若，则的度数为______． 【答案】(1)①3；② (2)③；④ (3) 【分析】本题考查线段中点的性质，角平分线的性质． （1）把看成，再利用线段中点的性质即可； （2）把看成，再利用角平分线的性质即可； （3）把看成，再利用角平分线的性质即可． 【详解】（1）解：是的中点，是的中点， ，， ， ①， ； ②， ； （2）平分，平分， ，， ， ③， ； ④， ； （3）平分，平分， ，， ， ， ． 5．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【发现问题】（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若．则的度数是______； 【类比探究】（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，请直接写出____________°．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差． （1）根据角平分线性质可求，根据即可解答； （2）由题意可得，进而求出； （3）根据角平分线性质可得，，进而求出． 【详解】解：（1）平分，平分， ，， ，； 故答案为：； （2），，， ， ； （3），， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 即， 故答案为：． 6．（24-25六年级下·山东淄博·月考）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是∶ [问题提出]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [变式提升]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [拓展延伸]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解． 【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； ②∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又， ∴， 故答案为：； [变式提升]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴ ， 又， ∴， 故答案为：； ②∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又， ∴， 故答案为：； [拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴ ， 又， ∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又， ∴． 题型4 角平分线性质的应用 题型特征：利用“角平分线上平分角”这一性质对实际问题进行证明或计算。 解题核心：当题目中出现角平分线条件时，优先考虑此性质。 1．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建三明·期末）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟；②，理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图1，点，，在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则__________； 【问题探究】 （2）如图2，点，，不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义及角度和差关系． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合； （2）有题意得，结合角平分线得，结合即可； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可． 【详解】解：（1）∵点、、在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）．理由： ∵是内的一条射线， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由： ∵平分，平分， ∴． ∵是内的一条射线， ∴， ∴， 则． ∵， ∴． 4．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题背景】 小明在学习了角平分线的知识后，作如下几何图形：如图，在外部作射线，且． 【问题提出】 （1）如图，若，平分，平分，求的度数． 【问题推广】 （2）如图，若，从点出发在外部作射线，满足，若平分，平分． 求的度数； 请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义先得到，由得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可得，从而得到的度数； （2）分两种情况讨论：当靠近外侧时，当靠近外侧时，分别先求出、的度数，结合已知的，可求得的度数，再由角平分线的定义和角之间的和差关系求得的度数即可； 同分两种情况讨论，分别求出的度数，即可得解． 【详解】解：（1），平分，， ，， ， 平分， ， ； （2）当靠近外侧时，如图所示， ，． ， ， ，即， ， ， 平分，平分， ，， ； 当靠近外侧时，如图所示， ，． ， ， ，即， ， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数为或； 当靠近外侧时， ，， ； 当靠近外侧时， ，， ； 综上，的值为或． 5．（25-26七年级上·四川达州·期末）如图，点为直线外一点，，，，，为直线上顺次排列的五个点，连接，，，，．下列四个结论：①若，平分，平分，则；②若为的中点，，则；③若，则；④若平分，平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】对每个结论逐一进行分析：利用角平分线的定义，将表示为和的一半，再结合进行计算．设线段长度，通过中点性质和已知条件推导线段之间的关系．分析与的关系，判断其比例是否必然成立．列出所有以为顶点的角，利用角平分线的性质进行求和，验证其与的关系． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，故①正确． ②设，， ∵为的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确． ③∵和是直线上的线段，和是由点出发的角， ∴的比例与的比例没有必然联系，故③错误． ④∵平分，平分， ∴，， ∴， 以为顶点的角有：，，，，，，，，，， 它们的和为： ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、线段中点的性质、角的和差计算以及线段的和差计算，熟练掌握角平分线和线段中点的性质，并能进行严谨的逻辑推理是解题的关键． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①7；②         （3）4分钟、8分钟、16分钟、20分钟     （4）①；②   【分析】本题考查线段的中点，角的平分线，线段的三等分点，角的三等分线，线段的n等分点，角的n等分线的性质； （1）根据角平分线的性质即可解答； （2）①根据线段的中点，线段的三等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的三等分线的性质即可解答； （3）根据角的三等分线的性质求出经过时扫过的角度即可解答； （4）①根据线段的中点，线段的n等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的n等分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴； （2）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是上最靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条三等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， 在到过程中， 当时，需要（分钟）； 当时，需要（分钟）； 在到过程中， 当共扫过时，需要（分钟）； 当共扫过时，需要（分钟）； ∴激光过4分钟，8分钟，16分钟，20分钟时经过的三等分线； （4）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是最靠近点的一个等分点， ∴， ∵点是的中点， ， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03角平分线的相关问题 直接求角的度数 双角平分线问题 角平分线的相关问题 角平分线与角度计算（含比例或和差关系） 角平分线性质的应用 德点型破 题型1直接求角的度数 啸方法 题型特征：己知角平分线和一个角的度数，求其他相关角的度数。 解题核心：直接应用角平分线定义。 1.(23-24七年级上广东韶关期末)完成下面的解答过程 如图，OE是直角∠AOB的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，若LEOD=70°，求∠BOC的度数. 解：：∠AOB是直角， .∠A0B=90°. :OE是直角∠AOB的角平分线， 280E-2 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠E0D=70°， .∠BOD=LE0D-∠ :OD是∠BOC的角平分线， .∠B0C=2L=°. 2.(25-26七年级上·山东济南·月考)如图，OB是∠A0C的角平分线，0D是∠C0E的角平分线，如果 ∠A0B=40°，LC0E=60°，求∠BOD的度数. 解：OB是∠AOC的角平分线，∠A0B=40°， ∠BOC= =40°， :0D是∠C0E的角平分线，∠C0E=60°， ∴.∠COD= 2 LB0D=∠C0D+ 0+ 3.(25-26七年级上山东青岛期末)如图，点A在直线BC上，过点A作射线AD和 ☑CAD3∠乙CAE,AF是∠BAE的角平分线，已知∠CAF=150°，求☑ D B 解：∠CAF=150°，∠BAF+∠CAF=180°， .LBAF=180°-∠ =30°， :AF是∠BAE的角平分线， LBAE=2∠ ∠CAE=180°-∠ ∠C4D=!∠CAE= 3 4.(25-26七年级上山东青岛期末)完成下列说理过程： 如图，LA0B=70°，∠A0C=20°，0D为∠B0C的角平分线.求：∠AOD的度数. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 解：因为LBOC=LAOB-① （如图)， ∠A0B=70°，∠A0C=20°（已知）， 所以LB0C=② 因为0D为∠BOC的角平分线（已知）， 所以∠C0D=③ ∠BOC(④ 所以LC0D=⑤ 所以∠AOD=∠AOC+∠C0D=⑥ 5.(24-25七年级下山东枣庄·月考)如图，直线AB与CD相交于点0，OE平分∠B0C. F B D E A (1)当LC0E=27°时，求∠A0D的度数； (2)若OF⊥OE,试说明OF平分∠BOD,请你将它补充完整： :OE平分∠B0C, .LB0E=∠ (角平分线的定义)， :0F⊥OE, ∠EOF= (垂直的定义)， .∠BOE+∠ =90°，∠COE+∠DOF=90°， LB0F=∠D0F(), :,OF平分∠BOD(角平分线的定义). 6.(25-26七年级上山东聊城期末)点O为直线AB上一点，在直线AB同侧作射线OE,OF,使得 ∠E0F=72°. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，过0点作射线0C使得射线0C为LA0E的角平分线，且∠A0C=14°，求∠B0F的度数. (2)如图2，过0点作射线0C使得射线0C为∠A0E的角平分线，过0点作射线0D使得射线0D为 ∠BOF的角平分线，求∠COD的度数. 6.(24-25七年级上山东聊城期末)点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OE,OF,使得 ∠EOF=70. F 图1 图2 (1)如图1，过0点作射线0C使得0C为∠AOE的角平分线，且∠AOC=15°，求∠B0F的度数 (2)如图2，过0点作射线0C使得0C为∠A0E的角平分线，过0点作射线0D使得0D为LB0F的角 平分线，求∠COD的度数. 题型2双角平分线问题 煤方法 题型特征：一个角被两条射线分成多个部分，其中两条射线分别是不同角的平分线。 解题核心：分别利用每条角平分线的定义，将相关角相加或相减。 1.(22-23七年级下山东期中)己知∠A0B=70°，在∠A0B内部作角∠B0C=20°，OM是∠A0B的角平 分线，ON是∠BOC的角平分线，求∠MON的度数. 2.(22-23七年级上山东济南·期末)如图，OB是∠A0C的角平分线，0D是∠C0E的角平分线，如果 ∠A0B=40°，∠C0E=60°，求∠B0D的度数 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 解：：OB是∠A0C的角平分线，∠A0B=40° .∠BOC= =40°， :0D是∠C0E的角平分线，∠C0E=60° :∠C0D=—= 1 2 ·LB0D=LC0D+=°+°=° 3.(24-25七年级上山东枣庄月考)如图，己知OE是∠A0C的角平分线，0D是∠B0C的角平分线. A (1)若∠A0C=120°，∠B0C=30°，求∠D0E的度数； (2)若∠A0C=a,∠BOC=B,求∠D0E的度数. 4.(24-25六年级下·山东东营·期中)如图，∠A,0A=,射线0A是∠AOA的角平分线，射线OA是 ∠4OA2的角平分线，射线OA4是∠A,OA的角平分线..以此类推，请借助所给图形思考∠AOAo2s的度 数为一 A A4 A A1 5.(24-25七年级上·浙江杭州期末)如图，∠A,OA=a,射线OA2是∠AOA的角平分线，射线OA是 ∠AOA2的角平分线，射线OA4是∠A,OA的角平分线...以此类推，请借助所给图形思考∠A,OA的度数 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为() A2 A3 As An 0 A A.a- 2 B.a- 241C 1 1 C.a-2-0 D.a 201Q 6.(25-26七年级上山西吕梁期末)综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线.小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小 角时，它们所成夹角的大小也有规律， 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似 的规律？针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： B 图1 图2 备用图 (1)【基础探究】 如图1，已知∠A0B内部有三条射线0C、OE、0F,其中OE平分∠B0C,0F平分∠AOC.若 ∠A0B=180°，∠A0C=120°，则∠E0F的度数为· (2)【发现规律】 如图2，设∠AOB=a,∠AOC=B(0°<B<a),其中OE平分∠BOC,0F平分∠AOC.猜想∠E0F 的度数是否随阝的改变而改变？请证明你的猜想. (3)【拓展推广】 在(2)的假设条件下，若∠EOB=1∠C0B,∠AOF=1∠COA.上述猜想是否还成立？若成立，求 1 n 出∠EOF;若不成立，请说明理由. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型3角平分线与角度计算(（含比例或和差关系)》 煤方法 题型特征：角平分线与己知角的和、差、倍数或比例关系结合。 解题核心：设未知数建立方程，利用平角为180°或周角为360°列出方程求解。 1.(25-26七年级上江苏假期作业)如图，OB是∠A0D的角平分线，0D是∠B0E的角平分线，0C是 ∠BOD的角平分线，∠A0E=60°，求∠BOC. B D E 2.(25-26七年级上·辽宁丹东·期末)已知LA0B=160°，0C是∠A0B的角平分线，射线0D将∠B0C分 成1：3的两部分，则∠AOD的度数为 3.(22-23七年级上山东德州期末)点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠C0D,使得 LC0D=90°. E D E D 0 B 0 B 图1 图2 (I)如图1，过点O作射线，当OE恰好为LAOD的角平分线时，请求出∠BOD与LC0E之间的倍数关系， (2)如图2，过点O作射线OE,当0C恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线0F,使得0F平分LC0D ,求LFOB+LEOC的度数： (3)在(2)的条件下，若LE0C=2LE0F,求∠A0E的度数 4.(2024六年级下山东济宁，竞赛)在数学活动课上，老师和同学们开展了以“线段与角的共性”为主题的数 学活动.研究发现线段中点的概念与角平分线的概念类似，甚至它们在计算方法上也有类似之处，它们 之间的题目可以互相转化，解法可以互相借鉴.如图1，点C是线段AB上的一点，M是AC的中点， N是BC的中点. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A M C N B A 图1 图2 图3 (1)会用数学的眼光观察： ①若AB=6,AC=2,则MN的长度为 ； ②若AB=a,AC=b,则MN的长度为； (2)会用数学的语言表达：“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知∠A0B=80°，在角的内部作射线0C, 再分别作∠AOC,∠BOC的角平分线OM,ON, ③若∠A0C=30°，则∠M0N的度数为； ④若∠AOC=n°，则∠MON的度数为； (3)会用数学的思维分析：“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若∠A0B=m。,在角的外部 作射线OC,再分别作∠AOC,∠BOC的角平分线OM,ON.若LAOC=n°，则∠MON的度数为， 5.(25-26七年级上山东济宁期末)【发现问题】(1)如图1，已知∠A0B内部有三条射线，ON平分 ∠B0C,OM平分∠A0C,若∠A0B=60°.则LA0M+LB0N的度数是； 【类比探究】(2)若将(1)中的条件“ON平分LB0C,OM平分∠A0C改为“∠NOB=∠C0B, 4 ∠COM=3∠COA”,且∠A0B=a,求∠A0M+∠BON的度数： 【拓展延伸】(3)如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC,OM平分∠AOC,当 ∠AOB=a,∠BOC=B时，请直接写出∠MON= °.（用含的式子表示） M 图1 图2 6.(24-25六年级下山东淄博·月考)小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应 用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究. 【问题提出】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①己知点C在线段AB上，取AC的中点M,BC的中点N,AB=I2,则MN是 ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知∠A0B=120°，OM平分∠AOC,ON平 分∠BOC,则∠MON的度数为 B 【变式提升】 ①如图，已知点C,D在线段AB上，点C在点D的左边，取AC的中点M,BD的中点N, AB=a,CD=b,则MN的长为 (用含a,b的代数式表达) ②如图，已知∠AOB=a,∠COD=B,OM平分∠AOC,ON平分∠B0D,则∠MON的度数为 AM CD N B B 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点C,D在线段AB上，点C在点D的右边，取AC的中点M,BD的中点 N,AB=a,CD=b,求MN的长（写出求解推导的过程，用含a,b的代数式表达） M D CN B ②如图，已知∠AOB=a,∠COD=B,OM平分∠AOC,ON平分∠B0D,求∠MON的度数（写出求解 推导的过程，用含，B的代数式表达) B 题型4角平分线性质的应用 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 妹方法 题型特征：利用“角平分线上平分角”这一性质对实际问题进行证明或计算。 解题核心：当题目中出现角平分线条件时，优先考虑此性质。 1.(23-24八年级上·云南保山·期末)如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，己知 ∠CEF=50°，则∠AED的度数是() D E B A.40° B.50° C.65 D.76° 2.(25-26七年级上·福建三明·期末)如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水 轮和支撑架等部件组成.某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装20 根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装20个竹筒，依次记为M1,M2,.,M20,三 角形A0B为支撑架，且∠A0B=54°. 竹筒夏 M 辐条 支撑架 图1 图2 (1)求出相邻两根辐条夹角的度数： (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心0逆时针转动，转动一周需3分钟.∠A0B的平分线与水轮边缘交 于点D,每个竹筒在D处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与OB的夹角为81°（即LBOC=81°） 时，竹筒开始倒水. ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断∠AOM,与∠BOM的数量关系，说明理由. 3.(2425七年级上·陕西榆林·期末)【问题提出】 (1)如图1，点A,O,B在一条直线上，OC是一条射线，OE平分∠AOC,0F平分∠BOC,则 ∠EOF= o: