2026年广东省广州市番禺区中考数学自编模拟练习试卷

2026年广东省广州市番禺区中考数学自编模拟练习试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 2.二次函数图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.如图，的半径为，于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.若，，则下列等式成立的是  (    ) A. B. C. D. 5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.若与互为相反数，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，是等边三角形，点是边上的一个动点，点关于、的对称点分别是点、，连接，，，在点从点运动到点的过程中，线段的长度(    ) A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 9.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 10.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的穊率为指针指向时，当作指向黑色扇形；指针指时，当作指向白色扇形，则黑色扇形的圆心角(     A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行千米的时间与乙匀速骑行千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行千米，设甲每小时骑行千米，根据题意列出的方程是          ． 12.若关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为          ． 13.如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线下面结论： ； ； ； 方程必有一个根大于且小于． 其中正确的是            只填序号 14.已知：如图，是的内切圆，分别切、、于点、、，的周长为，，则           ． 15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为          ． 16.读取表格信息，解决问题． 满足的可以取得的最小整数是          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 先阅读下列解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，第一步 所以，第二步 故第三步 上述过程中，从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请写出正确的解题过程． 18.本小题分 如图，的半径，于点，． 求弦的长． 求的长． 19.本小题分 某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，，斜坡，坡角， 求山坡高度； 为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米结果保留根号？ 20.本小题分 月日，我国发布国家空间科学中长期发展规划年，提出了我国有望取得突破的五大科学主题为了了解学生对五大科学主题的知晓情况，某校九年级备课组随机对九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“非常了解”，表示“比较了解”，表示“不太了解”，表示“从未听说过”根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题． 在此次调查中一共抽取了多少名学生？ 将条形统计图补充完整． 扇形统计图中部分的圆心角是多少度？ 在类学生中，有名男生和名女生，现需要从这名学生中随机抽取名，在课前进行五大科学主题的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的名学生中恰好是名男生和名女生的概率． 21.本小题分 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图所示，输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为． 直接写出，，的值； 小明在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图． I.当随的增大而增大时，求的取值范围； Ⅱ若关于的方程为实数，在时无解，求的取值范围； Ⅲ若在函数图象上有点，与不重合．的横坐标为，的横坐标为小明对，之间含，两点的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 22.本小题分 如图，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为单位：． 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； 下边缘抛物线落地点的坐标为______； 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，的取值范围为______． 23.本小题分 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯下面是王老师在“圆”主题下设计的问题，请你解答． 发现规律 如图，锐角三角形内接于半径为的，的边、角之间满足怎样的关系呢 王老师提示：如图，连接并延长，交于点，连接， ，          填依据 ，          填依据 ， ． 同理：，， ． 解决问题 如图，中，，是边上一动点不与点，重合，于点，于点，连接． 请写出，之间的数量关系，并说明理由． 若，，请直接写出的最小值． (3) 拓展应用如图，中，，为动点，请直接写出的最大值辅助线作法提示：可在的延长线上截取，连接 24.本小题分 如图，二次函数为常数的图象交轴于，两点，交轴于点，已知点的坐标为，点的坐标为，连接，． 求抛物线的解析式． 若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的坐标． 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上的一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． 直接写出点、的坐标． ，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，则几秒后轴？ 若，设点是轴上一动点不与点重合，则与存在怎样的数量关系？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：依题意，得：． 故选：． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为由抛物线顶点式可求得答案． 【解答】 解：， 顶点坐标为， 故选A． 3.【答案】  【解析】解：连接， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 连接，证明为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可． 本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，即， ，即； ，即， ， ； 故选：． 将点，，分别代入反比例函数，求得，，的值后，再来比较一下它们的大小． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了非负数的性质，相反数的概念以及二元一次方程组的解法，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于． 根据互为相反数的和等于列式，再根据非负数的性质列出关于、的二元一次方程组，求解得到、的值，然后代入进行计算即可得解． 【解答】 解：与互为相反数， ， ， 得，， 把代入得，， 解得， ． 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出，，即可得出一次函数的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【解答】 解：观察函数图象可知：，，， ，， 一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选：． 8.【答案】  【解析】连接，作于点，点关于、的对称点分别是点、，，，，，是等边三角形，，，，，，，，点从点运动到点的过程中，的长度先减小后增大，的长度也先减小后增大． 9.【答案】  【解析】因为，，所以因为四边形是正方形，所以，所以点的坐标为，即因为，所以每次旋转为一个循环．因为，所以第次旋转结束时，点的位置与第次旋转结束时点的位置相同．因为第次旋转结束时，点绕点顺时针旋转了，所以此时点的坐标为． 10.【答案】  【解析】【分析】 根据指针恰好指向白色扇形的概率得到黑、白两种颜色的扇形的面积比为：，计算即可． 本题考查随机事件的概率，根据概率得到圆心角为周角的是解题的关键． 【解答】 解：指针恰好指向白色扇形的穊率为， 黑、白两种颜色的扇形的面积比为：， ， 故选：． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解二元一次方程组，正确求出，的值是解题的关键． 先用含的代数式表示、，即解关于，的方程组，再代入中可得． 【解答】 解：根据题意得 得：， ， 把代入得：， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：由图象可得， ，，， 则，故正确； ， ， ，故正确； 函数图象与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴是直线， 函数图象与轴的另一个交点在点和点之间，故正确； 当时，， ， ，故错误； 故答案为：． 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要是考查了切线长定理，用未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解． 由切线长定理，可知：，，，设；；，利用已知数据建立方程组即可求出的长． 【解答】 解：是的内切圆，分别切、、于点、、， 设，，， 根据题意得：， 解得， ． 15.【答案】  【解析】【分析】 画出，寻找规律后即可解决问题． 本题考查坐标与图形的性质、旋转中的坐标变化等知识，解题的关键是探究点的坐标规律． 【点睛】 解：如图所示，，，，，，， 发现次一个循环， ， 点的坐标与的坐标相同，即， 故答案为． 16.【答案】  【解析】由，得，，． ，，又，可以取得的最小整数是． 17.【答案】解：从第二步开始出现错误．错误的原因是不等式的两边都乘以负数，不等号的方向未改变．  正确的解题过程如下：因为，  所以，  故．  【解析】略 18.【答案】解：的半径，于点，， ， ； ，， ， ， 的长是：．  【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据锐角三角函数的定义，可以求得的长，然后即可得到的长； 根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可． 19.【答案】【小题】 解：作，垂足为点．中，，，，山坡的高度为； 【小题】 作，垂足为点．同理在中，，，，至少．   【解析】 略  略 20.【答案】名；   将条形统计图补充完整如下：   ；    【解析】名， 答：在此次调查中一共抽取了名学生； 选择的学生有：名， 将条形统计图补充完整如下： ， 答：扇形统计图中部分的圆心角是； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中所抽取的名学生中恰好是名男生和名女生的结果有种， 所抽取的名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 由类别的人数除以所占的百分比，即可得出结论； 求出类的人数，将条形统计图补充完整即可； 由乘以部分所占的比例即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中所抽取的名学生中恰好是名男生和名女生的结果有种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】【小题】 解：的值为，的值为，的值为； 【小题】 I.，，， 一次函数解析式为，二次函数解析式为， 当时，的对称轴为直线，图象开口向上，时，随的增大而增大； 当时，，， 时，随的增大而增大， 综上所述，的取值范围为或； Ⅱ， ，在时无解， 问题转化为抛物线与直线在时无交点， 对于，当时，， 顶点为，如图， 当时，抛物线与直线在时正好有一个交点， 当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， 当时，抛物线与直线在时正好有一个交点， 当时，抛物线与直线在时没有交点， 综上所述，当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即当或时，关于的方程为实数，在时无解； Ⅲ或．   【解析】 解：，将，代入，得，解得， ，， 将，和，代入， 得，解得．   I.见答案； Ⅱ见答案； Ⅲ解： ， 点，到直线的距离相等， 如图，将代入，得，， 将代入，得， 作直线，，， 分析可知，当点在直线和轴之间的图象上，或在直线和直线之间的图象上时均含边界点，点，之间的图象对应函数的最大值与最小值分别为和，不随的变化而变化。综上所述，的取值范围是或 22.【答案】解：由题意，得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得舍去， 喷出水的最大射程为． ． ．   【解析】解：见答案． 对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为， 故答案为：． ， ， ，， ，， ， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，的取值范围为， 故答案为：． 本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 由顶点，可设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； 由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； 根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 23.【答案】【小题】 同弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 【小题】 ． 理由如下：如图，设点是的中点，连接，． ，，，，点，，，在以点为圆心，为半径的团上，，． 的最小值为． 【小题】 的最大值为．   【解析】 略   解法提示：由知，，的值最小时，的值最小，即当时，的值最小，如图所示，过点作于点． 则， ， ． ， ， ， ．   解法提示：如图，延长到点，使，连接，过点作于点． ， 可设，， ，， ， ， 外接圆的直径为． 是外接圆的一条弦， ， 的最大值为，即的最大值为． 24.【答案】【小题】 解：把，代入， 得 抛物线的解析式为． 【小题】 如图所示，当点在下方时， ， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称． 抛物线的对称轴为直线， 点的坐标为． 如图所示，当点在上方时，设直线交轴于． ， ． ． 设， ，解得． ． 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得 直线的解析式为． 联立解得或舍去． 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 【小题】 点的坐标为或或 解析：由可得原抛物线的对称轴为直线， ， 由对称性可得． ． ， ． ． 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， 将原抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个长度得到新抛物线． 新抛物线的解析式为． 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， ，的中点坐标相同． ． ． ． 此时点的坐标为． 当为对角线时，． ． ． 此时点的坐标为． 当为对角线时，． ． ． 此时点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或   【解析】 略  略  略 25.【答案】【小题】 解：点，的坐标分别为，， 根据题意可得，． 【小题】 解：设秒后轴， 点，的纵坐标分别为，， 则有， 解得， 秒后轴． 【小题】 解：根据题意可知轴． 如图，延长交轴于，当点在直线的左侧时， ，， ， ． 当点在直线上时，，， 则． 如图，当点在直线的右侧且在直线的左侧时，． 如图，当点在直线的右侧时，， ， ． 综上所述，与的数量关系为或或．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $