专题03：因数与倍数（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

该小学数学小升初复习教案聚焦“因数与倍数”专题，涵盖因数倍数认识、2/3/5倍数特征、奇偶性、质数合数、最大公因数与最小公倍数5大考点，通过知识点系统梳理、典例情境化讲解、变式分层训练、真题实战演练四环节，帮助学生掌握概念辨析、短除法等核心方法。 亮点在于融合数学眼光与思维培养，如用“完全数”“平方数”例题引导学生从生活现象抽象数学本质，通过“裁正方形纸块”“相遇问题”等实际应用训练逻辑推理能力。设置阶梯式练习从基础到真题，助力学生突破易错点，教师可借典例与错题分析精准教学，提升复习效率与学生知识掌握深度。

第一章：数的认识 专题03：因数与倍数 （5大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 【考点一】因数和倍数的认识 【考点二】2、3、5的倍数特征 【考点三】奇数和偶数 【考点四】质数与合数 【考点五】最大公因数和最小公倍数 知识点01：因数和倍数的认识 1.因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。 2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 【易错点拨】 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 （2）倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。 2.因数和倍数的特征 （1）因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用 1.单个数字的倍数特征 （1）自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （2）个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2.组合数字的倍数特征 （1）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； （2）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； （3）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； （4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点03：奇数和偶数 1.奇数和偶数的定义 自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 【易错点拨】0是最小的偶数；1是最小的奇数。 2.奇偶性运算规律 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 知识点04：质数与合数 1.质数与合数的定义 （1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【易错点拨】最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 2.100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 3.分解质因数 （1）质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 （2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （3）常用方法：短除法。 知识点05：最大公因数和最小公倍数 1.最大公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。 2.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。 3.求最大公因数和最小公倍数的核心方法：短除法 （1）用几个数的公有质因数依次去除，直到商只有公因数1（互质）为止； （2）若求最大公因数，把所有的除数连乘； （3）若求最小公倍数，把所有的除数和最后的商连乘。 考点1：因数和倍数的认识 【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（     ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据“完全数”的概念，先找出选项中数的所有因数，再将除了本身之外的因数相加，和本身比较即可。 【详解】A．16所有的因数为1、2、4、8、16，除本身16以外，还有1、2、4、8四个因数，1＋2＋4＋8＝15，所以16不是完全数。 B．20所有的因数为1、2、4、5、10、20，除本身20以外，还有1、2、4、5、10五个因数，1＋2＋4＋5＋10＝22，所以20不是完全数。 C．28所有的因数为1、2、4、7、14、28，除本身28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 D．36所有的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36，除本身36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，所以36不是完全数。 故答案为：C 【典型例题2】一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是（     ）。 【答案】441 【分析】根据“完全平方数”的特征：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；可排除甲彩票； 由“完全平方数”末位数的特征，初步判定乙彩票可能是“平方数”，结合乙彩票百位上的数字是4，列举出此区间平方数百位上是4的结果，再对比，即可判断； 根据“完全平方数”的特征：末位是5，则末两位数字一定是25，可排除丙彩票。 【详解】完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9； 甲彩票的末三位数是3□7，末位是7，不符合“完全平方数”的特征，所以3□7不是中奖的末三位数； 乙彩票的末三位数4□1，末位是1，可能是“完全平方数”；4□1的百位是4，列举出202到222的结果，202＝400、212＝441、222＝484，441符合4□1模式，所以441是中奖的末三位数； 丙彩票的末三位数是□35，末位是5，则末两位数字一定是25（如152＝225、252＝625），而□35的末两位是35，不符合“完全平方数”的特征，所以□35不是中奖的末三位数； 综上所述，中奖的末三位数是441。 【变式训练1】我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下面出现的数中不是108的因数的是（     ）。 A．女性3位 B．男性105位 C．天罡星36位 【答案】B 【分析】在乘法算式a÷b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，b、c就是a的因数，a就是b、c的倍数，据此分析。 【详解】A．108÷3＝36，3是108的因数； B．105不是108的因数； C．108÷36＝3，36是108的因数。 出现的数中不是108的因数的是男性105位。 故答案为：B 【变式训练2】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【答案】B 【分析】由题意，要想剪时没有剩余，则纸的长、宽必须是8、6的倍数，据此逐项分析即可得解。 【详解】A．长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适； B．长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适； C．长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适； D．长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。 故答案为：B 考点2：2、3、5的倍数特征 【典型例题1】截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（ ）辆。 【答案】3960 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。据此分析解答。 【详解】这个数是2和5的倍数，说明个位上的数是0 根据3的倍数的特点，百位上最大是9，各个数位的数字之和是3的倍数。 所以，截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有3960辆。 【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。 有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？ （2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请找出其规律，并表示出来。 【答案】（1）16号 （2）128号；规律见详解 【分析】（1）24个同学第一轮报数：报1的同学退出，剩下的是编号为2，4，6，…，24（即2的倍数）的同学。 第二轮报数：剩下的同学从左往右按1，2报数，报1的退出，剩下的是编号为4，8，12，…，24（即4的倍数）的同学。 第三轮报数：剩下的同学继续报数，报1的退出，剩下的是编号为8，16，24（即8的倍数）的同学。 第四轮报数：剩下的同学报数，报1的退出，最后剩下的是编号为16的同学。 （2）200个同学的情况：先找2的倍数，小于等于200的2的倍数有2，4，6，…，200。再从这些数中找4的倍数，有4，8，12，…，200。接着找8的倍数，有8，16，32，…，192。然后找16的倍数，有16，32，48，…，192。继续找32的倍数，有32，64，96，128，160，192。再找64的倍数，有64，128，192。最后找128的倍数，小于等于200的128的倍数只有128。所以，当有200个同学时，最后剩下的同学的帽子编号是128号。 【详解】（1）第一轮：剩下的是编号为2，4，6，…，24（即2的倍数）的同学。 第二轮：剩下的是编号为4，8，12，…，24（即4的倍数）的同学。 第三轮：剩下的是编号为8，16，24（即8的倍数）的同学。 第四轮：剩下的是编号为16的同学。 答：当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是16号。 （2）小于等于200的2的倍数有2，4，6，…，200； 剩下的4的倍数，有4，8，12，…，200； 剩下的8的倍数，有8，16，32，…，192； 剩下的16的倍数，有16，32，48，…，192； 剩下的32的倍数，有32，64，96，128，160，192； 剩下的64的倍数，有64，128，192； 小于等于200的128的倍数只有128。 答：最后剩下同学的帽子编号是128号，规律是每次报数后剩下同学的编号依次是2的倍数、4的倍数、8的倍数…，即最后剩下同学的帽子编号是2n（n为剩下一人所需淘汰的次数）。 【变式训练1】一个四位数145□，□最大填（ ）就是3的倍数；□最小填（ ）时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当□填（ ）时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【答案】 8 2 5 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，当个位上是8时，，； 2、3的倍数特征：要想使这个数既是2的倍数又是3的倍数，个位上是0、2、4、6或8且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是2时，，； 3、5的倍数特征：要想使这个数既是3的倍数又是5的倍数，个位上必须是0、或5且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是5时，，；当个位上是0时，，，所以1450不是3的倍数；据此解答。 【详解】一个四位数145□，□最大填8就是3的倍数；□最小填2时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当□填5时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【变式训练2】某小学开展劳动技能比赛，五年级四个班学生包饺子的数量情况如下（部分数字被盖住），这四个班包饺子的总数一定是（     ）。 五（1）班 五（2）班 五（3）班 五（4）班 18 06 903 17 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．9的倍数 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 9的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数，据此进行分析。 【详解】8＋6＋3＋7＝24 每个班包饺子的数量和的末尾数字是4，所以这四个班包饺子的总数一定是2的倍数，不是5的倍数，再由于 遮住了三个数字，所以不能确定是不是3和9的倍数。 故答案为：A 考点3：奇数和偶数 【典型例题1】“三月三”节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人机入场时的队列如图。表演时进行队列变换，下面（     ）图可能是无人机的表演队列。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】入场队列的无人机数量是奇数，那么变换后的队列无人机数量也得是奇数；如果是偶数，变换后也得是偶数（因为总数不变，奇偶性不变）。所以先判断入场队列无人机数量的奇偶性，再看选项中图形数量的奇偶性是否一致。 【详解】一场表演中无人机入场时的队列如图。此图可用字母式2n＋1表示，即无人机的数量是奇数，队列变换后，无人机的数量应该还是奇数。 A．4×4＝16（架），16是偶数，不可能是无人机的表演队列； B．数一数可知，共有10架无人机，10是偶数，不可能是无人机的表演队列； C．数一数可知，共有12架无人机，12是偶数，不可能是无人机的表演队列； D．4×4＝16（架），16＋3＝19（架），19是奇数，可能是无人机的表演队列。 故答案为：D 【典型例题2】张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】偶数；理由见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】第一路纵队的人数＋第二路纵队的人数＝45人 第一路纵队的人数是奇数，45是奇数； 根据“奇数＋偶数＝奇数”，可知第二路纵队的人数是偶数。 答：第二路纵队的人数是偶数。理由：因为总人数45是奇数，第一路纵队的人数也是奇数，奇数＋偶数＝奇数（或奇数－奇数＝偶数），所以第二路纵队的人数是偶数。 【变式训练1】在三个连续的奇数中，最小的奇数是n，它们的和是（ ）；如果这三个奇数的和是105，那么最大的奇数是（ ）。 【答案】 （3n＋6）/（6＋3n） 37 【分析】连续的奇数之间相差2，最小奇数是n，则中间奇数是（n＋2），最大奇数是（n＋4），相加即可；三个奇数的和÷3＝中间奇数，中间奇数＋2＝最大的奇数。 【详解】n＋（n＋2）＋（n＋4）＝n＋n＋2＋n＋4＝（3n＋6） 105÷3＋2 ＝35＋2 ＝37 在三个连续的奇数中，最小的奇数是n，它们的和是（3n＋6）；如果这三个奇数的和是105，那么最大的奇数是37。 【变式训练2】小猫今天钓上来1001条鱼，并将其从1－1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，每天按照以下规律吃鱼：第一天，吃从左往右数第一条鱼；第二天，吃从左往右数第二条鱼。即第天都吃当天从左往右数第条鱼。吃到最后，在剩下的鱼里面，偶数标号的鱼占整体的比例为（ ）%。 【答案】100 【分析】从1－1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，第一天，吃从左往右数第一条鱼，吃了标号1，剩下标号2、3、4、5、6、7、8…，第二天，吃从左往右数第二条鱼，吃了标号3，剩下标号2、4、5、6、7、8…，第三天，吃从左往右数第三条鱼，吃了标号5，剩下标号2、4、6、7、8…，第四天，吃从左往右数第四条鱼，吃了标号7，剩下标号2、4、6、8…，由此可以发现，吃的鱼都是标号为奇数的鱼，则吃到最后，剩下的鱼都是偶数标号，据此解答。 是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】由分析可得：吃到最后，剩下的鱼都是偶数标号，则偶数标号的鱼占整体的比例为100%。 考点4：质数与合数 【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（     ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【详解】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 【典型例题2】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【答案】D 【分析】因数只有1和它本身两个的数是质数；因数除了1和它本身还有其他因数是合数。 一位数的合数：4、6、8、9，则最大的是9；最小的质数是2；3的倍数有3、6、9……，最小的就是3，据此解答即可。 【详解】月份：一位数中最大的合数：9 日子：十位上的最小的质数：2 个位上是3的最小倍数：3 开幕式的日期：9月23日 故答案为：D 【变式训练1】三个连续的非零自然数的积一定（    ）。 A．既是奇数又是合数。 B．既是偶数又是质数。 C．既是奇数又是质数。 D．既是偶数又是合数。 【答案】D 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 自然数成奇偶排列，三个连续的非零自然数，要么是奇数、偶数、奇数，要么是偶数、奇数、偶数，奇数×偶数＝偶数，据此进行分析。 【详解】奇数×偶数×奇数＝偶数 偶数×奇数×偶数＝偶数 偶数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除，这个偶数是合数。因此三个连续的非零自然数的积一定既是偶数又是合数。 故答案为：D 【变式训练2】数学上把相差2的两个质数叫作“孪生质数”，如5和7都是质数，且5和7相差2，那么5和7就是一对“孪生质数”。下列是一对“孪生质数”的是（     ）。 A．11和13 B．13和15 C．9和11 D．2和3 【答案】A 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数。先判断选项中的两个数是否为质数，再确定它们的差是否为2，据此解答。 【详解】A．11和13都是质数，13－11＝2，则11和13相差2，所以11和13是一对“孪生质数”； B．13是质数，15是合数，所以13和15不是一对“孪生质数”； C．9是合数，11是质数，所以9和11不是一对“孪生质数”； D．2和3都是质数，3－2＝1，则2和3相差1，所以2和3不是一对“孪生质数”。 故答案为：A 考点5：最大公因数和最小公倍数 【典型例题1】小强把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可以裁成几块？ 【答案】14厘米；12块 【分析】把一张长方形纸截成同样大小的正方形纸块，且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数，求正方形最大的边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以截几个，最后相乘就是至少截出正方形的块数。 【详解】56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 即正方形的边长最大是14厘米。 （56÷14）×（42÷14） ＝4×3 ＝12（块） 答：能裁成最大的正方形纸块的边长是14厘米，共可以裁成12块。 【典型例题2】三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 【答案】7月29日 【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日加上经过的天数即为下次相遇的时间。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 7月5日＋24日＝7月29日 答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。 【变式训练1】为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关卡挂绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是（ ）米。 【答案】12 【分析】本题要求将24米和36米的彩带剪成相同长度的小段且无剩余，求每段最长长度。这实际是求24和36的最大公因数。可用短除法计算。 【详解】 （米） 为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关卡挂绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是12米。 【变式训练2】有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过（ ）分钟这个电子表既亮灯又报时。 【答案】30 【分析】根据题意，算出10和15的最小公倍数即可。 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。 【详解】10的倍数：10，20，30，40⋯ 15的倍数：15，30，45⋯ 10和15的最小公倍数是30。 所以，至少再过30分钟这个电子表既亮灯又报时。 一、选择题 1．一个质数和一个合数的最大公因数一定是1，要想说明上面这句话是错误的，可以用下面（     ）作为例子进行反驳。 A．3和4 B．6和8 C．2和10 D．5和7 【答案】C 【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有别的因数的数是合数，据此先判断出各个选项中的两个数是不是一个质数、一个合数；如果是一个质数和一个合数，再分别找出各组中两个数的最大公因数，最大公因数不是1的即可作为反驳的例子。 【详解】A．3和4 3是质数，4是合数，最大公因数是1；不符合题意。 B．6和8 6是合数，8是合数，不符合题意。 C．2和10 2是质数，10是合数，最大公因数是2，符合题意。 D．5和7 5是质数，7是质数，不符合题意。 一个质数和一个合数的最大公因数一定是1，要想说明上面这句话是错误的，可以用2和10作为例子进行反驳。 故答案为：C 2．625□是一个四位数，在□里填上一个数字，使这个四位数同时是2、3的倍数。方框里应填（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．如果□里填1，即这个四位数是6251，个位上是1，不是2的倍数，不符合题意； B．如果□里填2，即这个四位数是6252，个位上是2，是2的倍数；6＋2＋5＋2＝15，同时是3的倍数，符合题意； C．如果□里填3，即这个四位数是6253，个位上是3，不是2的倍数，不符合题意； D．如果□里填4，即这个四位数是6254，个位上是4，是2的倍数；6＋2＋5＋4＝17，不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：B 3．队列表演中，如果每8人一组或每10人一组，能刚好分完组，那么至少有（     ）名同学参加表演。 A．18 B．40 C．80 D．100 【答案】B 【分析】根据题意，每8人一组或每10人一组，能刚好分完组，那么总人数是8和10的最小公倍数； 把8和10分解质因数后，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，即可解答。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 8和10的最小公倍数是2×2×2×5＝40 那么至少有40名同学参加表演。 故答案为：B 4．从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的三位数，有（     ）种不同的组法。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】从0、1、4、5中选三个不同数字，计算它们的和： 选0、1、4：0＋1＋4＝5，5不是3的倍数，该组合不符合； 选0、1、5：0＋1＋5＝6，6是3的倍数，该组合符合； 选0、4、5：0＋4＋5＝9，9是3的倍数，该组合符合； 选1、4、5：1＋4＋5＝10，10不是3的倍数，该组合不符合； 所以满足是3的倍数的数字组合有0、1、5和0、4、5。 根据2的倍数特征（个位是0、2、4、6、8 ），对上述两组数字进行分析： 对于组合0、1、5： 要满足是2的倍数，个位数字只能是0，那么组成的三位数有150、510； 对于组合0、4、5： 要满足是2的倍数，个位数字可以是0或4，当个位是0时，组成的三位数有450、540；当个位是4时，组成的三位数有504。 所以满足既是3的倍数又是2的倍数的三位数有150、510、450、540、504，共5个，即有5种不同的组法。 故答案为：C 5．秦始皇陵兵马俑是世界八大奇迹之一。二号坑第一单元阵心由八路面东的160个蹲跪式弩兵组成，壮壮用下面的方法数这些弩兵俑，不能正好数完的是（     ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．5个5个地数 D．10个10个地数 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 在整数除法中（被除数和除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】A．160的个位上是“0”，160是2的倍数，所以2个2个地数能正好数完； B．1＋6＋0＝7，7不是3的倍数，则160不是3的倍数，所以3个3个地数不能正好数完； C．160的个位上是“0”，160是5的倍数，所以5个5个地数能正好数完； D．160÷10＝16，160是10的倍数，所以10个10个地数能正好数完。 故答案为：B 6．如果a是一个合数，b是一个质数，那么下面（     ）的结果肯定是合数。 A．a＋b B．a－b C．a×b D．a÷b 【答案】C 【分析】质数是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数； 合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数，据此解答。 【详解】a是一个合数，b是一个质数，质数加合数可能是质数，也可能是合数。比如4＋3＝7，4＋2＝6； 合数减质数可能是质数，也可能是1。比如6－3＝3，4－3＝1； 合数÷质数，可能是合数，也可能是质数，还可能除不开。比如12÷3＝4，6÷2＝3； 合数×质数＝合数，所以a×b一定是合数。比如4×2＝8。 故答案为：C 7．一个自然数的最小倍数是36，这个数的因数有（     ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】一个自然数（0除外）的最小倍数是它本身，据此先确定这个数，然后罗列出这个数的所有因数即可。 【详解】一个自然数的最小倍数是36，这个数就是36；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个。 故答案为：C 8．小芳在做手工时，需要将两根分别为24米和18米的彩带剪成同样长的小段，最少一共剪成（     ）段。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先把24和18分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，这个最大公因数就是每小段的长度，然后用两根绳子的长度分别除以它们的最大公因数，分别算出两根绳子剪成的段数，最后相加得到最少剪成的总段数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 所以24和18的最大公因数：2×3＝6 所以剪成的每段最长6分米。 24÷6＝4（段） 18÷6＝3（段） 4＋3＝7（段） 所以最少共剪成7段。 故答案为：D 9．已知2个不同的一位数△，□和两位数，这3个数的乘积是三位数，那么等于（     ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】因为△×□×＝，且＝□×111，所以△×＝111，将111拆分成2个整数相乘，111＝1×111＝3×37，△是一位数，是两位数，所以△是3，是37，据此解答。 【详解】将□□□＝□×111＝□×3×37 所以△＝3，□＝7 △＋□＝3＋7＝10 △＋□等于10。 故答案为：D 二、填空题 10．在这些数字卡片中，质数有（ ）个。从这些卡片中选择3张组成一个既是偶数又是3的倍数的三位数，这个三位数最小是（ ）。 【答案】 2 102 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。 偶数概念：能被2整除的数，个位数字是0、2、4、6、8。 3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】判断质数个数： 1既不是质数也不是合数。 2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，是质数。 0不符合质数定义（大于1的自然数）。 5除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，是质数。 6能被2和3整除，不是质数。 所以质数有2和5，共2个。 组成符合要求的三位数：要是偶数，个位只能是0或2或6。要是3的倍数，各位数字之和是3的倍数。 当个位是0时，选1、2组成120，数字和为1＋2＋0＝3，是3的倍数。 当个位是2时，选1、0组成102，数字和为1＋0＋2＝3，是3的倍数。 当个位是6时，选1、2组成126，数字和为1＋2＋6＝9，是3的倍数。 102＜120＜126 所以这个三位数最小是102。 在这些数字卡片中，质数有2个。从这些卡片中选择3张组成一个既是偶数又是3的倍数的三位数，这个三位数最小是102。 11．一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是2和3的最小公倍数，十万位上是最小的合数，其余各位上都是0，这个数写作（ ），省略亿后面的尾数约是（ ）。 【答案】 960400000 10亿 【分析】最大的一位数是9，2和3的最小公倍数是2×3＝6，最小的合数是4。据此先写出这个数。省略亿位后面的尾数，看千万位的大小，千万位是6，需向前进一；将亿位后面的数去掉，并在数的末尾添上一个亿字。 【详解】亿位上是9，千万位上是6，十万位上是4，其余各位上都是0，这个数写作：960400000，960400000≈10亿。 所以这个数写作960400000，省略亿后面的尾数约是10亿。 12．把一些梨平均分给小朋友，5个人来分和6个人来分都刚好剩1个，这些梨至少有（ ）个。 【答案】31 【分析】因为把这些梨平均分给5个人和6个人都剩1个，这意味着如果去掉剩下的1个梨，剩下的数量能同时被5和6整除，即这个数量是5和6的公倍数。由于题目求的是最少的梨的数量，所以应先找到5和6的最小公倍数。因为5和6是互质数（公因数只有1），它们的最小公倍数就是两者的乘积，即5×6＝30。再把去掉的1个梨加回来，就能得到梨的最少数量，据此解答。 【详解】5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30＋1＝31（个） 即这些梨至少有31个。 13．把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（ ）个。 【答案】13 【分析】根据题意，先需要知道质数的概念，一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。结合“6可当9用”的条件，按个位数字分类（1、3、7 、9），列举出符合条件两位数，最后统计个数。 【详解】个位是1的质数：31、61、71（91非质数）共3个； 个位是3的质数：13、23、73（93非质数）共3个； 个位是7的质数：17、37、67、97共4个； 个位是9的质数：19、29、79共3个。 3＋3＋4＋3＝13（个） 在这些两位数中，质数的个数是13个。 14．a，b都是大于0的自然数，如果a＝7b，那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【答案】 b a 【分析】当两个非零自然数存在倍数关系时，这两个数中较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数。 【详解】a，b都是大于0的自然数，由a＝7b可知a是b的7倍，则a＞b，所以么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 15．5月22日是“杂交水稻之父”袁隆平爷爷逝世纪念日。世界第一株杂交水稻南优2号研制成功的年份数是一个四位数，根据下列信息判断，南优2号是在（ ）年研制成功的。 ①千位上的数既不是质数，也不是合数； ②百位上是一个合数，也是一个奇数； ③十位上的数比最小的质数大5； ④个位上的数比最小的合数小1。 【答案】1973 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】①千位上的数既不是质数，也不是合数，即1； ②百位上是一个合数，也是一个奇数，即9； ③十位上的数比最小的质数大5，2＋5＝7，即7； ④个位上的数比最小的合数小1，4－1＝3，即3； 南优2号是在（1973）年研制成功的。 16．斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是（ ）。这个数列中的第100个数是（ ）数。（奇或偶） 【答案】 89 偶 【分析】根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； 根据题意可知，这组数据是按照偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，每3个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以3，余数是几，就从第1个数数，没有余数，则就是最后一个数，据此解答。 【详解】第八个数5＋8＝13 第九个数8＋13＝21 第十个数13＋21＝34 第十一个数21＋34＝55 第十二个数34＋55＝89 100÷3＝33（组）……1（个） 所以这个数列中的第100个数是偶数。 斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是89。这个数列中的第100个数是偶数。 17．若a－b＝1（a、b是非零自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【答案】 1 ab 【分析】如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b相差1，即a和b是相邻的自然数。两个相邻的自然数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们相乘的积。 【详解】据分析可知，若a－b＝1（a、b是非零自然数），那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 18．四位数7□8□是2、3、5的公倍数，个位只能是（ ），百位上最大是（ ）。 【答案】 0 9 【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。据此解答。 【详解】四位数7□8□是2、3、5的公倍数， 个位上一定是0； 要是3的倍数，各位上数字的和一定是3的倍数， 现在个位、十位、千位上数字加起来是：0＋7＋8＝15， 因此百位上可填的数是0、3、6、9， 所以百位上最大能填9。 19．把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（ ）个。 【答案】13 【分析】因为个位数是2、6的两位数都是合数，所以只要考虑个位数字是1、3、7，9的数即可，然后分四种情况写出符合要求的所有的质数，据此解答。 【详解】当个位是1时：31、61、71共有3个； 当个位是3时：13、23、73共有3个； 当个位是7时：17、37、67、97共有4个； 个位上是9时：19，29，79，共3个。 3＋3＋4＋3＝13（个） 则质数的个数是13个。 20．笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是（ ），它共有（ ）个因数。 【答案】 44 6 【分析】一个数的最小因数是1，最小倍数是它自己本身，据此可得出这个数。再根据分解因数法可得出因数。 【详解】一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是44，它的因数有：1、2、4、11、22、44，共有6个因数。 21．育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这班至少有学生（ ）人。 【答案】49 【分析】除了体育委员，其他学生人数一定是12和16的公倍数，因此求出12和16的最小公倍数再加上体育委员就是这个班至少的人数。 【详解】 12和16的最小公倍数：2×2×3×4＝48 48＋1＝49（人） 这班至少有学生49人。 22．李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在60个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有（ ）个。 【答案】50 【分析】由题意可知，苹果个数比12和16的最小公倍数还多2个，求出12和16的最小公倍数再加2即可。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数是2×2×2×2×3＝48。 48＋2＝50（个） 李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在60个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有50个。 23．有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是（ ）。 【答案】1132 【分析】除以7余5，除以11余10，5＋23＝28，28是7的倍数，10＋23＝33，33是11的倍数，所以这个数加上23即是7和11的公倍数，通过枚举法找出除以5余2的数，找出最小的四位数即可。 【详解】7和11互质，所以7和11的最小公倍数是7×11＝77，77是加上23得到的， 所以77－23＝54，54÷5＝10……4，54除以5余4，不符合要求； 54＋77＝131，131÷5＝26……1，131除以5余1，不符合要求； 54＋77×2＝54＋154＝208，208÷5＝41……3，208除以5余3，不符合要求； 54＋77×3＝54＋231＝285，285÷5＝57，285除以5没有余数，不符合要求； 54＋77×4＝54＋308＝362，362÷5＝72……2，362除以5余2，符合要求； 5、7、11两两互质，所以最小公倍数是5×7×11＝35×11＝385， 362＋385＝747，747不是四位数，不符合要求； 362＋385×2＝362＋770＝1132，1132是四位数，符合要求。 所以这类四位数中最小的一个是1132。 24．一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数是（ ）。 【答案】36或92 【分析】先把18拆成两个一位数相乘的形式，把这两个一位数组成两位数；再根据偶数的意义，从中找出是偶数的两位数即可。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】18＝2×9＝3×6 组成的两位数有：29、92、36、63； 其中是偶数的有：36、92。 所以，这个两位数的偶数为36、92。 25．爱心超市每月一次给社区清洁工人发放爱心小礼包，每次超市会准备72个面包、180袋小饼干，打包成若干份，要求每份里面的面包个数相同，小饼干袋数也相同。爱心超市每次最多能发放给（ ）位社区清洁工人，每位社区清洁工人会收到（ ）个面包、（ ）袋小饼干。 【答案】 36 2 5 【分析】分析题目，最多能发放的人数是面包个数和小饼干袋数的最大公因数，据此找出72和180的最大公因数，再分别用面包个数和小饼干袋数除以人数即可得到每人分得的面包个数和小饼干袋数。 【详解】72＝2×2×2×3×3 180＝2×2×3×3×5 2×2×3×3＝36，72和180的最大公因数是36，即最多能发放给36位社区清洁工人。 72÷36＝2（个） 180÷36＝5（袋） 爱心超市每月一次给社区清洁工人发放爱心小礼包，每次超市会准备72个面包、180袋小饼干，打包成若干份，要求每份里面的面包个数相同，小饼干袋数也相同。爱心超市每次最多能发放给36位社区清洁工人，每位社区清洁工人会收到2个面包、5袋小饼干。 26．红军小学第14届少代会参会人数在50～60人之间，其中男、女生人数的比是3∶4，参加本届少代会代表人数共有（ ）人。 【答案】56 【分析】根据男、女生人数比是3∶4，可知总人数是3＋4＝7的倍数。我们需要在50~60之间找到7的倍数，从而确定参加少代会的代表人数。 【详解】3＋4＝7 7×7＝49（不符合题意）； 7×8＝56（符合题意）； 7×9＝63（不符合题意）。 所以参加本届少代会代表人数共有56人。 27．表示一个四位整数，那么＝3×1000＋（ ）＋4×10；如果是3的倍数，那么＝（ ）。 【答案】 ×100 2 【分析】第一个空，在百位，表示个百，据此填空；第二个空，一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此确定的值。 【详解】×100＝100 3＋4＝7，最小是9－7＝2，还可以是5和8。 表示一个四位整数，那么＝3×1000＋×100＋4×10；如果是3的倍数，那么＝2或5或8。 28．有一种长方形纸片，长15厘米，宽12厘米，至少需要（ ）张这样的纸片才能拼成一个正方形。 【答案】20 【分析】根据题意，用若干张长15厘米，宽12厘米的长方形纸拼成一个正方形，那么正方形的最小边长是15和12最小公倍数；先把15和12分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的相乘，积就是它们的最小公倍数；看正方形的最小边长分别需要几个长、几个宽，然后相乘即可。 【详解】15＝3×5 12＝2×2×3 15和12的最小公倍数：2×2×3×5＝60； 即正方形的边长是60厘米。 （60÷15）×（60÷12） ＝4×5 ＝20（个） 至少需要20张这样的纸片才能拼成一个正方形。 29．幼儿园的老师把一堆苹果分给几个小朋友，每人6个还多5个，每人5个还多8个。一共有（ ）个苹果，有（ ）个小朋友。 【答案】 23 3 【分析】分析两次分配苹果时剩余数量的差异以及每人分得苹果数量的差异，来确定小朋友的人数，进而求出苹果的总数；第一次每人分6个苹果，剩余5个；第二次每人分5个苹果，剩余8个，两次剩余苹果数不同，相差8－5＝3个，这是因为两次每人分得的苹果数不一样，每人少分了6－5＝1个，小朋友的人数就是多出来的苹果总数除以每人少分的个数，据此求出小朋友的个数，按照第一次分配方式，每人分6个还多5个，那么苹果总数就是小朋友人数乘第一次每人分得的个数再加上剩余个数。 【详解】（8－5）÷（6－5） ＝3÷1 ＝3（个） 3×6＋5 ＝18＋5 ＝23（个） 所以一共有23个苹果，有3个小朋友。 三、解答题 30．“馨香”花店用18朵康乃馨和27朵勿忘我做花束，顾客要求每个花束里面的康乃馨朵数相等，勿忘我的朵数也相等，最多能做多少束？每个花束里有多少朵花？ 【答案】9束；5朵 【分析】求最多能做多少束，就是求18和27的最大公因数；两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出18和27的最大公因数；再用康乃馨的朵数与勿忘我的朵数和除以最大公因数，即可解答。 【详解】18＝2×3×3 27＝3×3×3 18和27的最大公因数是3×3＝9，最多能做9束。 （18＋27）÷9 ＝45÷9 ＝5（朵） 答：最多能做9束，每个花束里有5朵花。 31．从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 【答案】是；见详解 【分析】先找出28的所有因数，然后把除了28以外的其它因数相加，和等于28，就是完美数；否则不是完美数。 【详解】28的因数有1、2、4、7、14、28； 答：28是完美数。 32．探究与运用。 （1）探究：请你举出“两个相邻奇数相乘的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况） （2）发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是（ ）和（ ）。 （3）运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻奇数的积，它是（    ）。 A．337 B．1661 C．3363 （4）这两个奇数分别是（ ）和（ ）。 【答案】（1）见详解 （2） 3、5 9 （3）C （4） 59 57 【分析】不是2的倍数的数叫作奇数；通过举例观察两个相邻奇数相乘所得积末尾数字的特征，利用该特征解决后续问题。 【详解】（1）例子：3×5＝15，积末尾数字是5；5×7＝35，积末尾数字是5；7×9＝63，积末尾数字是3；9×11＝99，积末尾数字是9；11×13＝143，积末尾数字是3。 （2）从上面所举例子可以发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是3和5和9。 （3）A.337末尾数字是7，不符合积末尾数字是3、5、9的特征，所以337不是两个相邻奇数的积。 B.1661末尾数字是1，不符合积的末尾数字是3、5、9的特征，所以1661不是两个相邻奇数的积。 C.3363末尾数字是3，符合积的末尾数字的特征，所以它是两个相邻奇数的积。 （4）因为两个相邻奇数相差2，设较小奇数为x，则较大奇数为x＋2，那么x（x＋2）＝3363 对3363分解质因数，3363＝3×19×59＝57×59，所以这两个奇数分别是57和 59。. 33．我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等。请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐。 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有宴。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？ ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭。”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 【答案】60位 【分析】先找出2、3、4的最小公倍数为3×4＝12，再算出12个人用饭碗、汤碗、肉碗共（个），即12个人用碗13个，再算出65是13的倍数，即65÷13＝5，那么客人数量也是12的5倍，即12×5＝60（位），据此解答。 【详解】2、3、4的最小公倍数是12 12人共用碗13个：＝6＋4＋3＝13（个） （位） 答：客人共有60位。 34．设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？ 【答案】2个 【分析】根据“好数”的定义，六位“好数”是由1，2，3，4，5，6这六个数字排列而成，且第二位必须是偶数（前两位组成的数能被2整除），第五位上必须是5，首位可在其他四个数字中任取，据此分类讨论解答。 【详解】当首位为1时， （1）若第二位为2，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），第六位和第四位只能是4或6，可能的“好数”为123456，123654，126453，126354，但1234和1263不能被4整除，126453不能被6整除，只有123654为所求的一个“好数； （2）若第二位为4，第三位为2，3，6时，142，143，146都不能被3整除，此时没有“好数”； （3）若第二位为6，第三位只能是2，此时162453不能被6整除，1623不能被4整除，此时仍无“好数”。 当首位为2时， （1）若第二位为4，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为246351，246153，243156，243651。但是2463，2461，2431不能被4整除，243651不能被6整除，此时没有“好数”； （2）若第二位为6，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为261354，261453，264356，264653。但是2613，2614，2643，2646不能被4整除，此时没有“好数”。 当首位为3时， （1）若第二位为2，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为321456，321654，324156，324651。但是3214，3241，3246不能被4整除，3216能被4整除，321654能被6整除，只有321654为所求的一个“好数； （2）若第二位为4，第三位只能为2，可能的“好数”为342156，342651。但是3421，3426不能被4整除，此时没有“好数”； （3）若第二位为6，第三位是1，2，4中的任意一个，都不能被3整除，此时没有“好数”。 以同样的方法讨论，当首位是4，6时都不存在“好数”。 答：所求的“好数”只有123654和 321654共计2个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章：数的认识 专题03：因数与倍数 （5大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 【考点一】因数和倍数的认识 【考点二】2、3、5的倍数特征 【考点三】奇数和偶数 【考点四】质数与合数 【考点五】最大公因数和最小公倍数 知识点01：因数和倍数的认识 1.因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。 2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 【易错点拨】 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 （2）倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。 2.因数和倍数的特征 （1）因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用 1.单个数字的倍数特征 （1）自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （2）个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2.组合数字的倍数特征 （1）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； （2）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； （3）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； （4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点03：奇数和偶数 1.奇数和偶数的定义 自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 【易错点拨】0是最小的偶数；1是最小的奇数。 2.奇偶性运算规律 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 知识点04：质数与合数 1.质数与合数的定义 （1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【易错点拨】最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 2.100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 3.分解质因数 （1）质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 （2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （3）常用方法：短除法。 知识点05：最大公因数和最小公倍数 1.最大公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。 2.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。 3.求最大公因数和最小公倍数的核心方法：短除法 （1）用几个数的公有质因数依次去除，直到商只有公因数1（互质）为止； （2）若求最大公因数，把所有的除数连乘； （3）若求最小公倍数，把所有的除数和最后的商连乘。 考点1：因数和倍数的认识 【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（     ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 【典型例题2】一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是（     ）。 【变式训练1】我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下面出现的数中不是108的因数的是（     ）。 A．女性3位 B．男性105位 C．天罡星36位 【变式训练2】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 考点2：2、3、5的倍数特征 【典型例题1】截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（ ）辆。 【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。 有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？ （2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请找出其规律，并表示出来。 【变式训练1】一个四位数145□，□最大填（ ）就是3的倍数；□最小填（ ）时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当□填（ ）时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【变式训练2】某小学开展劳动技能比赛，五年级四个班学生包饺子的数量情况如下（部分数字被盖住），这四个班包饺子的总数一定是（     ）。 五（1）班 五（2）班 五（3）班 五（4）班 18 06 903 17 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．9的倍数 考点3：奇数和偶数 【典型例题1】“三月三”节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人机入场时的队列如图。表演时进行队列变换，下面（     ）图可能是无人机的表演队列。 A． B． C． D． 【典型例题2】张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【变式训练1】在三个连续的奇数中，最小的奇数是n，它们的和是（ ）；如果这三个奇数的和是105，那么最大的奇数是（ ）。 【变式训练2】小猫今天钓上来1001条鱼，并将其从1－1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，每天按照以下规律吃鱼：第一天，吃从左往右数第一条鱼；第二天，吃从左往右数第二条鱼。即第天都吃当天从左往右数第条鱼。吃到最后，在剩下的鱼里面，偶数标号的鱼占整体的比例为（ ）%。 考点4：质数与合数 【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（     ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【典型例题2】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【变式训练1】三个连续的非零自然数的积一定（    ）。 A．既是奇数又是合数。 B．既是偶数又是质数。 C．既是奇数又是质数。 D．既是偶数又是合数。 【变式训练2】数学上把相差2的两个质数叫作“孪生质数”，如5和7都是质数，且5和7相差2，那么5和7就是一对“孪生质数”。下列是一对“孪生质数”的是（     ）。 A．11和13 B．13和15 C．9和11 D．2和3 考点5：最大公因数和最小公倍数 【典型例题1】小强把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可以裁成几块？ 【典型例题2】三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 【变式训练1】为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关卡挂绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是（ ）米。 【变式训练2】有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过（ ）分钟这个电子表既亮灯又报时。 一、选择题 1．一个质数和一个合数的最大公因数一定是1，要想说明上面这句话是错误的，可以用下面（     ）作为例子进行反驳。 A．3和4 B．6和8 C．2和10 D．5和7 2．625□是一个四位数，在□里填上一个数字，使这个四位数同时是2、3的倍数。方框里应填（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．队列表演中，如果每8人一组或每10人一组，能刚好分完组，那么至少有（     ）名同学参加表演。 A．18 B．40 C．80 D．100 4．从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的三位数，有（     ）种不同的组法。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．秦始皇陵兵马俑是世界八大奇迹之一。二号坑第一单元阵心由八路面东的160个蹲跪式弩兵组成，壮壮用下面的方法数这些弩兵俑，不能正好数完的是（     ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．5个5个地数 D．10个10个地数 6．如果a是一个合数，b是一个质数，那么下面（     ）的结果肯定是合数。 A．a＋b B．a－b C．a×b D．a÷b 7．一个自然数的最小倍数是36，这个数的因数有（     ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 8．小芳在做手工时，需要将两根分别为24米和18米的彩带剪成同样长的小段，最少一共剪成（     ）段。 A．4 B．5 C．6 D．7 9．已知2个不同的一位数△，□和两位数，这3个数的乘积是三位数，那么等于（     ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 10．在这些数字卡片中，质数有（ ）个。从这些卡片中选择3张组成一个既是偶数又是3的倍数的三位数，这个三位数最小是（ ）。 11．一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是2和3的最小公倍数，十万位上是最小的合数，其余各位上都是0，这个数写作（ ），省略亿后面的尾数约是（ ）。 12．把一些梨平均分给小朋友，5个人来分和6个人来分都刚好剩1个，这些梨至少有（ ）个。 13．把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（ ）个。 14．a，b都是大于0的自然数，如果a＝7b，那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 15．5月22日是“杂交水稻之父”袁隆平爷爷逝世纪念日。世界第一株杂交水稻南优2号研制成功的年份数是一个四位数，根据下列信息判断，南优2号是在（ ）年研制成功的。 ①千位上的数既不是质数，也不是合数； ②百位上是一个合数，也是一个奇数； ③十位上的数比最小的质数大5； ④个位上的数比最小的合数小1。 16．斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是（ ）。这个数列中的第100个数是（ ）数。（奇或偶） 17．若a－b＝1（a、b是非零自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 18．四位数7□8□是2、3、5的公倍数，个位只能是（ ），百位上最大是（ ）。 19．把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（ ）个。 20．笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是（ ），它共有（ ）个因数。 21．育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这班至少有学生（ ）人。 22．李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在60个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有（ ）个。 23．有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是（ ）。 24．一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数是（ ）。 25．爱心超市每月一次给社区清洁工人发放爱心小礼包，每次超市会准备72个面包、180袋小饼干，打包成若干份，要求每份里面的面包个数相同，小饼干袋数也相同。爱心超市每次最多能发放给（ ）位社区清洁工人，每位社区清洁工人会收到（ ）个面包、（ ）袋小饼干。 26．红军小学第14届少代会参会人数在50～60人之间，其中男、女生人数的比是3∶4，参加本届少代会代表人数共有（ ）人。 27．表示一个四位整数，那么＝3×1000＋（ ）＋4×10；如果是3的倍数，那么＝（ ）。 28．有一种长方形纸片，长15厘米，宽12厘米，至少需要（ ）张这样的纸片才能拼成一个正方形。 29．幼儿园的老师把一堆苹果分给几个小朋友，每人6个还多5个，每人5个还多8个。一共有（ ）个苹果，有（ ）个小朋友。 三、解答题 30．“馨香”花店用18朵康乃馨和27朵勿忘我做花束，顾客要求每个花束里面的康乃馨朵数相等，勿忘我的朵数也相等，最多能做多少束？每个花束里有多少朵花？ 31．从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 32．探究与运用。 （1）探究：请你举出“两个相邻奇数相乘的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况） （2）发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是（ ）和（ ）。 （3）运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻奇数的积，它是（    ）。 A．337 B．1661 C．3363 （4）这两个奇数分别是（ ）和（ ）。 33．我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等。请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐。 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有宴。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？ ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭。”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 34．设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $