小升初奥数培优讲义03 分数的速算巧算（讲义）-2025-2026学年 六年级下册数学 通用版

该小学数学讲义聚焦小升初分数速算巧算专题，涵盖约分简化、裂项法、错位相减法等核心技巧，通过知识梳理构建方法体系，典型例题精讲突破重难点，跟踪训练即时巩固，提升练习强化应用，帮助学生系统掌握分数运算的高效解题策略。 亮点在于以数学眼光引导观察数字结构，如裂项法中通过分母乘积特征抽象出裂差裂和模型，培养抽象能力与运算能力。设计阶梯式练习，从基础裂项到复杂分组运算，结合代数法设元训练数学思维，助力学生突破繁琐计算，教师可依托例题与练习精准定位学生薄弱点，提升复习效率。

口小升初奥数培优讲义 专题03分数的速算巧算 色知识梳理 分数的速算与巧算，核心在于化繁为简”。与小数不同，分数运算更侧重于对数字结构的观 察，通过裂项、分组、约分等技巧，避免繁琐的通分过程。 1.分数速算的基本原则 (1)约分简化：在乘除法中，先约分再计算。 (2)通分策略：在加减法中，寻找最小公倍数通分，或利用基准数。 (3)整体思想：将复杂的分数部分看作一个整体进行运算。 2.常用速算技巧 (1)裂项法（核心)： ①裂差：形如 +=走×（合一本）。常用于分母是两个连续自然数乘积的情况( k=1)。 ② 裂和：形如端=日+吉。 axb (2)错位相减法：当分子分母存在倍数关系时，将原式乘以公比，错位相减消去大部分项。 (3)分组法：将算式中符号或数值规律相同的项分为一组，分别计算。 (4代数法：当算式结构复杂但规律明显时，设算式为X,通过变形求解。 3.思维方法 (1)观察分母：看分母之间是否存在倍数、因数或连续关系。 (2)寻找裂项特征：看到分母是乘积形式，优先考虑裂项。 (3)等比数列求和：识别出后一项是前一项的几分之几。 亦例题讲解 【典型例题1】 计算：+十这十…十g丽 1/5 M 小升初奥数培优讲义 优胜 【跟踪训练1】 计算：文+4十+…十4 【典型例题2】 计算：是+年+合++克+产 【跟踪训练2】 计算：青+音+立+京+3 【典型例题3】 计算：1-最+是-箭+号-品 2/5 M 小升初奥数培优讲义 优胜 【跟踪训练3】 计算：吾-品+易-品 【典型例题4】 计算： (1+)×(1+)×(1+合)×…×(1+品)×(1-青)×(1-专)×…×(1-) 【跟踪训练4】 计算：（1-)×(1-青)×(1-)×…×(1-) 提升练习 1.计算：4+4+6+…+40 3/5 ☑小升初奥数培优讲义 优胜教 2.计算：文++7+…+g丽 3.计算：支+言+立+六十…十g0 4.计算：+台+品+克+年+ 5.计算：言+房++亦+ 6.计算：2哈-五+易-箭 4/5 ☑小升初奥数培优讲义 优驻 7.计算：号-吾+五-品+箭-号 8.计算：1-竞--言-6-立-产 9.计算：3X5+2x6x10叶4w12x20 1×2x3+2x4x6+x8x12 10.计算：2文4+46+8+…+48x50 11.计算：2006÷200628+ 5/5☑小升初奥数培优讲义 专题03分数的速算巧算 色知识梳理 分数的速算与巧算，核心在于化繁为简”。与小数不同，分数运算更侧重于对数字结构的观 察，通过裂项、分组、约分等技巧，避免繁琐的通分过程。 1.分数速算的基本原则 (1)约分简化：在乘除法中，先约分再计算。 (2)通分策略：在加减法中，寻找最小公倍数通分，或利用基准数。 (3)整体思想：将复杂的分数部分看作一个整体进行运算。 2.常用速算技巧 (1)裂项法（核心)： ①裂差：形如 +=走×（合-本）。常用于分母是两个连续自然数乘积的情况( k=1)。 ② 裂和：形如端=音+吉。 axb (2)错位相减法：当分子分母存在倍数关系时，将原式乘以公比，错位相减消去大部分项。 (3)分组法：将算式中符号或数值规律相同的项分为一组，分别计算。 (4代数法：当算式结构复杂但规律明显时，设算式为X,通过变形求解。 3.思维方法 (1)观察分母：看分母之间是否存在倍数、因数或连续关系。 (2)寻找裂项特征：看到分母是乘积形式，优先考虑裂项。 (3)等比数列求和：识别出后一项是前一项的几分之几。 亦例题讲解 【典型例题1】 计算： ☆+女+这+…+丽 【答案】 99 100 【分析】 这是一道典型的“裂差”题目。观察每一项的分母都是两个连续自然数的乘积。根 据公式 =贵一本，将每一项拆分后，中间的项会相互抵消，只剩下首尾两项。 1/10 口小升初奥数培优讲义 【详解】 原式=（1-)+（生-专）+(-)+…+(-) =1-(中间-专与+专等全部抵消) =器 【跟踪训练1】 计算： 女十++…十而 【答案】 弟 【分析】 同样使用裂项法，每一项 d=音-市。这里首项是，末项是动。 【详解】 原式=(-专)+（侍-）+…+（转-） =支-前 =第-动 =箭= 【典型例题2】 计算：之++音++克+产 【答案】 解 【分析】 这是一个等比数列求和（公比为支）。可以使用错位相减法”：将原式乘以公 比，得到的新式子与原式错位相减，可以消去大部分项。 【详解】 设原式=S。 则 S=号++言++克+房(1) 两边同时乘以2： 2S=1+克+年+日+品+ .(2) 用(2)-(1)得： 2/10 口小升初奥数培优讲义 优胜 2S-S=1-4 S=解 【跟踪训练2】 计算：青+古+品+立+南 【答案】 端 【分析】 这是一个公比为3的等比数列。使用错位相减法，将原式乘以3，然后与原 式相减。 【详解】 设原式=S。 S=专+音+立+击+ .(1) 两边同时乘以3： 3S=1+专+号+克+…(2) (2)-(1)得： 3S-S=1-南 2S=器 S=端 【典型例题3】 计算：1 -五+品-箭+授-器 【答案】 名 【分析】 这道题符号正负交替，且带分数和假分数混杂。首先将带分数化为假分数，观察 分母(3,12,20,30,42,56)。分母可以分解为 3=1×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,42=6×7,56=78。尝试将每一项裂项成两 个分数的差或和，再进行抵消。 【详解】 原式=专-五+品-箭+器-器 3/10 ☑小升初奥数培优讲义 裂项拆分（观察分子比分母的两个因数之和小1或大1的规律，或直接拆）： =（1+青)-(3+)+（年+吉）-(3+)+（倍+）-（号+吉） =1+专-青-+子+青-含-吉+吉+月-号- =1-月 = 【跟踪训练3】 计算：各-品+品-0 【答案】 【分析】 观察分母6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6。分子分别是 5=2+3,7=3+4,9=4+5,11=5+6。利用公式端=音+吉进行裂和，然后正负相消。 【详解】 原式=(+)-(+)+(+吉)-（号+君） =是+寺-青-子+是+片-吉-君 =支-音 =是-启 =名=青 【典型例题4】 计算： (1+)×(1+)×(1+合)×…×(1+0)×(1-青)×(1-3)×…×(1-) 【答案】 节 【分析】这是一个连乘题。先将括号内的带分数化为假分数，观察规律 ()×()×()×(号)×()×()×()×()×()。 观察发现分子和分母存在大量可以约分的项（如三和号），通过约分可以大幅简化计算。 【详解】 4/10 小升初奥数培优讲义 优胜 原式=号×是×名×是×节×号×青×号×昌 将互为倒数的项结合约分： =(是×号)×(×青)×（话×）×（号×号）×0 =1×1×1×1×0 =品 【跟踪训练4】 计算：(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-) 【答案】 成 【分析】 先将括号内化简为假分数形式：支×号×是×…×品。这是一个典型的连锁约 分”题目，前一项的分子与后一项的分母可以约掉。 【详解】 原式 =支×号×星×青×…×品 =方×号×星×…×器 =动 心提升练习 1.计算： 女+女十+…+ 【答案】 锅 1 【分析】 此题为典型的裂差题型。利用公式x品+可=责一本进行拆分。拆分后中间项 相互抵消，最后剩下首项的专减去末项的前。 【详解】 原式=（传-）+(-)+…+（-) =青-动 =品-品 5/10 口小升初奥数培优讲义 优胜 =郜 2.计算：☆十之十☆7+…十g79 【答案】 器 【分析】 此题分母为相差2的两个数乘积。利用公式+=×（合-）。提取公 因数专后，进行裂项相消。 【详解】 原式=支×[(1-寺)+（月-吉）+（传-）+…+（岛-品）] =×(1-3+青-房+-号+…+成-扇) =支×(1-) =青×器 = 3.计算：是+言+立+六+…+g而 【答案】 器 【分析】 观察分母2=1×2,6=2×3,12=3×4，可知通项为x+。 利用裂差公式 合一中拆分，中间项抵消。 【详解】 原式=2++…+g9x10 =（1-)+(-青)+…+（动-） =1-0 =器 4.计算：+吉+市+立+房+ 【答案】 锅 6/10 口小升初奥数培优讲义 【分析】 此题为等比数列求和（公比）。使用错位相减法”：设原式为S,两边同乘 以2，得到2S,两式相减求解。 【详解】 设S=+合++…+8…(1) 则 2S=号+是+合+…+产…(2) (2)-(1)得： 25-S=克- S=路- S=歸 5.计算：专+宗+++ 【答案】 【分析】 此题公比为 言。使用错位相减法，设原式为S,两边同乘以5，错位相减。 【详解】 设 S=青+是+克++2(1) 则 5S=1+言+宗+克+苏(2) (2)-(1)得： 5S-S=1-s 4S=器 S=43病 3124 S=路 6.计算： 2哈-五+品-0 【答案】 【分析】 此题涉及带分数和正负交替。将带分数化为假分数晋，观察分母 7/10 ☑小升初奥数培优讲义 优 6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6。利用端=吉+片进行裂和拆分，注意符号变 化。 【详解】 原式=号-最+品-0 =(+)-(3+)+(年+)-(3+) =是+青-青-是++专-合- =支- = 7.计算：号-吾+五-易+箭-授 【答案】 【分析】分子为奇数列，分母为连续自然数乘积。将每一项裂项为两个分数的和或差，如 多=1+主，吾=支+专等，然后正负相消。 【详解】 原式=(1+)-(+)+（传+）-(+)+(+合)-（启+） =1+分-是-青+青+是-是-启+吉+合-合-号 =1-月 =9引 8计算：1-是--言-6-立-应 【答案】 品 【分析】 利用借一还一”或错位相减的思想。从1里面连续减去公比为寺的等比数列， 结果等于最后一个减数。 【详解】 原式=1-(+主+合+品+克+产) 8/10 小升初奥数培优讲义 优胜 利用等比数列求和公式或观察法： =1-（1-产) =年 9.计算： 1x2x3+2x4x6+4x8x12 1x3x5+2X6x10H4x12X20 【答案】 【分析】 观察分子和分母的各项，发现分母的各项是分子对应项的倍数关系（分母是分子 的号倍？)。提取公因数，分子提取1×2×3，分母提取1×3×5。 【详解】 分子=1×2×3×(1+23+43)=6×(1+8+64)=6×73 分母=1×3×5×(1+23+43)=15×(1+8+64)=15×73 原式=器 =是=青 10.计算： 之十十十…十40 【答案】 【分析】 分母是两个相差2的偶数乘积。利用公式+=号×（合一）。这里n 取值为2,46，48。 【详解】 原式=支×[（是-）+(-合)+（启-合）+…+(-前)] =×(-+-言+君-日+…+南-动) =是×（生-励） =×(器-) =青×酷 =号×第 9/10 ☑小升初奥数培优讲义 优胜 = 11.计算： 2006÷2006288+ 【答案】 1 【分析】 带分数除法。先把带分数 2006289 化为假分数 2006x2007+2006 2007 20062007+1_20052008。 2007 2007 然后利用除以一个数等于乘以倒数进行约分。 【详解】 原式 =2006÷2002908+3 2007 2007 =2006×2006x2008+2008 =2086+20 =2808=1 10/10