考点01 平移（9大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点01 平移 考点一：平移的定义 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移。 注意： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离。 （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。 考点二：平移的性质 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小。 （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形。 考点三：平移的作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”—定、找、移、连。 （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出表示图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点。 题型一：认识生活中的平移现象 平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个相同方向移动相同距离的图形运动。其核心要素是： （1）方向不变：所有点移动的路径是平行的。 （2）距离相等：图形上任意两点间的相对位置和距离保持不变。 （3）形状大小不变：平移不改变图形的形状、大小和方向（不发生旋转或扭曲）。 （1）只有沿直线运动才可能是平移； （2）方向变了，不是平移； （3）上下、左右都是平移． 【典例精讲】（2026•池州开学）甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025春•临平区月考）下列各组图形的变化中，属于平移的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025春•杭州月考）下列图形的变化中，属于平移的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025秋•厦门期末）如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（　　） A． B． C． D． 题型二：平移的性质求长度 根据平移的性质可得对应线段相等，找对应点，找对应边，得到相等. （1）只有平移前后互相对应的线段才相等，不是随便两条边相等； （2）求总长度时：对应边 + 平移距离； （3）方向不管，长度不变：上下、左右、斜着平移，边长都不变. 【典例精讲】（2025秋•旬阳市期末）如图，将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，若DF＝9，AG＝3，则CG的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．3 【变式训练1】（2025春•新都区期末）如图，△ABC沿BC方向向右平移4cm得到△DEF，已知EC＝1cm，则BF的长度是（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．9cm 【变式训练2】（2025秋•徐汇区校级期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH，形成“方胜”图案，且E是AC的三等分点（AE＜EC），如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为　　 ． 【变式训练3】（2025秋•浦东新区期末）如图，将一个周长为10cm的△ABC沿射线AB方向平移到△DEF的位置，（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若四边形AEFC周长为14cm，则平移距离为　　 cm． 题型三：平移的性质求周长 （1）直接求平移后周长； （2）“楼梯”模型：将阶梯状的折线，通过平移横边和竖边，转化为一个长方形； （3）“凹槽”模型：将凹进去的边，平移到外围，补全成一个规则图形（如长方形、大三角形）． （1）平移只改位置，不改大小、边长、周长； （2）千万不要把“平移距离”加进周长，平移的那段线段不是图形的边，不算周长； （3）只有平移前后对应的边才相等，不是随便两条边相等； （4）图形“凹进去”的题：平移线段补成长方形，把凹进去的边平移出去，周长不变‘ （5）清题目问的是谁的周长，别把“组合图形”当成“单个图形”． 【典例精讲】（2025•上城区校级三模）如图，△ABC的边长AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜5cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 【变式训练1】（2025秋•蓬莱区期末）如图，在直角三角形AOB的斜边AB上有五个小直角三角形，已知大直角三角形的周长为60厘米，则这五个小直角三角形的周长为　　 ． 【变式训练2】（2025秋•宁波校级期中）如图，将正方形EBGF、正方形KLMN、正方形HIJD放入长方形ABCD中，其中HP＝JC，IQ＝QM，已知长方形ABCD的周长和中间正方形的边长LM，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（　　） ①乙的周长； ②甲、乙的周长和； ③丙、丁的周长差； ④甲、乙、丙、丁的周长和． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练3】（2025秋•温江区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝5，将三角形ABC沿BC向右平移至DEF，点E在BC上，若AD＝2CE，则四边形ABFD的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 题型四：平移的性质求面积 （1）分析图形结构； （2）设计平移方案； “补缺”法：将图形外部的规则部分平移，填补内部的空缺，使整体成为一个规则图形； “重组”法：将图形本身切割成几块，然后通过平移这几块，重新组合成一个新的规则图形； “等积转化”法：利用“等底等高的三角形面积相等”的原理，通过平移顶点（本质是底边不动，顶点在平行于底边的直线上移动）来改变三角形的形状，但不改变其面积； （3）算新得到的规则图形的面积． （1）混淆“平移补形”与“直接加减”：对于规则缺口（如矩形中挖掉一个矩形），直接“大面积减小面积”是最稳妥的方法，无需复杂平移，平移法更适用于无法直接加减的不规则图形； （2）误用平移求“阴影部分”面积：当图形由多个重叠部分构成时，平移整个阴影部分可能不现实。此时常需要平移某条关键的边界线，从而将阴影部分转化为规则图形的和或差； （3）忽视“等底等高”的平移本质：在三角形中，保持底边不变，将顶点沿着与底边平行的直线移动（顶点平移），三角形的面积不变． 【典例精讲】（2025秋•滨城区期末）如图，在△ABC中，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，若CC′＝3，A′D＝4，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【变式训练1】（2025秋•历下区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分图形的面积为　　 ． 【变式训练2】（2025春•滨海新区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③∠C＝∠BHD；④阴影部分的面积为6cm2．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 题型五：平移的性质求角度 （1）平移前后对应角相等； （2）用平行线的性质求角度 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． （1）只记“对应角相等”，忘记平移出平行线； （2）把“内错角、同位角、同旁内角”搞混； （3）算角度时漏减、漏加． 【典例精讲】（2025春•官渡区期末）如图，把一个含30°的三角板ABC沿直尺平移得到三角板ECD，则∠ACE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式训练1】（2026•延安开学）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为　　 °． 【变式训练2】（2025春•吉林校级期末）如图，在三角形ABC中，BC＝9cm，∠B＝70°，将三角形ABC沿BC向右平移，得到三角形DEF（点E在线段BC上），点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，且AD＝2CE．则下列选项正确的是（　　） A．AD＝5cm B．∠BAD＝100° C．BF＝12cm D．∠EDA＝70° 【变式训练3】（2025•官渡区一模）如图，直线CD由直线AB平移得到，直线AB，CD被直线EF所截，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．38° B．50° C．52° D．100° 题型六：平移作图 （1） 找关键点：找出图形的顶点、端点（比如三角形3个顶点）； （2）定平移方向和距离：向右/左/上/下 移几格； （3）画对应点：每个关键点都按相同方向、相同格数平移，画出新点； （4）依次连线：按原来的顺序，把新点顺次连接，画出新图形． （1）关键点没找全 / 找错； （2）每个点移动的格数不一样； （3）数格子数错； （4）方向看反； （5）连线不按顺序 / 连错点； （5）新图形方向变了（旋转了）． 【典例精讲】（2025秋•松江区期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸格点上．将三角形ABC先向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在方格纸中画出平移后的三角形A′B′C′； （2）求出线段AC′扫过的图形的面积． 【变式训练1】（2026•池州开学）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数是　　 ．（点P异于点A） 【变式训练2】（2025春•海港区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形ABC三个顶点都在正方形的格点上（即小正方形的顶点）． （1）将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，画出平移后的三角形DEF； （2）连接点A与点D，点C与点F，线段AD与线段CF的关系是 　 　 ； （3）四边形ACFD的面积为 　 　 ； （4）在网格内找一点N，使△NBC的面积等于△ABC的面积（N与A不重合），这样的点N有 　 　　个． 题型七：利用平移的性质解决实际问题 （1）楼梯/台阶问题（求长度、地毯长） 思路： 把所有横线段平移到一起， 把所有竖线段平移到一起， 总长 = 水平总长 + 竖直总长； （2）修路/小路问题（求草地面积） 思路： 把两边草地向中间平移， 挤掉小路，拼成完整长方形，再算面积； （3）栏杆/锯齿形（求周长） 思路： 凹凸部分平移，拼成长方形， 周长 = 长方形周长． （1）把“平移后拼出来的长/宽”算错； （2）楼梯、地毯问题：只算一边，漏加另一边； （3）修路、铺砖、弯弯曲曲图形：以为周长/面积变了，其实不变． 【典例精讲】（2025秋•普陀区期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（　　） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【变式训练1】（2025春•黄埔区校级期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025春•朝阳区校级期末）小温同学在美术课上将△ABC通过平移设计得到“一棵树”．已知底边AB上的高CD为5cm，沿CD方向向下平移3cm到△A1B1C1的位置，再经过相同的平移到△A2B2C2的位置，若下方树干EF的长为3cm，则树的高度CF的长为（　　） A．17cm B．16cm C．15cm D．14cm 题型八：利用平移设计图案 （1）选一个简单的基本图形； （2）确定平移方向和距离； （3）依次平移作图； （4）涂色、美化． （1）把平移、旋转、轴对称搞混； （2）平移时方向或距离不一致； （3）图形变形、大小改变； （4）只移一部分，没按规律重复； （5）漏画、少画、位置错． 【典例精讲】请仔细观察图①中的三个图，根据它们都具备的共同特征，在图②中设计一个图案使它也具备图①中三个图的相同特征． 【变式训练1】作图题 （1）3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树． （2）小明家有一块三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜． 【变式训练2】（2024秋•襄都区期末）生活中处处有数学，欣欣利用图1中常见的安全出口标志在图2中设计图案，图2中的网格中每个小正方形的边长都为1．请帮欣欣完成设计过程． （1）图1中的图案，英文上方的部分是 　　 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） （2）图2中欣欣将图形①向上平移 　　 格得到图形②，帮助欣欣画出将图形①向下平移3格后的图形③． （3）图形①②③的面积和为 　　 ． 【变式训练3】利用平移可以设计很多美丽的图案，如图中的每一个人都可以由正方形上的平移得到． 类似地，请你用平移设计一些图案． 题型九：平移的性质与平行线的性质结合 （1）先找平移带来的平行； （2） 把“平移平行”当成“已知平行”； （3）再用平移对应角相等； （4）列式算角度或线段． （1）把“同旁内角”当成相等； （2）找错平行线段； （3）找错对应角、对应点； （4）角度计算漏步骤． 【典例精讲】（2025春•泸县校级期中）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E，∠ADC＝80°． （1）如图1，当点B在点A的左侧时， ①求∠EDC的度数； ②若∠ABC＝40°，求∠BED的度数； （2）如图2，将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其它条件不变，若∠ABC＝n°，求：∠BED的度数（用含n的式子表示）． 【变式训练1】（2025春•锡林郭勒盟期末）直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°， （1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM； （2）如图2，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上． ①求∠PDE的度数； ②将△ABC固定，△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH，两线相交于点H（图3），直接写出∠GHF的度数． 【变式训练2】（2025春•阳泉期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线MN，PQ（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板ABC进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线PQ上，过30°角的顶点，作直线PQ的平行线MN，直线MN始终位于直线PQ的上方． 探究发现： （1）如图1，若∠ABQ＝60°，则∠MAC的度数为　　 °． （2）若直角三角板的直角顶点C位于直线MN与PQ之间． ①如图1，若∠ABQ的角度未知，试猜想∠MAC和∠CBP之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板ABC沿直线PQ向右平移，使直角顶点C恰好落在AB上，得到三角形DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），连接CF．若∠ABQ＝65°，请求∠DFC的度数． 深入探究： （3）若直角三角板的直角顶点C不在直线MN与PQ之间，请直接写出∠MAC和∠CBP之间的数量关系． 1．（2025春•嵊州市期末）宇树机器人“G1”如图所示，将它通过平移可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•当阳市期末）如图中的变换属于平移的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•长春期末）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，连结AD．如果△ABC的周长是13cm，那么四边形ABFD的周长为（　　） A．13cm B．15cm C．17cm D．26cm 4．（2025•清镇市模拟）如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（　　） A．130° B．90° C．65° D．50° 5．（2025春•威远县校级期末）如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 6．（2025春•信阳校级期末）如图所示，将△ABC沿着X→Y方向平移一定距离后得到△MNL，则下列结论中正确的有（　　） ①AM∥BN；②AM＝BN；③BC＝NL；④∠ACB＝∠NML． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025春•江宁区校级月考）如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF 8．（2025春•工业园区校级期中）如图，射线a，b分别与直线l交于点A，B．现将射线a沿直线l向右平移过点B，若∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．60° C．90° D．80° 9．（2025春•襄垣县校级期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形A'B'C'，下列结论中，正确的有（　　） ①AA'∥BB'或AA'与BB'在同一条直线上 ②BB'∥CC'或BB'与CC'在同一条直线上 ③AA'＝BB'＝CC' ④BC＝A'C' A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024秋•牙克石市期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A．20 B．18 C．15 D．26 11．（2025春•双滦区期末）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到△A′B′C′位置．下列结论：①AA′∥BB′，且AA′＝BB′；②S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′；③若AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为5；④若四边形AA′B′C的周长为a，三角形ABC的周长为b，则．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025春•宁强县期末）如图，将周长为12的△ABC沿直线BC向右平移n个单位长度，得到△DEF，DE交AC于点G，连接AD．给出下列结论：①AD∥BE，AD＝BE；②若DE⊥AC，则AB⊥AC；③AG＝CG；④若四边形ABFD的周长为24，则n＝6．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025秋•长沙期末）如图，将△ABC沿着BC方向平移至△DEF处．若CE＝2BE＝6cm，则BF＝　 　 ． 14．（2025秋•海安市期末）如图，某校劳动实践基地是一块长9.8m，宽6.6m的长方形试验田，现规划4条宽度相等的小路（如图阴影部分），将试验田分割成大小完全相同的8块小长方形菜地，每块菜地的长（纵向）比宽（横向）多1m，则菜地的总面积为　 　 m2． 15．（2025秋•莱西市期末）如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，连结AD，若BF＝7cm，CE＝1cm，则AD＝ 　 　 cm． 16．利用如图所示的图形，通过平移设计图案． 17．（2024秋•叙永县校级期末）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点． （1）将△ABC向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A'B'C'； （2）利用网格在图中画出△ABC的高线AE； （3）在图中能使S△ABC＝S△BCP的格点P的个数有几个？（点P异于C）． 18．（2025春•百色期末）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移4格，得到△A1B1C1． （1）请在图中画出平移后的△A1B1C1； （2）连接AA1，BB1，则它们的数量关系是　 　 ； （3）求线段AB直接平移至A1B1扫过的面积． 19．（2024秋•郧阳区校级期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥（桥墩忽略不计）．已知湖泊长35米，宽20米，桥面的宽度为2米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放2条金鱼．求： （1）这座桥的面积是多少？ （2）管理员准备投放多少条金鱼？ 20．（2024秋•方城县期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺（∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°）和两条平行线（a∥b）”为背景开展数学活动． （1）[操作发现] ①如图（1），若∠1＝46°，则∠2的度数为　　 　　 ； ②如图（2），保持∠1＝46°不变，创新小组的同学将直线a向上平移，AB与直线a相交于点E，形成如图所示的∠2，求∠2的度数； （2）[类比探究]缜密小组将图（2）中的图形继续变化得到图（3），AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2存在固定的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 21．（2025•大同开学）别有“动”天 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通．如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． 如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米．涂色三角形BCE的面积是（　　 　 ）平方厘米． 轩轩想：点B沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2），图2中三角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，图2中涂色三角形ADC的面积和图1中涂色三角形BCE的面积相等． 涂色三角形通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解．既然点可以动起来，那么线段呢？ 如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，原来长方形ABCD的周长是（　　 　　 ）厘米． 轩轩想：线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC．原来长方形ABCD的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题． 点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工．静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限．聪明的你，快来动手试一试，尝试解决图4中的问题吧！ 如图4，大正方形ABCD的边长是14厘米，梯形AHGD的面积是90平方厘米，涂色正方形HEFG的面积是多少平方厘米？（写出计算过程，） 图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境．亲爱的同学们，愿你凭借智慧攻克难题，带着自信收获佳绩，开启美好初中之旅！ 22．（2025春•磁县校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，∠EGF＝32°． （1）求∠B的度数； （2）若AD＝4，BC＝10，求FG的长． 23．（2025春•南皮县期末）将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF． （1）若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数； （2）若△ABC的周长为12cm，BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，连结AD，则四边形ABFD的周长为 　　 　　 cm． 24．（2025春•任泽区校级月考）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝52°，BC＝8，将此三角形向右平移得到三角形A1B1C1，此对边A1B1与边AC相交于点D，连接AA1． （1）分别求∠B1DC和∠A1AB的度数； （2）若点B1落在边BC的中点处，且AD＝DC＝3，求四边形ABB1D的面积； （3）已知P是三角形ABC内部一点，三角形ABC平移到三角形A1B1C1的位置后，点P的对应点为P1，连接PP1，若三角形ABC的周长为m，四边形ABC1A1的周长为m+12，直接写出PP1的长度． 25．（2025春•南昌期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHC＝α（0°＜a＜90°）． 小新将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNA+∠PMC＝　　 　　 °； （2）若PM∥EF，∠MNG的角平分线NO交直线CD于点O． ①如图②，当NO∥EF时，求α的度数； ②小新将三角板PMN向右平移，直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）． 26．（2025秋•海淀区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E． （1）写出∠EDC的度数 　　 　　 ； （2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 平移 考点一：平移的定义 注意： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离。 （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。 考点二：平移的性质 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小。 （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形。 考点三：平移的作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”—定、找、移、连。 （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出表示图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点。 题型一：认识生活中的平移现象 平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个相同方向移动相同距离的图形运动。其核心要素是： （1）方向不变：所有点移动的路径是平行的。 （2）距离相等：图形上任意两点间的相对位置和距离保持不变。 （3）形状大小不变：平移不改变图形的形状、大小和方向（不发生旋转或扭曲）。 （1）只有沿直线运动才可能是平移； （2）方向变了，不是平移； （3）上下、左右都是平移． 【典例精讲】（2026•池州开学）甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质求解即可． 【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的，符合题意； A、B、C中的图形不是经过平移得到的，不符合题意， 故选：D． 【变式训练1】（2025春•临平区月考）下列各组图形的变化中，属于平移的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质，结合图形，选出正确答案． 【解答】解：由平移的性质可知，A中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形，符合题意； B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（2025春•杭州月考）下列图形的变化中，属于平移的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置， 所以A选项不符合题意，B选项符合题意． 因为C选项属于旋转变换， 所以C选项不符合题意． 因为D选项属于翻折变换， 所以D选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练3】（2025秋•厦门期末）如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质进行判断即可． 【解答】解：由平移可知， 按图中所示方式平移得到的线段与原来的线段平行且相等， 所以CD选项不符合题意． 又因为原来的线段与平移方向不垂直， 所以A选项不符合题意． 故选：B． 题型二：平移的性质求长度 根据平移的性质可得对应线段相等，找对应点，找对应边，得到相等. （1）只有平移前后互相对应的线段才相等，不是随便两条边相等； （2）求总长度时：对应边 + 平移距离； （3）方向不管，长度不变：上下、左右、斜着平移，边长都不变. 【典例精讲】（2025秋•旬阳市期末）如图，将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，若DF＝9，AG＝3，则CG的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．3 【分析】根据平移的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC沿直线BC平移得到， 所以AC＝DF＝9． 又因为AG＝3， 所以CG＝AC﹣AG＝9﹣3＝6． 故选：C． 【变式训练1】（2025春•新都区期末）如图，△ABC沿BC方向向右平移4cm得到△DEF，已知EC＝1cm，则BF的长度是（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．9cm 【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC沿BC方向向右平移4cm得到△DEF， ∴BE＝CF＝4cm， ∴BF＝BE+EC+CF＝4+1+4＝9（cm）， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•徐汇区校级期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH，形成“方胜”图案，且E是AC的三等分点（AE＜EC），如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为　　 ． 【分析】根据平行的性质进行计算即可． 【解答】解：由平移可知， AE＝CG＝3． ∵E是AC的三等分点且AE＜EC， ∴EC＝2AE＝6， ∴AG＝3+6+3＝12， 即点A与点G的距离为12． 故答案为：12． 【变式训练3】（2025秋•浦东新区期末）如图，将一个周长为10cm的△ABC沿射线AB方向平移到△DEF的位置，（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若四边形AEFC周长为14cm，则平移距离为　　 cm． 【分析】根据平移性质得到AD＝BE＝CF，BC＝EF，再根据已知图形的周长求得BE即可． 【解答】解：∵将一个周长为10厘米的△ABC沿射线AB方向平移后得到△DEF， ∴AD＝BE＝CF，BC＝EF， ∵△ABC的周长为10厘米， ∴AB+BC+AC＝10， ∵四边形AEFC的周长为14厘米， ∴AB+BE+EF+CF+AC＝14cm，即AB+BC+AC+2BE＝14cm， ∴BE＝2cm 即平移的距离是2cm． 故答案为：2． 题型三：平移的性质求周长 （1）直接求平移后周长； （2）“楼梯”模型：将阶梯状的折线，通过平移横边和竖边，转化为一个长方形； （3）“凹槽”模型：将凹进去的边，平移到外围，补全成一个规则图形（如长方形、大三角形）． （1）平移只改位置，不改大小、边长、周长； （2）千万不要把“平移距离”加进周长，平移的那段线段不是图形的边，不算周长； （3）只有平移前后对应的边才相等，不是随便两条边相等； （4）图形“凹进去”的题：平移线段补成长方形，把凹进去的边平移出去，周长不变‘ （5）清题目问的是谁的周长，别把“组合图形”当成“单个图形”． 【典例精讲】（2025•上城区校级三模）如图，△ABC的边长AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜5cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 【分析】根据平移的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到， 所以CF＝BE，DE＝AB＝4cm， 所以阴影部分的周长为：AD+EC+AC+DE＝BC+AC+DE＝5+3+4＝12（cm）． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•蓬莱区期末）如图，在直角三角形AOB的斜边AB上有五个小直角三角形，已知大直角三角形的周长为60厘米，则这五个小直角三角形的周长为　　 ． 【分析】小直角三角形与AC平行的边的和等于AC，与BC平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，据此即可求解． 【解答】解：过小直角三角形的直角定点作AC，BC的平行线， 则四边形DEFG是矩形． 则DE＝GE，同理可证：小直角三角形的与AC平行的边的和等于AC，与BC平行的边的和等于BC． ∴小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长． ∴这五个小直角三角形的周长为60厘米． 故答案为：60厘米． 【变式训练2】（2025秋•宁波校级期中）如图，将正方形EBGF、正方形KLMN、正方形HIJD放入长方形ABCD中，其中HP＝JC，IQ＝QM，已知长方形ABCD的周长和中间正方形的边长LM，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（　　） ①乙的周长； ②甲、乙的周长和； ③丙、丁的周长差； ④甲、乙、丙、丁的周长和． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】设AB＝a，BC＝b，LM＝c，LT＝x，LS＝y，IQ＝QM＝z，依题意，根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长，即可求解． 【解答】解：设AB＝a，BC＝b，LM＝c，LT＝x，LS＝y，IQ＝QM＝z，依题意， 乙的周长为：2（NQ+IQ）＝2（NQ+QM）＝2MN＝2c，故①正确，符合题意； 根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长： HP＝JC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴丁的周长为：TG+TM+QM+QJ+JC+CG＝2（JC+CG） 2a+2c﹣2x﹣2z， 丙的周长为：， ∴丙、丁的周长差为2c+2a﹣2z﹣2x﹣（2a+2c﹣2x﹣2z）＝0，故③正确，符合题意； ②甲、乙的周长和为2x+2y+2c，不是定值，故②不正确，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁的周长和为2（a+b）+4c，故④正确，符合题意； 故选：C． 【变式训练3】（2025秋•温江区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝5，将三角形ABC沿BC向右平移至DEF，点E在BC上，若AD＝2CE，则四边形ABFD的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 【分析】由平移性质可得，DF＝AC＝5，EF＝BC＝6，AD＝BE，又AD＝2CE，可得BE＝4＝AD，即可得四边形ABFD的周长为25． 【解答】解：由平移性质可得，DF＝AC＝5，EF＝BC＝6，AD＝BE， ∵AD＝2CE， ∴BE＝2CE， ∵BE+CE＝BC＝6， ∴BE＝4＝AD， ∴AB+BE+EF+DF+AD＝6+4+6+5+4＝25； ∴四边形ABFD的周长为25； 故选：C． 题型四：平移的性质求面积 （1）分析图形结构； （2）设计平移方案； “补缺”法：将图形外部的规则部分平移，填补内部的空缺，使整体成为一个规则图形； “重组”法：将图形本身切割成几块，然后通过平移这几块，重新组合成一个新的规则图形； “等积转化”法：利用“等底等高的三角形面积相等”的原理，通过平移顶点（本质是底边不动，顶点在平行于底边的直线上移动）来改变三角形的形状，但不改变其面积； （3）算新得到的规则图形的面积． （1）混淆“平移补形”与“直接加减”：对于规则缺口（如矩形中挖掉一个矩形），直接“大面积减小面积”是最稳妥的方法，无需复杂平移，平移法更适用于无法直接加减的不规则图形； （2）误用平移求“阴影部分”面积：当图形由多个重叠部分构成时，平移整个阴影部分可能不现实。此时常需要平移某条关键的边界线，从而将阴影部分转化为规则图形的和或差； （3）忽视“等底等高”的平移本质：在三角形中，保持底边不变，将顶点沿着与底边平行的直线移动（顶点平移），三角形的面积不变． 【典例精讲】（2025秋•滨城区期末）如图，在△ABC中，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，若CC′＝3，A′D＝4，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【分析】利用平移的性质得到BB′＝CC′＝3，A′B′＝AB＝8，△ABC≌△A′B′C′，则S△ABC＝S△A′B′C′，所以S四边形AEMC＝S阴影＝S梯形ABB′D，然后根据梯形的面积公式计算． 【解答】解：∵AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，CC′＝3，A′D＝4， ∴BB′＝CC′＝3，A′B′＝AB＝8，△ABC≌△A′B′C′， ∴S△ABC＝S△A′B′C′，即S阴影+S△DB′C＝S△DB′C+S梯形ABB′D， ∴ ， 故答案为：18． 【变式训练1】（2025秋•历下区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分图形的面积为　　 ． 【分析】由平移的性质结合已知条件易得，四边形ACFD是平行四边形，且CF＝AD＝4，这样结合∠B＝90°，AB＝5即可求得阴影部分的面积了． 【解答】解：∵将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，平移的距离是4， ∴AD∥CF，CF＝AD＝4， ∴四边形ACFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵∠B＝90°，AB＝5， ∴图中阴影部分图形的面积为CF•AB＝4×5＝20． 故答案为：20． 【变式训练2】（2025春•滨海新区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③∠C＝∠BHD；④阴影部分的面积为6cm2．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【分析】根据平移的性质判断即可． 【解答】解：因为将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm， 所以：BC＝EF，AB＝DE， ∴BH∥EF，①正确； ∴AB﹣DB＝DE﹣DB， ∴AD＝BE，②正确； ∵BH∥EF， ∴∠BHD＝∠F， 由平移性质可得：∠C＝∠F， ∴∠C＝∠BHD，③正确； ∵BC＝EF＝4cm，CH＝2cm， ∴BH＝2cm， ∴BH是△DEF的中位线， ∴DB＝BE＝2cm， ∴BD＝CH＝2cm， ∵阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△DBH的面积 4×42×2 ＝8﹣2 ＝6（cm2），故④正确． 故选：C． 题型五：平移的性质求角度 （1）平移前后对应角相等； （2）用平行线的性质求角度 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． （1）只记“对应角相等”，忘记平移出平行线； （2）把“内错角、同位角、同旁内角”搞混； （3）算角度时漏减、漏加． 【典例精讲】（2025春•官渡区期末）如图，把一个含30°的三角板ABC沿直尺平移得到三角板ECD，则∠ACE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据平移的性质，平行线的性质进行解答即可． 【解答】解：由平移的性质可知，AB∥CE， ∴∠ACE＝∠A＝90°﹣30°＝60°， 故选：C． 【变式训练1】（2026•延安开学）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为　　 °． 【分析】由平移性质可知，△ABC平移后对应线段AB∥A1B1；AB与A1B1平行，故∠A与∠D组成内错角，根据两直线平行内错角相等，即可求出∠D． 【解答】解：∵△ABC沿直线BC方向平移得到△A1B1C1， ∴AB∥A1B1，即AB∥A1D， ∴∠D＝∠A＝70°． 故答案为：70． 【变式训练2】（2025春•吉林校级期末）如图，在三角形ABC中，BC＝9cm，∠B＝70°，将三角形ABC沿BC向右平移，得到三角形DEF（点E在线段BC上），点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，且AD＝2CE．则下列选项正确的是（　　） A．AD＝5cm B．∠BAD＝100° C．BF＝12cm D．∠EDA＝70° 【分析】根据平移的性质，平行线的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A．由平移的性质可知，AD＝BE， ∵AD＝2CE， ∴BE＝2CE， BEBC＝6cm＝AD，CEBC＝3cm， 因此选项A不符合题意； B．由平移的性质可知，AD∥BE， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣70°＝110°， 因此选项B不符合题意； C．由平移的性质，BE＝CF＝6cm，EC＝3cm， ∴BF＝BC+CF＝9+6＝15（cm）， 因此选项C不符合题意； D．由平移的性质可知，AD∥BE，AB∥DE， ∴∠EDA＝∠B＝70°， 因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式训练3】（2025•官渡区一模）如图，直线CD由直线AB平移得到，直线AB，CD被直线EF所截，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．38° B．50° C．52° D．100° 【分析】根据平移得到CD∥AB，由平行线的性质和对顶角的性质即可得到答案． 【解答】解：由条件可知CD∥AB， ∴∠CFE＝∠1＝52°， ∴∠2＝∠1＝52°， 故选：C． 题型六：平移作图 （1） 找关键点：找出图形的顶点、端点（比如三角形3个顶点）； （2）定平移方向和距离：向右/左/上/下 移几格； （3）画对应点：每个关键点都按相同方向、相同格数平移，画出新点； （4）依次连线：按原来的顺序，把新点顺次连接，画出新图形． （1）关键点没找全 / 找错； （2）每个点移动的格数不一样； （3）数格子数错； （4）方向看反； （5）连线不按顺序 / 连错点； （5）新图形方向变了（旋转了）． 【典例精讲】（2025秋•松江区期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸格点上．将三角形ABC先向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在方格纸中画出平移后的三角形A′B′C′； （2）求出线段AC′扫过的图形的面积． 【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点A′、B′、C′，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段AC扫过的图形的面积＝S平行四边形ACC″A″+S平行四边形A′C′C″A″，据此求解即可． 【解答】解：（1）将三角形ABC先向左平移2格，再向上平移4格得到三角形A′B′C′，如图1即为所求； （2）如图2， 线段AC扫过的图形的面积 ＝S平行四边形ACC″A″+S平行四边形A′C′C″A″ ＝2×4+4×6 ＝32， 答：线段AC扫过的图形的面积是32． 【变式训练1】（2026•池州开学）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数是　　 ．（点P异于点A） 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，依次连接即可； （2）利用等高模型作出点P即可． 【解答】解：（1）将△ABC向左平移2格，再向上平移4格，画出平移后的△A′B′C′，如图： （2）如图，点P异于点A，则满足条件的点P的个数为4， 故答案为：4． 【变式训练2】（2025春•海港区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形ABC三个顶点都在正方形的格点上（即小正方形的顶点）． （1）将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，画出平移后的三角形DEF； （2）连接点A与点D，点C与点F，线段AD与线段CF的关系是 　 　 ； （3）四边形ACFD的面积为 　 　 ； （4）在网格内找一点N，使△NBC的面积等于△ABC的面积（N与A不重合），这样的点N有 　 　　个． 【分析】（1）分别确定A，B，C平移后的对应点D、E、F，再顺次连接即可； （2）根据由平移的性质可得答案； （3）利用长方形的面积减去作为三角形的面积即可； （4）根据“平行线之间的距离处处相等”，可得使△NBC的面积等于△ABC的面积（N与A不重合）的点N有无数个． 【解答】解：（1）将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的三角形DEF；如图即为所求； （2）∵△DEF是由△ABC平移得到的， ∴线段AD与线段CF的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等； （3）四边形ACFD的面积为 ． 故答案为：14； （4）要使△NBC的面积等于△ABC的面积，则N点在过A点且平行于BC的直线上，这样的点有无数个． 故答案为：无数． 题型七：利用平移的性质解决实际问题 （1）楼梯/台阶问题（求长度、地毯长） 思路： 把所有横线段平移到一起， 把所有竖线段平移到一起， 总长 = 水平总长 + 竖直总长； （2）修路/小路问题（求草地面积） 思路： 把两边草地向中间平移， 挤掉小路，拼成完整长方形，再算面积； （3）栏杆/锯齿形（求周长） 思路： 凹凸部分平移，拼成长方形， 周长 = 长方形周长． （1）把“平移后拼出来的长/宽”算错； （2）楼梯、地毯问题：只算一边，漏加另一边； （3）修路、铺砖、弯弯曲曲图形：以为周长/面积变了，其实不变． 【典例精讲】（2025秋•普陀区期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（　　） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【分析】根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【解答】解：∵甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行， ∴AM＝BC+DE+FG+HO，OM＝AB+CD+EF+HG， ∴AM+OM＝BC+DE+FG+HO+AB+CD+EF+HG， ∴两只蚂蚁行走的路程相等， 又∵它们爬行的速度相等， ∴两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． 【变式训练1】（2025春•黄埔区校级期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【解答】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积． 故选：B． 【变式训练2】（2025春•朝阳区校级期末）小温同学在美术课上将△ABC通过平移设计得到“一棵树”．已知底边AB上的高CD为5cm，沿CD方向向下平移3cm到△A1B1C1的位置，再经过相同的平移到△A2B2C2的位置，若下方树干EF的长为3cm，则树的高度CF的长为（　　） A．17cm B．16cm C．15cm D．14cm 【分析】根据平移的性质得到CC1＝C1C2＝3cm，根据题意计算，得到答案． 【解答】解：由平移的性质可知：CC1＝C1C2＝3cm， 由题意得：C2E＝5cm，EF＝3cm， ∴CF＝CC1+C1C2+C2E+EF＝3+3+5+3＝14（cm）， 故选：D． 题型八：利用平移设计图案 （1）选一个简单的基本图形； （2）确定平移方向和距离； （3）依次平移作图； （4）涂色、美化． （1）把平移、旋转、轴对称搞混； （2）平移时方向或距离不一致； （3）图形变形、大小改变； （4）只移一部分，没按规律重复； （5）漏画、少画、位置错． 【典例精讲】请仔细观察图①中的三个图，根据它们都具备的共同特征，在图②中设计一个图案使它也具备图①中三个图的相同特征． 【分析】根据平移的性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示，即为所求．答案不唯一． 【变式训练1】作图题 （1）3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树． （2）小明家有一块三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜． 【分析】（1）由图形（1）可以看出，F点是由A点先向右平移9个单位、后向上平移2个单位得到的．将图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连接；也可从相似三角形性质来考虑． 【解答】解：（1）将图形的各个顶点按先向右平移9个单位、后向上平移2个单位的平移条件找出它的对应点，顺次连接，得到的图形如下： （2）第一种方案：由三角形的一条中位线DE把三角形的面积分成1：3的两部分，取BC中点O，连接OD，OE； 第二个方案：将三角形的面积二等分，然后再分别进行二等分先把左边的△ABO按照BO中点D分为面积相等的两半再把右边的△ACO按照CO中点E分为面积相等的两半． 方案如图所示： 【变式训练2】（2024秋•襄都区期末）生活中处处有数学，欣欣利用图1中常见的安全出口标志在图2中设计图案，图2中的网格中每个小正方形的边长都为1．请帮欣欣完成设计过程． （1）图1中的图案，英文上方的部分是 　　 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） （2）图2中欣欣将图形①向上平移 　　 格得到图形②，帮助欣欣画出将图形①向下平移3格后的图形③． （3）图形①②③的面积和为 　　 ． 【分析】（1）根据轴对称图形的定义可得答案． （2）结合平移的性质可得答案；结合平移的性质画图即可． （3）先求出图形①的面积，进而可得答案． 【解答】解：（1）图1中的图案，英文上方的部分是轴对称图形． 故答案为：轴对称． （2）图2中欣欣将图形①向上平移3格得到图形②． 故答案为：3． 如图2，图形③即为所求． （3）图形①的面积为1×2+1×2＝4， ∴图形①②③的面积和为4×3＝12． 故答案为：12． 【变式训练3】利用平移可以设计很多美丽的图案，如图中的每一个人都可以由正方形上的平移得到． 类似地，请你用平移设计一些图案． 【分析】根据图案的特点可找出基本图形，然后即可对形成过程作出解释，再设计图案是可以发挥想象，注意题目要求及美观性． 【解答】解：如图所示： 题型九：平移的性质与平行线的性质结合 （1）先找平移带来的平行； （2） 把“平移平行”当成“已知平行”； （3）再用平移对应角相等； （4）列式算角度或线段． （1）把“同旁内角”当成相等； （2）找错平行线段； （3）找错对应角、对应点； （4）角度计算漏步骤． 【典例精讲】（2025春•泸县校级期中）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E，∠ADC＝80°． （1）如图1，当点B在点A的左侧时， ①求∠EDC的度数； ②若∠ABC＝40°，求∠BED的度数； （2）如图2，将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其它条件不变，若∠ABC＝n°，求：∠BED的度数（用含n的式子表示）． 【分析】（1）①根据角平分线的定义可求∠EDC的度数；②先过点E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得出∠BED＝∠ABE+∠EDC，再根据角平分线的定义，即可得结果； （2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得出∠ABE＝∠BEF，∠FED+∠EDC＝180°，再根据角平分线的定义，进行计算即可． 【解答】解：（1）①∵DE平分∠ADC，∠ADC＝80°， ∴； ②过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠FED＝∠EDC， ∵∠BED＝∠BEF+∠FED， ∴∠BED＝∠ABE+∠EDC， ∵BE、DE分别是∠ABC、∠ADC的平分线， ∴， ∵∠ABC＝40°，∠ADC＝80°， ∴． （2）过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），∠FED+∠EDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，∠ABC、∠ADC的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（2025春•锡林郭勒盟期末）直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°， （1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM； （2）如图2，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上． ①求∠PDE的度数； ②将△ABC固定，△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH，两线相交于点H（图3），直接写出∠GHF的度数． 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作EG∥AB，运用平行线判定与性质即可得出答案；②如图，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【解答】（1）证明：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°， ∴∠DFE＝30°， ∵ED平分∠PEF， ∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠MFD＝∠DFE， ∴FD平分∠EFM； （2）解：①如图，过E作EG∥AB， ∴∠GEA＝∠BAC＝45°， ∵∠DEF＝60°， ∴∠DEG＝15°， ∵PQ∥MN，EG∥AB， ∴PQ∥EG， ∴∠PDE＝∠DEG＝15°； ②如图，分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ， ∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH， ∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN， ∴FL∥PQ∥HR， ∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA， ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH，FH，两线相交于点H， ∴， ∵∠DFE＝30°， ∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°， ∴， ∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA＝30°， ∴∠GFL＝∠GFA﹣∠LFA＝105°， ∴， ∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°． 【变式训练2】（2025春•阳泉期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线MN，PQ（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板ABC进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线PQ上，过30°角的顶点，作直线PQ的平行线MN，直线MN始终位于直线PQ的上方． 探究发现： （1）如图1，若∠ABQ＝60°，则∠MAC的度数为　　 °． （2）若直角三角板的直角顶点C位于直线MN与PQ之间． ①如图1，若∠ABQ的角度未知，试猜想∠MAC和∠CBP之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板ABC沿直线PQ向右平移，使直角顶点C恰好落在AB上，得到三角形DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），连接CF．若∠ABQ＝65°，请求∠DFC的度数． 深入探究： （3）若直角三角板的直角顶点C不在直线MN与PQ之间，请直接写出∠MAC和∠CBP之间的数量关系． 【分析】（1）根据MN∥PQ得出∠MAB＝∠ABQ＝60°，根据三角形内角和定理推论得出∠MAC＝∠MAB﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°； （2）①根据MN∥PQ得出∠MAB＝180°﹣∠ABP，进而得出∠MAC+∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠CBP），进一步得出结果； ②由（1）得出∠MAC＝∠ABE﹣∠BAC＝65°﹣30°＝35°，根据平移性质得出四边形ACFD是平行四边形，从而得出∠DFC＝∠CAD＝180°﹣∠MAC＝180°﹣35°＝145°； （3）分类推论：当C在PQ下方，在AB的左侧时，设AC交PQ于D，根据MN∥PQ得出∠MAC+∠APD＝180°，结合∠ADP＝∠BDC＝90°﹣∠CBP，∠MAC﹣∠CBP＝90°；同样得出当C在PQ下方，C在AB右侧时，当点C在MN上方，在AB左侧时，当点C在MN上方，点C在AB右侧时得情形，进而得出结果． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ， ∴∠MAB＝∠ABQ＝60°， ∴∠MAC＝∠MAB﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°， 故答案为：30°； （2）①∠MAC＝90°﹣∠CBP，理由如下： ∵MN∥PQ， ∴∠MAB＝180°﹣∠ABP， ∴∠MAC+∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠CBP）， ∴∠MAC+30°＝180°﹣（60°+∠CBP）， ∴∠MAC＝90°﹣∠CBP； ②由（1）知， ∠MAC＝∠ABE﹣∠BAC＝65°﹣30°＝35°， 由平移的性质得出， AC∥DF，CF∥MN， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴∠DFC＝∠CAD＝180°﹣∠MAC＝180°﹣35°＝145°； （3）如图3﹣1， 当C在PQ下方，在AB的左侧时， 设AC交PQ于D， ∵MN∥PQ， ∴∠MAC+∠APD＝180°， ∵∠ADP＝∠BDC＝90°﹣∠CBP， ∴∠MAC+90°﹣∠CBP＝180°， ∴∠MAC﹣∠CBP＝90°， 如图3﹣2， 当C在PQ下方，C在AB右侧时，设AC交PQ于D， ∵MN∥PQ， ∴∠BDC＝∠MAC， ∵∠BDC＝∠CBP﹣∠C＝∠CBP﹣90°， ∴∠CBP﹣∠MAC＝90°， 如图3﹣3， 当点C在MN上方，在AB左侧时，设BC交MN于D， ∵MN∥PQ， ∴∠MDC＝∠CBP， ∵∠MDC＝∠C+∠MAC＝90°+∠MAC， ∴∠CBP﹣∠MAC＝90°， 如图3﹣2， 当点C在MN上方，点C在AB右侧时，设BC交MN于D， ∵MN∥PQ， ∴∠CBP＝∠ADC， ∵∠MAC﹣∠ADC＝∠C＝90°， ∴∠MAC﹣∠CBP＝90°， 综上所述：∠MAC和∠CBP之间的数量关系是：|∠MAC﹣∠CBP|＝90°． 1．（2025春•嵊州市期末）宇树机器人“G1”如图所示，将它通过平移可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【解答】解：由平移得到的图案是：． 故选：A． 2．（2025春•当阳市期末）如图中的变换属于平移的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质直接解答即可． 【解答】解：A、图形是一个图形经过平移能得到另一个图形，故符合题意； B、形状不一样，不属于平移，故不符合题意； C、图形的变换为旋转变换，不属于平移，故不符合题意； D、形状不一样，不属于平移，故不符合题意； 故选：A． 3．（2025春•长春期末）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，连结AD．如果△ABC的周长是13cm，那么四边形ABFD的周长为（　　） A．13cm B．15cm C．17cm D．26cm 【分析】先根据图形平移的性质得出△ABC≌△DEF，AD＝BE＝CF＝2cm，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF， ∴△ABC≌△DEF，AD＝BE＝CF＝2cm， ∴AC＝DF， ∵△ABC的周长是13cm， ∴AB+BC+AC＝AB+BC+DF＝13cm， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+DF+AD+CF＝13+2+2＝7（cm）． 故选：C． 4．（2025•清镇市模拟）如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（　　） A．130° B．90° C．65° D．50° 【分析】平移的性质得到CD∥C'D'，根据平行线的性质计算即可． 【解答】解：由平移的性质可知，CD∥C'D'， 则∠1+∠2＝180°， ∵∠2＝130°， ∴∠1＝50°， 故选：D． 5．（2025春•威远县校级期末）如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 【分析】根据平移的性质得到BB′＝CC′，BC＝B′C′，则AB′+CC′＝AB′+BB′＝AB，即可得到图中阴影部分的周长． 【解答】解：∵将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′， ∴BB'＝CC'，BC＝B′C′， ∵AB′+CC′＝AB′+BB′＝AB， AB′+CC′+AC+B′C′＝AB+AC+BC＝15（cm）． 故选：B． 6．（2025春•信阳校级期末）如图所示，将△ABC沿着X→Y方向平移一定距离后得到△MNL，则下列结论中正确的有（　　） ①AM∥BN；②AM＝BN；③BC＝NL；④∠ACB＝∠NML． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵△ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到△MNL， ∴①AM∥BN，正确； ②AM＝BN，正确； ③BC＝NL，故本小题正确； ④∠ACB＝∠MLN，错误， 所以，正确的有①②③． 故选：C． 7．（2025春•江宁区校级月考）如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【解答】解：∵△DEF是由△ABC平移得到， ∴AB∥DE，CF∥BE，∠BAC＝∠EDF，故选项A、B、D不符合题意； ∠ABC与∠DFE不一定相等，故选项C符合题意． 故选：C． 8．（2025春•工业园区校级期中）如图，射线a，b分别与直线l交于点A，B．现将射线a沿直线l向右平移过点B，若∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．60° C．90° D．80° 【分析】先由平移的性质得到a∥c，再由平行线的性质得到∠4＝∠1＝40°，由此即可利用平角的定义求出答案． 【解答】解：由平移的性质可得a∥c， ∴∠4＝∠1＝40°， ∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠2＝70°， ∴∠3＝70°， 故选：A． 9．（2025春•襄垣县校级期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形A'B'C'，下列结论中，正确的有（　　） ①AA'∥BB'或AA'与BB'在同一条直线上 ②BB'∥CC'或BB'与CC'在同一条直线上 ③AA'＝BB'＝CC' ④BC＝A'C' A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平移的性质判断即可． 【解答】解：由平移可知AA′∥BB′或AA′与BB′在同一条直线上，故①正确； 由平移可知BB′∥CC′或BB′与CC′在同一条直线上，故②正确； 由平移可知AA'＝BB'＝CC'，故③正确； 由平移可知BC＝B′C′不一定等于A′C′，故④说法错误． 所以结论正确的有3个． 故选：C． 10．（2024秋•牙克石市期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A．20 B．18 C．15 D．26 【分析】由S△ABC＝S△DEF可得S四边形ABEH＝S阴即可求解． 【解答】解：∵平移距离为3， ∴BE＝3， ∵AB＝6，DH＝2， ∴EH＝6﹣2＝4， ∵S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ABEH＝S阴， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 11．（2025春•双滦区期末）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到△A′B′C′位置．下列结论：①AA′∥BB′，且AA′＝BB′；②S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′；③若AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为5；④若四边形AA′B′C的周长为a，三角形ABC的周长为b，则．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平移的性质，平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：由平移的性质可知，AA′∥BB′且AA′＝BB′，故①符合题意； 由条件可知S△ABC﹣S△BDC′＝S△A′B′C′﹣S△BDC′， ∴S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′，故②符合题意； 当AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为：2×5＝10，故③不符合题意； 四边形AA′B′C的周长为AA′+A′B′+B′C+AC＝a， 三角形ABC的周长为AB+BC+AC＝b， 由条件可知AA′+A′B′+B′C+AC﹣（AB+BC+AC）＝AA′+BB′＝2BB′＝a﹣b， ∴，即，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②④， 故选：C． 12．（2025春•宁强县期末）如图，将周长为12的△ABC沿直线BC向右平移n个单位长度，得到△DEF，DE交AC于点G，连接AD．给出下列结论：①AD∥BE，AD＝BE；②若DE⊥AC，则AB⊥AC；③AG＝CG；④若四边形ABFD的周长为24，则n＝6．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可． 【解答】解：①根据平移的性质，得AD∥BE，AD＝BE故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得AB∥DE， ∴∠BAC＝∠EGC， ∵DE⊥AC，即∠EGC＝90°， ∴∠BAC＝∠EGC＝90°， ∴AB⊥AC，故②正确，符合题意； ③G是AC，DE的交点，但不一定是AC中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得AD＝CF，AC＝DF， ∴四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2CF＝12+2CF＝24， ∴CF＝6，即△ABC沿BC方向平移的距离为n＝6，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 13．（2025秋•长沙期末）如图，将△ABC沿着BC方向平移至△DEF处．若CE＝2BE＝6cm，则BF＝　12cm ． 【分析】根据平移的性质得到，BC＝EF，BE＝CF，再用CE＝2BE＝6得到BE、CE的长，从而得到BF的长． 【解答】解：△ABC沿BC方向平移至△DEF处， ∵BC＝BC，CE＝2BE＝6， ∴BE＝3，CE＝6， ∴BF＝BE+EC+CF＝3+6+3＝12（cm）． 故答案为：12cm． 14．（2025秋•海安市期末）如图，某校劳动实践基地是一块长9.8m，宽6.6m的长方形试验田，现规划4条宽度相等的小路（如图阴影部分），将试验田分割成大小完全相同的8块小长方形菜地，每块菜地的长（纵向）比宽（横向）多1m，则菜地的总面积为　48　 m2． 【分析】设小路的宽度为xm，根据题意得出关于x的方程即可解决问题． 【解答】解：设小路的宽度为xm， 根据题意得，， 解得x＝0.6， 所以菜地的总面积为：（9.8﹣3×0.6）×（6.6﹣0.6）＝48（m2）． 故答案为：48． 15．（2025秋•莱西市期末）如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，连结AD，若BF＝7cm，CE＝1cm，则AD＝ 　4　 cm． 【分析】根据平移的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到， 所以BC＝EF，AD＝BE． 因为BF＝7cm，CE＝1cm， 所以BC＝EF， 所以BE＝BC+CE＝3+1＝4（cm）， 所以AD＝BE＝4cm． 故答案为：4． 16．利用如图所示的图形，通过平移设计图案． 【分析】直接利用平移的性质得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示：答案不唯一． 17．（2024秋•叙永县校级期末）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点． （1）将△ABC向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A'B'C'； （2）利用网格在图中画出△ABC的高线AE； （3）在图中能使S△ABC＝S△BCP的格点P的个数有几个？（点P异于C）． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可； （2）延长BC，作AE垂直于BC，交BC的延长线于点E，AE即为△ABC的高线； （3）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作； （2）如图，AE即为所求作； （3）如图， 过点A作直线BC的平行线， ∴能使S△ABC＝S△BCP 的格点P的个数共有9个点． 18．（2025春•百色期末）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移4格，得到△A1B1C1． （1）请在图中画出平移后的△A1B1C1； （2）连接AA1，BB1，则它们的数量关系是　相等　 ； （3）求线段AB直接平移至A1B1扫过的面积． 【分析】（1）将A点、B点、C点，分别向左平移1格，再向上平移4格，得到A1、B1、C1，连接即可； （2）根据平移的性质，即可得到答案； （3）根据线段AB直接平移至A1B1扫过的图形是平行四边形即可求解． 【解答】解：（1）将△ABC向左平移1格，再向上平移4格，得到△A1B1C1，如图1即为所求； （2）如图2： 根据平移的性质知：AA1、BB1的数量关系是相等， 故答案为：相等； （3）线段AB直接平移至A1B1扫过的面积＝4×4＝16． 19．（2024秋•郧阳区校级期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥（桥墩忽略不计）．已知湖泊长35米，宽20米，桥面的宽度为2米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放2条金鱼．求： （1）这座桥的面积是多少？ （2）管理员准备投放多少条金鱼？ 【分析】（1）观景桥经过平移，根据“长方形面积＝长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是（35﹣2）米，宽是（20﹣2）米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【解答】解：（1）35×20﹣（20﹣2）×（35﹣2） ＝700﹣594 ＝106（平方米）， 即这座桥的面积是106平方米； （2）湖泊的面积为20×35＝700（平方米）， 700×2＝1400（条）， 即管理员准备投放1400条金鱼． 20．（2024秋•方城县期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺（∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°）和两条平行线（a∥b）”为背景开展数学活动． （1）[操作发现] ①如图（1），若∠1＝46°，则∠2的度数为　44°　 ； ②如图（2），保持∠1＝46°不变，创新小组的同学将直线a向上平移，AB与直线a相交于点E，形成如图所示的∠2，求∠2的度数； （2）[类比探究]缜密小组将图（2）中的图形继续变化得到图（3），AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2存在固定的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【分析】（1）①根据∠1、∠BCA及∠3的和为180°可求出∠3，再根据平行线的性质即可解答；②过点B作BD∥b，根据平行线的性质得到∠DBC＝∠1＝46°，∠2+∠EBD＝180°，即可求出； （2）过点C作CF∥b，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【解答】解：（1）①如图1， 由条件可知∠3＝180°﹣∠BCA﹣∠1＝44°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝44°； 故答案为：44°； ②过点B作BD∥b， ∴∠DBC＝∠1＝46°， ∴∠EBD＝∠ABC﹣∠DBC＝14°， ∵a∥b， ∴BD∥a， ∴∠2+∠EBD＝180°， ∴∠2＝180°﹣14°＝166°． （2）∠1与∠2的数量关系是：∠1+∠2＝90°， 理由：过点C作CF∥b， ∵a∥b， ∴CF∥a， ∵AC平分∠BAM， ∴∠CAM∠1， ∵CF∥a， ∴∠2＝∠BCF， ∴∠1+∠2＝90°． 21．（2025•大同开学）别有“动”天 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通．如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． 如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米．涂色三角形BCE的面积是（　32　 ）平方厘米． 轩轩想：点B沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2），图2中三角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，图2中涂色三角形ADC的面积和图1中涂色三角形BCE的面积相等． 涂色三角形通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解．既然点可以动起来，那么线段呢？ 如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，原来长方形ABCD的周长是（　22　 ）厘米． 轩轩想：线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC．原来长方形ABCD的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题． 点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工．静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限．聪明的你，快来动手试一试，尝试解决图4中的问题吧！ 如图4，大正方形ABCD的边长是14厘米，梯形AHGD的面积是90平方厘米，涂色正方形HEFG的面积是多少平方厘米？（写出计算过程，） 图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境．亲爱的同学们，愿你凭借智慧攻克难题，带着自信收获佳绩，开启美好初中之旅！ 【分析】根据阅读材料方法即可求解． 【解答】解：根据阅读材料方法求解可得： 涂色三角形BCE的面积是（平方厘米）； 原来长方形ABCD的周长是22厘米； S涂色正方形HEFG＝14×14﹣90×2 ＝196﹣180 ＝16（平方厘米）． 故答案为：32；22． 22．（2025春•磁县校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，∠EGF＝32°． （1）求∠B的度数； （2）若AD＝4，BC＝10，求FG的长． 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到∠C＝∠EGF＝32°，然后利用互余计算出∠B的度数； （2）根据平移的性质得到AE＝BF，DE＝CG，所以BF+CG＝AE+DE＝AD＝4，然后利用BC＝10可计算出FG的长． 【解答】解：（1）∵CD平移到EG的位置， ∴∠C＝∠EGF＝32°， ∵∠B与∠C互余， ∴∠B＝90°﹣32°＝58°； （2）∵AB，CD分别平移到EF和EG的位置， ∴AE＝BF，DE＝CG， ∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4， ∵BC＝BF+FG+CG， ∴AD+FG＝BC， 即4+FG＝10， ∴FG＝6． 23．（2025春•南皮县期末）将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF． （1）若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数； （2）若△ABC的周长为12cm，BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，连结AD，则四边形ABFD的周长为 　14　 cm． 【分析】（1）根据平移的性质求出∠ACB＝∠F，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解； （2）先求出BE，再根据平移的性质和四边形的周长解答即可． 【解答】解：（1）由图形平移的特征可知△ABC和△DEF的形状与大小相同， ∴∠ACB＝∠F＝26°， ∵∠B＝74°， ∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠B）＝180°﹣（26°+74°）＝80°； （2）∵BF＝5.5cm，EC＝3.5cm， ∴BE+CF＝BF﹣EC＝5.5﹣3.5＝2cm， ∴BE＝CF＝AD＝1cm， ∵△ABC的周长为12， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+CF+AD＝12+1+1＝14（cm）， 故答案为：14． 24．（2025春•任泽区校级月考）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝52°，BC＝8，将此三角形向右平移得到三角形A1B1C1，此对边A1B1与边AC相交于点D，连接AA1． （1）分别求∠B1DC和∠A1AB的度数； （2）若点B1落在边BC的中点处，且AD＝DC＝3，求四边形ABB1D的面积； （3）已知P是三角形ABC内部一点，三角形ABC平移到三角形A1B1C1的位置后，点P的对应点为P1，连接PP1，若三角形ABC的周长为m，四边形ABC1A1的周长为m+12，直接写出PP1的长度． 【分析】（1）由平移的性质得AB∥A1B1，AA1∥BB1，则∠B1DC＝∠BAC＝52°，∠A1AC＝∠ACB＝90°，再根据角的关系进行运算，即可作答； （2）由线段的中点得B1C＝4，再得AC＝6，结合割补法列式计算求出四边形ABB1D的面积，即可作答； （3）先由平移的性质得PP1＝AA1＝CC1，AC＝A1C1，因为三角形ABC的周长为m，四边形ABC1A1的周长为m+12，且结合周长的公式列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）由条件可知AB∥A1B1，AA1∥BB1， ∴∠B1DC＝∠BAC＝52°，∠A1AC＝∠ACB＝90°， ∴∠A1AB＝∠A1AC+∠BAC＝90°+52°＝142°， （2）由条件可知． ∵AD＝DC＝3， ∴AC＝AD+DC＝6， ∴四边形ABB1D的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形B1DC的面积 ， ∴四边形ABB1D的面积为18． （3）由条件可知PP1＝AA1＝CC1，AC＝A1C1． 则四边形ABC1A1的周长＝AA1+AB+BC1+A1C1＝AA1+AB+BC+CC1+AC， 三角形ABC的周长为m＝AB+BC+AC， ∴四边形ABC1A1的周长＝m+AA1+CC1＝m+2PP1＝m+12， ∴PP1＝6． 25．（2025春•南昌期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHC＝α（0°＜a＜90°）． 小新将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNA+∠PMC＝　90　 °； （2）若PM∥EF，∠MNG的角平分线NO交直线CD于点O． ①如图②，当NO∥EF时，求α的度数； ②小新将三角板PMN向右平移，直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠PNA+∠PMC＝∠MPN＝90°即可； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义进行计算即可； ②根据平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义分两种情形分别计算即可． 【解答】解：（1）如图①，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠ANP＝∠NPQ，∠QPM＝∠PMC， ∵∠NPQ+∠QPM＝∠NPM＝90°， ∴∠PNA+∠PMC＝90°， 故答案为：90； （2）①如图②，∵NO平分∠MNG， ∴∠ONM＝∠ONB， ∵AB∥CD， ∴∠ONM＝∠NOM＝∠ONB， ∵PM∥EF，NO∥EF， ∴PM∥EF∥ON， ∴∠ONM＝∠NOM＝∠ONB＝∠PMN＝60°， 即∠α＝60°； ②∠MON，理由如下： 由①可知，∠MON＝∠ONM＝∠ONB， ∵PM∥EF， ∴∠PMC＝∠GHC＝α， 由（1）结论可知，∠PMC+∠ANP＝90°， ∴∠ANP＝90°﹣α， ∵∠ANP+∠PNM+∠MNB＝180°， ∴90°﹣α+30°+2∠MON＝180°， ∴∠MON． 当点N在点G的右侧时，同法可得∠MON＝60°α． 综上所述，∠MON或60°α． 26．（2025秋•海淀区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E． （1）写出∠EDC的度数 　40°　 ； （2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示） 【分析】（1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，根据角平分线的定义求出∠ABE，∠CDE，然后求解即可； （3）过点E作EF∥AB，点B在点A的右侧时，若点E在l1和l2之间时，根据角平分线的定义求出∠ABE，∠CDE，根据两直线平行，内错角相等可得∠CDE＝∠DEF，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在l1上方或l2下方时的∠BED值即可． 【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝80°， ∴， 故答案为：40°； （2）如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°， ∴，， ∴； （3）过点E作EF∥AB，点B在点A的右侧时， 若点E在l1和l2之间，如图， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°， ∴，， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴，∠CDE＝∠DEF＝40°， ∴； 若点E在l1上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在l2下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，∠BED度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $