9.1平移（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

9.1平移 题型一 平移变换有关的辨析 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】①②④ 题型二 根据平移的性质求角度 1．【答案】D 2．【答案】A 题型三 根据平移的性质求线段长/周长 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 题型四 根据平移的性质求面积 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】13 题型五 平移变换作图 1． 【答案】（1）如图，△DEF即为所求；（2）AD∥CF，AD＝CF；（3）7 【详解】解：（1）如图，△DEF即为所求； （2）由平移可知：AD∥CF，AD＝CF， 故本题答案为：AD∥CF，AD＝CF； （3）S△ABC（2+4）×44×12×3＝7． ∴△ABC的面积为7． 2． 【答案】（1）如图1，△A′B′C′即为所求；（2）平行且相等；（3）32 【详解】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求； （2）由平移的性质可知：AA′∥BB′，AA′＝BB′， ∴AA′，BB′这两条线段的关系是平行且相等， 故本题答案为：平行且相等； （3）如图2，连接CC′， ， ∴线段AC在平移过程中扫过区域的面积为32． 题型一 平移的综合应用 1．【答案】B 2． 【答案】（1）60°；（2）5；（3）35 【详解】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF， ∴AC∥DF，AD∥BF， ∴∠ACB＝∠DFE，∠ACB＝∠DAC， ∴∠DFE＝∠DAC＝60°； （2）由平移的性质可知：BE＝CF， ∵BE＝CE， ∴， ∴平移的距离为5； （3）由平移的性质可知：AD＝BE＝CF＝5，DF＝AC， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2AD＝25+2×5＝35． 3． 【答案】（1）∠EBC＝10°；（2）18 【详解】解：（1）∵边AB沿着AC方向平移到ED， ∴AC∥DB， ∴∠C＝∠CBD＝60°， ∵∠AEB＝∠C+∠EBC， ∴∠EBC＝70°﹣60°＝10°； （2）∵AB＝ED，AE＝DB， ∴△EOC与△BOD周长的和 ＝CE+CO+EO+OD+OB+DB ＝DE+BC+EC+AE ＝AB+BC+AC ＝7+8+3 ＝18． 4． 【答案】（1）b（a﹣1），＝；（2）S3＝（b﹣1）（a﹣1）；（3）27550元 【详解】解：（1）由图1可知：小路是长为b，宽为1的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为（a﹣1）米，宽为b的长方形， ∴S1＝b（a﹣1）， 由图2可知：小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， ∴S2＝b（a﹣1）＝S1， 故本题答案为：b（a﹣1），＝； （2）由图可知：图3中的四块草地可以通过平移得长为（a﹣1）米，宽为（b﹣1）米的长方形， ∴S3＝（b﹣1）（a﹣1）； （3）当a＝30m，b＝20m时，， ∵铺草地平均每平方米需要花费50元， ∴铺设这块草地一共需要花费551×50＝27550（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费27550元． 题型一 平移与平行线综合应用 1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）①∠AEB与∠ACB之间的数量关系不变，∠AEB＝2∠ACB，证明详见解析；（3）证明详见解析 【详解】（1）证明：∵AM∥BN， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD； （2）①解：∠AEB与∠ACB之间的数量关系不变，∠AEB＝2∠ACB，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠EAC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ACB＝2∠ACB； ②证明：∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠ACD＝∠AFB， ∴∠BAC＝∠DAF，即∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠DAC， ∴∠BAF＝∠DAC， ∵∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAF＝∠ACB， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠ACB． 2． 【答案】感知：90°；探究：∠BAE+∠ECD＝∠AEC，理由见解析；应用：40° 【详解】解：感知：如图，过点E作EF∥AB， ∴∠BAE＝∠1， 由条件可知：CD∥EF， ∴∠2＝∠DCE， ∵∠AEC＝∠1+∠2， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE， 由条件可知：∠AEC＝90°， 故本题答案为：90°； 探究：∠BAE+∠ECD＝∠AEC，理由如下： 如图，过点E作EF∥AB， ∴∠BAE＝∠1， 由条件可知：CD∥EF， ∴∠2＝∠DCE， ∵∠AEC＝∠1+∠2， ∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC； 应用：由平移的性质可知：CE∥FG， ∴∠ECD＝∠GFD， ∵AH平分∠BAE，FH平分∠DFG， ∴，， ∴， ∵∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝80°， ∴． 3． 【答案】（1）∠BAE+∠ABC+∠FCA＝270°；（2）①α＝30°；②15°或165° 【详解】解：（1）如图，过B作BK∥PQ， ∴∠KBC＝∠BCP， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCP+∠FCA＝90°， ∴∠KBC+∠FCA＝90°， ∵MN∥PQ，BK∥PQ， ∴MN∥BK， ∴∠BAE+∠ABK＝180°， ∴∠BAE+∠ABK+∠KBC+∠FCA＝180°+90°＝270°， ∴∠BAE+∠ABC+∠FCA＝270°， 故本题答案为：∠BAE+∠ABC+∠FCA＝270°； （2）①如图， ∵EF∥AB，CG∥EF， ∴CG∥AB， ∴∠ACG＝∠BAC＝30°， ∵CG平分∠ACQ， ∴∠GCQ＝∠ACG＝30°， ∵MN∥PQ， ∴∠AGC＝∠GCQ＝30°， ∵CG∥EF， ∴∠MEF＝∠AGC＝30°，即α＝30°； ②如图，当C在F左侧时， ∵EF∥AB， ∴∠MEF+∠BAE＝180°， ∵∠BAC＝30°，∠MEF＝α， ∴α+30°+∠CAG＝180°， ∴∠CAG＝150°﹣α， ∴∠ACG+∠AGC＝180°﹣（150°﹣α）＝30°+α， ∵CG平分∠ACQ， ∴∠ACG＝∠GCF， ∵MN∥PQ， ∴∠AGC＝∠GCF， ∴∠GCF＝∠ACG＝∠AGC＝15°； 如图，当C在F右侧时， ∵EF∥AB， ∴∠MEF＝∠EAB＝α， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAG＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝150°﹣α， ∴∠ACG+∠AGC＝180°﹣（150°﹣α）＝30°+α， ∵CG平分∠ACQ， ∴∠ACG＝∠GCQ， ∵MN∥PQ， ∴∠AGC＝∠GCQ， ∴∠GCQ＝∠ACG＝∠AGC＝15°， ∴∠GCF＝180°﹣∠GCQ＝165°； 综上，∠GCF的度数为15°或165°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1平移 题型一 平移变换有关的辨析 1．（2025·锡山区·期中）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．选项A中的两个图形是轴对称，故A不合题意； B．选项B中的两个图形可以通过旋转得到，故B不合题意； C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，故C符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，故D不合题意． 故本题选：C． 2．（2025·东海县·期中）如图，木盘还有最后一块没有拼完，小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，小明应该选择的拼木是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，显然只有D选项符合题意． 故本题选：D． 3．（2025·海陵区·校级月考）已知将△ABC平移到△DEF，顶点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，①AB＝DE，②AD＝CF，③AB∥DE，④∠BAC＝∠EDF．上述结论中一定成立的是　　.（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：由平移的性质可知：AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，AD＝CF，AB与DE有可能在同一条直线上， ∴一定成立的是①②④． 故本题答案为：①②④． 题型二 根据平移的性质求角度 1．（2025·高邮市·期中）如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（　　） A．130° B．90° C．65° D．50° 【答案】D 【详解】解：由平移的性质可知：CD∥C'D'， 则∠1+∠2＝180°， ∵∠2＝130°， ∴∠1＝50°． 故本题选：D． 2．（2025·工业园区·校级期中）如图，射线a，b分别与直线l交于点A，B．现将射线a沿直线l向右平移过点B，若∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．60° C．90° D．80° 【答案】A 【详解】解：由平移的性质可知：a∥c， ∴∠4＝∠1＝40°， ∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠2＝70°， ∴∠3＝70°． 故本题选：A． 题型三 根据平移的性质求线段长/周长 1．（2025·南通·真题）如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4，则平移的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵BC＝6，EC＝4， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣4＝2， ∴平移的距离为2． 故本题选：A． 2．（2025·邗江区·期末）如图，将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置，量得BC′＝5cm，CB′＝1cm，则A，A′间的距离是（　　） A．1cm B．2cm C．2.5cm D．3cm 【答案】D 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置，量得BC′＝5cm，CB′＝1cm， ∴BC＝B′C′（5﹣1）＝2（cm）， ∴BB′＝BC+B′C＝2+1＝3（cm）， ∴A，A′间的距离是3cm． 故本题选：D． 3．（2025·秦淮区·校级期中）如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 【答案】B 【详解】解：∵将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′， ∴BB′＝CC′，BC＝B′C′， ∵AB′+CC′＝AB′+BB′＝AB， ∴AB′+CC′+AC+B′C′＝AB+AC+BC＝15（cm）． 故本题选：B． 题型四 根据平移的性质求面积 1．（2025·沭阳县·校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．6 B．9 C．18 D．24 【答案】C 【详解】解：由平移的性质可知：空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm）， ∴阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2）． 故本题选：C． 2．（2025·句容市·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置．若∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，阴影部分的面积为26，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵阴影部分的面积为26，S阴影+S△HEC＝S四边形ABEH+S△HEC， ∴S阴影＝S四边形ABEH＝26， ∵一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DH＝3， ∴AB＝DE＝8，DH＝3， ∴HE＝5， ∴，解得：BE＝4． 故本题选：D． 3．（2025·海州区·校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D'，BC与C'D'相交于点E，若BC＝8，CE＝3，C′E＝2，则阴影部分的面积为　　． 【答案】13 【详解】解：由平移的性质得：S四边形ABCD=S四边形A'B'C'D'，BC＝B'C'＝8，∠B'C'D'＝∠BCD＝90°，BE∥B'C'， ∵S阴影部分=S梯形ABCD﹣S梯形A'BED'，S梯形BB'C'E=S梯形A'B'C'D'﹣S梯形A'BED'， ∴S阴影部分=S梯形BB'C'E， ∵BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5，C′E＝2， ∴S梯形BB'C'E：， ∴S阴影部分=13． 故本题答案为：13． 题型五 平移变换作图 1．（2025·赣榆区·校级月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）请画出平移后的△DEF； （2）连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是　　； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）如图，△DEF即为所求；（2）AD∥CF，AD＝CF；（3）7 【详解】解：（1）如图，△DEF即为所求； （2）由平移可知：AD∥CF，AD＝CF， 故本题答案为：AD∥CF，AD＝CF； （3）S△ABC（2+4）×44×12×3＝7． ∴△ABC的面积为7． 2．（2025·宿城区·校级月考）如图，在12×10的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将△ABC按照某方向经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C． （1）画出平移以后的△A′B′C′； （2）连接AA′，BB′，则这两条线段的关系是　　； （3）求线段AC在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】（1）如图1，△A′B′C′即为所求；（2）平行且相等；（3）32 【详解】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求； （2）由平移的性质可知：AA′∥BB′，AA′＝BB′， ∴AA′，BB′这两条线段的关系是平行且相等， 故本题答案为：平行且相等； （3）如图2，连接CC′， ， ∴线段AC在平移过程中扫过区域的面积为32． 题型一 平移的综合应用 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在三角形ABC中，BC＝6cm，将三角形ABC以每秒1cm的速度沿BC向右平移，得到三角形DEF，设平移时间为t秒（t＜6），若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，t的值为2或3．”乙：“有三种情况，t的值为2或3或4．”丙：“有四种情况，t的值为2或3或4或5．”其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：由题意可知：BE＝t cm，CE＝（6﹣t）cm，BC＝6cm， 当点B到点C的距离是点B到点E距离2倍时， 6＝2t，解得：t＝3； 当点E到点B的距离是点E到点C距离2倍时， t＝2（6﹣t），解得：t＝4； 当点E到点C的距离是点E到点B距离2倍时， 6﹣t＝2t，解得：t＝2； 当点C到点B的距离是点C到点E距离2倍时， 6＝2（6﹣t），解得：t＝3； 综上，t的值为2或3或4， ∴乙的说法是正确的． 故本题选：B． 2．（2025·锡山区·期中）如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F． （1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数； （2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离； （3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长． 【答案】（1）60°；（2）5；（3）35 【详解】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF， ∴AC∥DF，AD∥BF， ∴∠ACB＝∠DFE，∠ACB＝∠DAC， ∴∠DFE＝∠DAC＝60°； （2）由平移的性质可知：BE＝CF， ∵BE＝CE， ∴， ∴平移的距离为5； （3）由平移的性质可知：AD＝BE＝CF＝5，DF＝AC， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2AD＝25+2×5＝35． 3．（2025·惠山区·期中）如图，将△ABC中的边AB沿着AC方向平移到ED，ED交BC于点O，连接BD，BE． （1）若∠AEB＝70°，∠CBD＝60°，求∠EBC的大小； （2）若AB＝7，BC＝8，AC＝3，边AB在平移的过程中，点E始终在边AC上（不与点A，点C重合），求△EOC与△BOD周长的和． 【答案】（1）∠EBC＝10°；（2）18 【详解】解：（1）∵边AB沿着AC方向平移到ED， ∴AC∥DB， ∴∠C＝∠CBD＝60°， ∵∠AEB＝∠C+∠EBC， ∴∠EBC＝70°﹣60°＝10°； （2）∵AB＝ED，AE＝DB， ∴△EOC与△BOD周长的和 ＝CE+CO+EO+OD+OB+DB ＝DE+BC+EC+AE ＝AB+BC+AC ＝7+8+3 ＝18． 4．（2025·浦口区·校级月考）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，小路的宽均为1m，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3： （1）分别设方案一和方案二的草地面积为S1、S2（m2），则S1＝　　m2（用含a、b的式子表示），S1　　S2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） （3）经讨论后决定选用方案三的方案，若a＝30m，b＝20m，且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】（1）b（a﹣1），＝；（2）S3＝（b﹣1）（a﹣1）；（3）27550元 【详解】解：（1）由图1可知：小路是长为b，宽为1的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为（a﹣1）米，宽为b的长方形， ∴S1＝b（a﹣1）， 由图2可知：小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， ∴S2＝b（a﹣1）＝S1， 故本题答案为：b（a﹣1），＝； （2）由图可知：图3中的四块草地可以通过平移得长为（a﹣1）米，宽为（b﹣1）米的长方形， ∴S3＝（b﹣1）（a﹣1）； （3）当a＝30m，b＝20m时，， ∵铺草地平均每平方米需要花费50元， ∴铺设这块草地一共需要花费551×50＝27550（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费27550元． 题型一 平移与平行线综合应用 1．（2025·宝应县·期中）如图1．AM∥BN，点D，点C分别在射线AM，BN上，且∠BAD＝∠BCD． （1）求证：AB∥DC； （2）连接AC，作∠EAC＝∠DAC，AE交BN于点E，作∠BAE的平分线AF交BN于点F（如图2），将CD沿AM方向水平向右平移． ①在CD的移动过程中，∠AEB与∠ACB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当CD运动到∠ACD＝∠AFB时，求证：∠FAE＝∠ACB． 【答案】（1）证明详见解析；（2）①∠AEB与∠ACB之间的数量关系不变，∠AEB＝2∠ACB，证明详见解析；（3）证明详见解析 【详解】（1）证明：∵AM∥BN， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD； （2）①解：∠AEB与∠ACB之间的数量关系不变，∠AEB＝2∠ACB，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠EAC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ACB＝2∠ACB； ②证明：∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠ACD＝∠AFB， ∴∠BAC＝∠DAF，即∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠DAC， ∴∠BAF＝∠DAC， ∵∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAF＝∠ACB， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠ACB． 2．（2025·广陵区·期中）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接AE、CE． 【感知】如图1，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，则∠AEC＝　　； 【探究】如图2，猜想∠BAE，∠ECD和∠AEC之间的数量关系，并说明理由； 【应用】如图3，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG，若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数． 【答案】感知：90°；探究：∠BAE+∠ECD＝∠AEC，理由见解析；应用：40° 【详解】解：感知：如图，过点E作EF∥AB， ∴∠BAE＝∠1， 由条件可知：CD∥EF， ∴∠2＝∠DCE， ∵∠AEC＝∠1+∠2， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE， 由条件可知：∠AEC＝90°， 故本题答案为：90°； 探究：∠BAE+∠ECD＝∠AEC，理由如下： 如图，过点E作EF∥AB， ∴∠BAE＝∠1， 由条件可知：CD∥EF， ∴∠2＝∠DCE， ∵∠AEC＝∠1+∠2， ∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC； 应用：由平移的性质可知：CE∥FG， ∴∠ECD＝∠GFD， ∵AH平分∠BAE，FH平分∠DFG， ∴，， ∴， ∵∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝80°， ∴． 3．（2025·高邮市·期末）如图，直线MN∥PQ，直线EF与MN，PQ分别相交于点E，F，∠MEF＝α（0°＜α＜90°），将一个含30°角的直角三角尺ABC按如图1所示的方式放置，点A，C分别在直线MN，PQ上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°． （1）如图1，直接写出∠B，∠FCA，∠BAE之间的数量关系　　； （2）∠ACQ的平分线CG交直线MN于点G，且EF∥AB． ①如图2，当CG∥EF时，求α的值； ②将△ABC从图2位置沿射线CQ的方向平移，在平移过程中，请用含α的代数式表示∠GCF的度数． 【答案】（1）∠BAE+∠ABC+∠FCA＝270°；（2）①α＝30°；②15°或165° 【详解】解：（1）如图，过B作BK∥PQ， ∴∠KBC＝∠BCP， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCP+∠FCA＝90°， ∴∠KBC+∠FCA＝90°， ∵MN∥PQ，BK∥PQ， ∴MN∥BK， ∴∠BAE+∠ABK＝180°， ∴∠BAE+∠ABK+∠KBC+∠FCA＝180°+90°＝270°， ∴∠BAE+∠ABC+∠FCA＝270°， 故本题答案为：∠BAE+∠ABC+∠FCA＝270°； （2）①如图， ∵EF∥AB，CG∥EF， ∴CG∥AB， ∴∠ACG＝∠BAC＝30°， ∵CG平分∠ACQ， ∴∠GCQ＝∠ACG＝30°， ∵MN∥PQ， ∴∠AGC＝∠GCQ＝30°， ∵CG∥EF， ∴∠MEF＝∠AGC＝30°，即α＝30°； ②如图，当C在F左侧时， ∵EF∥AB， ∴∠MEF+∠BAE＝180°， ∵∠BAC＝30°，∠MEF＝α， ∴α+30°+∠CAG＝180°， ∴∠CAG＝150°﹣α， ∴∠ACG+∠AGC＝180°﹣（150°﹣α）＝30°+α， ∵CG平分∠ACQ， ∴∠ACG＝∠GCF， ∵MN∥PQ， ∴∠AGC＝∠GCF， ∴∠GCF＝∠ACG＝∠AGC＝15°； 如图，当C在F右侧时， ∵EF∥AB， ∴∠MEF＝∠EAB＝α， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAG＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝150°﹣α， ∴∠ACG+∠AGC＝180°﹣（150°﹣α）＝30°+α， ∵CG平分∠ACQ， ∴∠ACG＝∠GCQ， ∵MN∥PQ， ∴∠AGC＝∠GCQ， ∴∠GCQ＝∠ACG＝∠AGC＝15°， ∴∠GCF＝180°﹣∠GCQ＝165°； 综上，∠GCF的度数为15°或165°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1平移 题型一 平移变换有关的辨析 1．（2025·锡山区·期中）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·东海县·期中）如图，木盘还有最后一块没有拼完，小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，小明应该选择的拼木是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·海陵区·校级月考）已知将△ABC平移到△DEF，顶点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，①AB＝DE，②AD＝CF，③AB∥DE，④∠BAC＝∠EDF．上述结论中一定成立的是　　.（填序号） 题型二 根据平移的性质求角度 1．（2025·高邮市·期中）如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（　　） A．130° B．90° C．65° D．50° 2．（2025·工业园区·校级期中）如图，射线a，b分别与直线l交于点A，B．现将射线a沿直线l向右平移过点B，若∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．60° C．90° D．80° 题型三 根据平移的性质求线段长/周长 1．（2025·南通·真题）如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4，则平移的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025·邗江区·期末）如图，将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置，量得BC′＝5cm，CB′＝1cm，则A，A′间的距离是（　　） A．1cm B．2cm C．2.5cm D．3cm 3．（2025·秦淮区·校级期中）如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 题型四 根据平移的性质求面积 1．（2025·沭阳县·校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．6 B．9 C．18 D．24 2．（2025·句容市·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置．若∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，阴影部分的面积为26，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·海州区·校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D'，BC与C'D'相交于点E，若BC＝8，CE＝3，C′E＝2，则阴影部分的面积为　　． 题型五 平移变换作图 1．（2025·赣榆区·校级月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）请画出平移后的△DEF； （2）连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是　　； （3）求△ABC的面积． 2．（2025·宿城区·校级月考）如图，在12×10的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将△ABC按照某方向经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C． （1）画出平移以后的△A′B′C′； （2）连接AA′，BB′，则这两条线段的关系是　　； （3）求线段AC在平移过程中扫过区域的面积？ 题型一 平移的综合应用 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在三角形ABC中，BC＝6cm，将三角形ABC以每秒1cm的速度沿BC向右平移，得到三角形DEF，设平移时间为t秒（t＜6），若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，t的值为2或3．”乙：“有三种情况，t的值为2或3或4．”丙：“有四种情况，t的值为2或3或4或5．”其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 2．（2025·锡山区·期中）如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F． （1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数； （2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离； （3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长． 3．（2025·惠山区·期中）如图，将△ABC中的边AB沿着AC方向平移到ED，ED交BC于点O，连接BD，BE． （1）若∠AEB＝70°，∠CBD＝60°，求∠EBC的大小； （2）若AB＝7，BC＝8，AC＝3，边AB在平移的过程中，点E始终在边AC上（不与点A，点C重合），求△EOC与△BOD周长的和． 4．（2025·浦口区·校级月考）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，小路的宽均为1m，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3： （1）分别设方案一和方案二的草地面积为S1、S2（m2），则S1＝　　m2（用含a、b的式子表示），S1　　S2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） （3）经讨论后决定选用方案三的方案，若a＝30m，b＝20m，且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 题型一 平移与平行线综合应用 1．（2025·宝应县·期中）如图1．AM∥BN，点D，点C分别在射线AM，BN上，且∠BAD＝∠BCD． （1）求证：AB∥DC； （2）连接AC，作∠EAC＝∠DAC，AE交BN于点E，作∠BAE的平分线AF交BN于点F（如图2），将CD沿AM方向水平向右平移． ①在CD的移动过程中，∠AEB与∠ACB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当CD运动到∠ACD＝∠AFB时，求证：∠FAE＝∠ACB． 2．（2025·广陵区·期中）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接AE、CE． 【感知】如图1，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，则∠AEC＝　　； 【探究】如图2，猜想∠BAE，∠ECD和∠AEC之间的数量关系，并说明理由； 【应用】如图3，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG，若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数． 3．（2025·高邮市·期末）如图，直线MN∥PQ，直线EF与MN，PQ分别相交于点E，F，∠MEF＝α（0°＜α＜90°），将一个含30°角的直角三角尺ABC按如图1所示的方式放置，点A，C分别在直线MN，PQ上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°． （1）如图1，直接写出∠B，∠FCA，∠BAE之间的数量关系　　； （2）∠ACQ的平分线CG交直线MN于点G，且EF∥AB． ①如图2，当CG∥EF时，求α的值； ②将△ABC从图2位置沿射线CQ的方向平移，在平移过程中，请用含α的代数式表示∠GCF的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $