第七章 三角函数（单元自测·提升卷）数学人教B版必修第三册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 6．已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 7．已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 8．当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ） A．点D的纵坐标为 B． C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 11．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．关于直线对称 D．方程有5个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．满足不等式的的集合为 ； 13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 14．函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若是方程的两根，求实数的值． 16．（15分）已知函数 (1)写出的单调增区间. (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 17．（15分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟. (1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值； (3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？ 18．（17分）如图，是函数图象的一部分 (1)求函数的解析式： (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围： (3)若关于的方程在上有解，求实数a的取值范围 19．（17分）已知． (1)若为奇函数，求的值，并解方程； (2)解关于的不等式． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若角为第二象限角，则，，； 若，则，异号，角为第二象限角或第四象限角. 故“角为第二象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得. 故选：B 3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，根据图象性质区间上单调递增，错误； 对于B，，错误； 对于C，，图像在单调递增，错误； 对于D，的图象是由的图象轴下方的图象上翻，周期减半， 故周期为，又在区间上，所以在区间上单调递减. 故选：D. 4．若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，正方形的边长为， 则扇形的周长，正方形的周长， 扇形周长和正方形周长相等， ，即， ， ， ， 即， . 故选：C 5．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【详解】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 6．已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 【答案】A 【详解】依题意，，解得，函数的周期， 解得，则，由，得， 而，则，解得，因此，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，如图：的最小正周期为，C正确； 对于D，，， 由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，D正确. 故选：A 7．已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】D 【详解】由诱导公式先化简原式得 对于①，在第一象限时，在第三象限时，不存在，所以①错； 对于②，在第二象限时，在第四象限时，例如，时，，所以②对. 故选：D 8．当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则或， 所以或， 即或， 即或， 又，对于，令，可得：，， 对于，分别令，可得：，，， 从小到大排序前个数为，，，， 由于两曲线有3个交点，所以，，解得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，， 则，故A正确； 则，故B错误， 则，故C正确； 则，故D正确. 故选：ACD 10．如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ）    A．点D的纵坐标为 B． C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【详解】最小正周期，，即，故选项A错误； 因为，即，因为，所以，故选项B正确； 由， 令， 解得当时，单调递增， 令，得到，故选项C错误； 令，解得， 取， 即为对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 11．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．关于直线对称 D．方程有5个实数解 【答案】AC 【详解】由为偶函数，可得，即关于成直线对称， 令，可得，故A正确； 又由为奇函数，可得，即关于点成中心对称，, 由于与关于点成中心对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误； 又由，代入上式可得， 再可得，所以有，故的周期为， 因为关于成直线对称，根据周期性可知：关于直线对称，故C正确； 作出函数的图象; 由于，则，所以函数与的交点个数如图可得有个， 即方程有个实数解，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．满足不等式的的集合为 ； 【答案】 【详解】，得，即， 故答案为：. 13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 【答案】 【详解】 第一次是以B为旋转中心， 以为半径旋转90°, 此次点A走过的路径是第二次是以C为旋转中心， 以为半径旋转90°,此次点A走过的路径是 第三次是以D为旋转中心，以 为半径旋转60°, 此次点A走过的路径是∴点A三次共走过的路径是 故答案为： 14．函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数的图像，左侧是正弦型函数，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数. 当时，，得到， （1）当在区间有3个零点且在区间有2个零点时， 满足 ，得到； （2）当在区间有4个零点且在区间有1个零点时， 满足或 ，得到； （3）当在区间有5个零点且在区间没有零点时， 满足 ，无解； 综上所述，实数的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若是方程的两根，求实数的值． 【详解】（1）由三角函数的定义可知， 1分 因为，所以， 3分 又，. 4分 （2）由三角函数的定义可知， 5分 ． 故原式. 8分 （3）由三角函数的定义可知. 因为是方程的两根， ，得或. ，即. 11分 又. 可得，即，解得：或（舍）. 13分 16．（15分）已知函数 (1)写出的单调增区间. (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【详解】（1）令， 所以的单调增区间. 2分 （2）因为，则， 所以，， 所以，， 4分 因为不等式对任意恒成立， 所以，对任意恒成立， 5分 则，解得. 因此，实数的取值范围是 8分 （3）将的图象向左平移个单位，可得到函数 9分 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)， 可得到函数的图象， 10分 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示:    13分 由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 15分 17．（15分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟. (1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值； (3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？ 【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数解析式为（， ）， 1分 依题意，，，，函数的最小正周期， 则， 3分 当时，点距地面米，即， 则，而，解得， 5分 所以所求函数式为，定义域为． 6分 （2）由，得，整理得， 由，得，则或或， 9分 解得或或， 所以或或时，1号座舱与地面的距离为17米. 11分 （3）由，得，整理得， 由，得，则，解得， 14分 所以在前24分钟内，“美景期”的时间为. 15分 18．（17分）如图，是函数图象的一部分 (1)求函数的解析式： (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围： (3)若关于的方程在上有解，求实数a的取值范围 【详解】（1）观察函数图象，得，的最小正周期，则， 1分 即，由，得，又，则，解得， 3分 所以. 4分 （2）令，则， 由函数在区间上有且仅有两个零点， 得方程在有且仅有两个实根， 6分 由，得或，则所求两个根为， 7分 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 9分 （3）由，得， 即，整理得， 12分 由，得，则，令， 依题意，，方程有解， 14分 函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 函数在的值域为，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 17分 19．（17分）已知． (1)若为奇函数，求的值，并解方程； (2)解关于的不等式． 【详解】（1）的定义域为R， 因为为奇函数，则， 解得，故， 2分 又，即， 所以函数为奇函数，故. 4分 又，即， 解得，即. 7分 （2）因为，， ， 关于的不等式可转化为， 9分 即， 11分 ①当时，； 12分 ②当时，，解得， 14分 ③当时，或，解得或，， 16分 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 6．已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 7．已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 8．当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ） A．点D的纵坐标为 B． C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 11．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．关于直线对称 D．方程有5个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．满足不等式的的集合为 ； 13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 14．函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若是方程的两根，求实数的值． 16．（15分）已知函数 (1)写出的单调增区间. (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 17．（15分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟. (1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值； (3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？ 18．（17分）如图，是函数图象的一部分 (1)求函数的解析式： (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围： (3)若关于的方程在上有解，求实数a的取值范围 19．（17分）已知． (1)若为奇函数，求的值，并解方程； (2)解关于的不等式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C D A D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）由三角函数的定义可知， 1分 因为，所以， 3分 又，. 4分 （2）由三角函数的定义可知， 5分 ． 故原式. 8分 （3）由三角函数的定义可知. 因为是方程的两根， ，得或. ，即. 11分 又. 可得，即，解得：或（舍）. 13分 16．【详解】（1）令， 所以的单调增区间. 2分 （2）因为，则， 所以，， 所以，， 4分 因为不等式对任意恒成立， 所以，对任意恒成立， 5分 则，解得. 因此，实数的取值范围是 8分 （3）将的图象向左平移个单位，可得到函数 9分 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)， 可得到函数的图象， 10分 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示:    13分 由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 15分 17．【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数解析式为（， ）， 1分 依题意，，，，函数的最小正周期， 则， 3分 当时，点距地面米，即， 则，而，解得， 5分 所以所求函数式为，定义域为． 6分 （2）由，得，整理得， 由，得，则或或， 9分 解得或或， 所以或或时，1号座舱与地面的距离为17米. 11分 （3）由，得，整理得， 由，得，则，解得， 14分 所以在前24分钟内，“美景期”的时间为. 15分 18．【详解】（1）观察函数图象，得，的最小正周期，则， 1分 即，由，得，又，则，解得， 3分 所以. 4分 （2）令，则， 由函数在区间上有且仅有两个零点， 得方程在有且仅有两个实根， 6分 由，得或，则所求两个根为， 7分 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 9分 （3）由，得， 即，整理得， 12分 由，得，则，令， 依题意，，方程有解， 14分 函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 函数在的值域为，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 17分 19．【详解】（1）的定义域为R， 因为为奇函数，则， 解得，故， 2分 又，即， 所以函数为奇函数，故. 4分 又，即， 解得，即. 7分 （2）因为，， ， 关于的不等式可转化为， 9分 即， 11分 ①当时，； 12分 ②当时，，解得， 14分 ③当时，或，解得或，， 16分 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $