8.3多项式乘多项式同步培优讲义（4知识点+9大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

8.3多项式乘多项式同步培优讲义 （4知识点+9大题型+过关检测） 【题型1 多项式乘多项式】 2 【题型2（x+p）（x+q）型多项式乘法】 3 【题型3 多项式乘多项式—化简求值】 3 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 3 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 4 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 5 【题型7 整式乘法混合运算】 7 【题型8 多项式乘多项式的新定义问题】 7 【题型9 多项式乘多项式的实际应用】 8 1. 理解多项式乘多项式的法则，能准确叙述法则并说明法则的推导过程（基于单项式乘多项式法则推导）。 2. 熟练掌握多项式乘多项式的运算，能正确、快速地进行简单的多项式乘法运算，杜绝漏乘、符号错误等问题。 3. 掌握特殊形式（x+p）（x+q）的多项式乘法，能灵活运用其简便算法简化运算。 4. 能解决多项式乘多项式相关的常见题型（化简求值、不含某项求字母值、图形面积、规律探究等），提升运算能力和逻辑推理能力。 5. 能运用多项式乘多项式法则解决简单的实际问题，体会整式乘法在实际生活中的应用价值。 6. 能应对多项式乘法中的新定义、混合运算等综合题型，培养综合运用知识的能力。 03 知识•梳理 知识点一：多项式乘多项式法则 用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：（a + b）（m + n）= am + an + bm + bn（其中a、b、m、n可以是单项式，也可以是常数项）。 关键注意点： · 漏乘：必须保证一个多项式的每一项都要与另一个多项式的每一项相乘，不能遗漏任何一项（如（a+b）（m+n）不能只算am+bn）。 · 符号：注意各项的符号，同号得正，异号得负，符号错误是常见易错点。 · 合并同类项：运算结束后，需将所得积中的同类项合并，化为最简形式。 知识点二： 特殊形式：（x + p）（x + q） 展开推导：（x + p）（x + q）= x·x + x·q + p·x + p·q = x² + （p + q）x + pq。 规律总结：两个一次二项式相乘（首项都是x），结果是一个二次三项式，其中： · 二次项系数为1； · 一次项系数为两个常数项p、q的和（p + q）； · 常数项为两个常数项p、q的积（pq）。 简便应用：直接利用此规律，可快速展开此类多项式（如（x+2）（x+3）=x²+5x+6）。 知识点三： 整式乘法混合运算 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后算多项式乘多项式；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行。 知识点四：相关延伸知识点 · 不含某项的条件：多项式乘积展开后，若某一项不存在（系数为0），则令该项的系数等于0，可求解字母的值。 · 与图形面积的联系：利用“长方形面积=长×宽”，将图形的长和宽表示为多项式，通过多项式乘多项式表示图形总面积（或部分面积），建立代数与几何的联系。 · 规律探究：通过计算几组多项式乘法的结果，总结出式子的变化规律（如系数、次数、项数的规律），再利用规律求解未知式子。 04 题型•汇总 【题型1 多项式乘多项式】 解题关键：严格遵循多项式乘多项式法则，注意符号和漏乘问题，最后合并同类项。 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．计算： (1) (2) 跟随训练1-2．计算： (1)； (2)． 【题型2（x+p）（x+q）型多项式乘法】 解题关键：利用特殊规律“x² + （p + q）x + pq”快速展开，无需重复法则推导，提高运算速度。 【典例2】．下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．若，则p、q的值是（   ） A．2， B．，15 C．2，15 D．， 跟随训练2-2．若，则k的值为 ． 【题型3 多项式乘多项式—化简求值】 解题关键：先将多项式乘积展开、合并同类项，化为最简整式，再代入字母的值计算（代入时注意符号）。 【典例3】．先化简，再求值． ，其中，． 跟随训练3-1．化简并求值：已知，，求代数式的值． 跟随训练3-2．先化简，再求值：，其中． 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 解题关键：1. 展开多项式乘积，合并同类项，化为最简整式；2. 找到“不含某项”对应的项，令其系数为0；3. 解方程求解字母的值。 【典例4】．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 跟随训练4-1．若中不含m的一次项，则 ． 跟随训练4-2．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 解题关键：根据图形形状，用多项式表示出“长”和“宽”（或总面积的组成部分），利用面积公式，通过多项式乘多项式表示面积，再结合题意求解。 【典例5】．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 跟随训练5-1．下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 解题关键：先计算前几组多项式乘法的结果，观察结果的系数、次数、项数的变化规律，总结出通用规律，再利用规律求解未知式子或数值。 【典例6】．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 跟随训练6-1．（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 跟随训练6-2．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【题型7 整式乘法混合运算】 解题关键：严格遵循运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），注意符号和同类项合并，避免运算顺序错误。 【典例7】．计算： 跟随训练7-1．（1）计算； （2）计算． 跟随训练7-2．计算： 【题型8 多项式乘多项式的新定义问题】 解题关键：先读懂题目给出的新定义（如“新运算”“新规则”），明确新定义的运算方式，再结合多项式乘多项式法则，按照新定义的要求进行运算。 【典例8】．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 跟随训练8-1．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 跟随训练8-2．定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【题型9 多项式乘多项式的实际应用】 解题关键：根据实际问题，找到数量之间的关系，将未知量用字母表示，再利用多项式乘多项式法则表示出相关数量，最后结合题意求解（注意单位和实际意义）。 【典例9】．日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 跟随训练9-1．某超市新进一批进货价为30元/个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元/个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨1元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨a元． (1)试用含a的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为______元． ②涨价后，每个玩具的利润为______元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为______个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到500元，经理甲说“在原销售价40元/个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 跟随训练9-2．某超市计划购进两个品牌的矿泉水共100箱，这两个品牌矿泉水的进价和售价如表所示． 品牌 A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，超市每售出一箱B品牌矿泉水，会向社会福利机构捐款元，假设100箱矿泉水全部售出，设购进A型号矿泉水箱，超市获得的利润为元． (1)用含的式子表示． (2)当时，求超市获得的利润为多少元． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．若则m+n的值为（　 ） A． B．1 C． D．5 4．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 6．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 7．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 8．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 9．已知，为常数，且为恒等式，则 ． 10．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为 ． 11．已知，，则M与N的大小关系是 ． 12．已知，则的值是 ． 13．在某月的月历中任意框出如图摆放的4个数，，，（四个数均存在），下列四个选项中的值是2的倍数的有 （填写序号即可）． 14．对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为 ． 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．乐乐在计算一个多项式乘的题目时，误将乘法运算看成加法运算，结果得到．请你帮乐乐计算这道题的正确结果． 18．【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 19．如图1是2026年1月的日历牌，图2是“十字型”框架，用该框架框住日历中任意5个数字（如图1所示），设“十字型”框中的5个数字分别． (1)用含a的代数式表示：________，________； (2)判断是否为定值，若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 20．阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． 若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：； 知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ； （2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计； 拓展迁移： （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3多项式乘多项式同步培优讲义 （4知识点+9大题型+过关检测） 【题型1 多项式乘多项式】 2 【题型2（x+p）（x+q）型多项式乘法】 4 【题型3 多项式乘多项式—化简求值】 5 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 6 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 8 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 12 【题型7 整式乘法混合运算】 16 【题型8 多项式乘多项式的新定义问题】 17 【题型9 多项式乘多项式的实际应用】 20 1. 理解多项式乘多项式的法则，能准确叙述法则并说明法则的推导过程（基于单项式乘多项式法则推导）。 2. 熟练掌握多项式乘多项式的运算，能正确、快速地进行简单的多项式乘法运算，杜绝漏乘、符号错误等问题。 3. 掌握特殊形式（x+p）（x+q）的多项式乘法，能灵活运用其简便算法简化运算。 4. 能解决多项式乘多项式相关的常见题型（化简求值、不含某项求字母值、图形面积、规律探究等），提升运算能力和逻辑推理能力。 5. 能运用多项式乘多项式法则解决简单的实际问题，体会整式乘法在实际生活中的应用价值。 6. 能应对多项式乘法中的新定义、混合运算等综合题型，培养综合运用知识的能力。 03 知识•梳理 知识点一：多项式乘多项式法则 用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：（a + b）（m + n）= am + an + bm + bn（其中a、b、m、n可以是单项式，也可以是常数项）。 关键注意点： · 漏乘：必须保证一个多项式的每一项都要与另一个多项式的每一项相乘，不能遗漏任何一项（如（a+b）（m+n）不能只算am+bn）。 · 符号：注意各项的符号，同号得正，异号得负，符号错误是常见易错点。 · 合并同类项：运算结束后，需将所得积中的同类项合并，化为最简形式。 知识点二： 特殊形式：（x + p）（x + q） 展开推导：（x + p）（x + q）= x·x + x·q + p·x + p·q = x² + （p + q）x + pq。 规律总结：两个一次二项式相乘（首项都是x），结果是一个二次三项式，其中： · 二次项系数为1； · 一次项系数为两个常数项p、q的和（p + q）； · 常数项为两个常数项p、q的积（pq）。 简便应用：直接利用此规律，可快速展开此类多项式（如（x+2）（x+3）=x²+5x+6）。 知识点三： 整式乘法混合运算 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后算多项式乘多项式；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行。 知识点四：相关延伸知识点 · 不含某项的条件：多项式乘积展开后，若某一项不存在（系数为0），则令该项的系数等于0，可求解字母的值。 · 与图形面积的联系：利用“长方形面积=长×宽”，将图形的长和宽表示为多项式，通过多项式乘多项式表示图形总面积（或部分面积），建立代数与几何的联系。 · 规律探究：通过计算几组多项式乘法的结果，总结出式子的变化规律（如系数、次数、项数的规律），再利用规律求解未知式子。 04 题型•汇总 【题型1 多项式乘多项式】 解题关键：严格遵循多项式乘多项式法则，注意符号和漏乘问题，最后合并同类项。 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的运算、多项式的乘法和除法,通过直接计算每个选项，判断其正确性． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误． 故选：B． 跟随训练1-1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 跟随训练1-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2（x+p）（x+q）型多项式乘法】 解题关键：利用特殊规律“x² + （p + q）x + pq”快速展开，无需重复法则推导，提高运算速度。 【典例2】．下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法，利用多项式乘以多项式法则计算各选项，即可得出结论． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意， 故选：C． 跟随训练2-1．若，则p、q的值是（   ） A．2， B．，15 C．2，15 D．， 【答案】A 【分析】此题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 通过多项式乘以多项式展开左边并比较系数，即可得到p和q的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较系数得：，. 故选：A 跟随训练2-2．若，则k的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决本题的关键是正确求解等号左边表达式． 通过多项式乘以多项式法则展开左边表达式，再与右边多项式比较系数，即可求出k的值． 【详解】解：， ∵， 即 可得． 故答案为： 1． 【题型3 多项式乘多项式—化简求值】 解题关键：先将多项式乘积展开、合并同类项，化为最简整式，再代入字母的值计算（代入时注意符号）。 【典例3】．先化简，再求值． ，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，根据整式的混合运算法则计算，再代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 跟随训练3-1．化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 跟随训练3-2．先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 解题关键：1. 展开多项式乘积，合并同类项，化为最简整式；2. 找到“不含某项”对应的项，令其系数为0；3. 解方程求解字母的值。 【典例4】．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 跟随训练4-1．若中不含m的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 跟随训练4-2．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 解题关键：根据图形形状，用多项式表示出“长”和“宽”（或总面积的组成部分），利用面积公式，通过多项式乘多项式表示面积，再结合题意求解。 【典例5】．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 跟随训练5-1．下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 跟随训练5-2．有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 解题关键：先计算前几组多项式乘法的结果，观察结果的系数、次数、项数的变化规律，总结出通用规律，再利用规律求解未知式子或数值。 【典例6】．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 跟随训练6-1．（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；；（2）发现的规律为（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）解：根据以上等式发现：，理由如下： ∵左边 右边， ∴； （3）解： 跟随训练6-2．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【题型7 整式乘法混合运算】 解题关键：严格遵循运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），注意符号和同类项合并，避免运算顺序错误。 【典例7】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 跟随训练7-1．（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）0 （2） 【分析】本题考查了整式的混合运算（含幂的运算、多项式乘法），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则与多项式的乘法法则，再合并同类项． （1）先算同底数幂的乘法与幂的乘方，再合并同类项； （2）先展开多项式乘多项式与单项式乘多项式，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 跟随训练7-2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用单项式乘多项式，以及积的乘方的运算法则去括号，再合并同类项，即可解题． 【详解】解： ． 【题型8 多项式乘多项式的新定义问题】 解题关键：先读懂题目给出的新定义（如“新运算”“新规则”），明确新定义的运算方式，再结合多项式乘多项式法则，按照新定义的要求进行运算。 【典例8】．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是先根据二阶行列式的定义将所求行列式转化为整式的减法运算，再利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开并化简，最后代入的值计算． 【详解】解：根据二阶行列式的定义， ， 当时，原式． 跟随训练8-1．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 跟随训练8-2．定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 【题型9 多项式乘多项式的实际应用】 解题关键：根据实际问题，找到数量之间的关系，将未知量用字母表示，再利用多项式乘多项式法则表示出相关数量，最后结合题意求解（注意单位和实际意义）。 【典例9】．日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】(1)图见解析；验证见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示： ∵， 故也满足上述规律． （2）解：令第一个数为，根据日历中的数字关系，可得矩形框内的数的规律如下图所示： ∵ 跟随训练9-1．某超市新进一批进货价为30元/个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元/个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨1元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨a元． (1)试用含a的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为______元． ②涨价后，每个玩具的利润为______元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为______个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到500元，经理甲说“在原销售价40元/个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③； (2)故经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确，理由见详解． 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）已知玩具的原销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨a元，根据利润为涨价后的价格减去进货价，计算求解即可； （2）根据总利润为单个利润与销售量的乘积，列出月销售利润的方程为元，分别计算甲经理上涨5元和乙经理提价后的月销售利润，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：原来玩具得销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨a元， 则①涨价后，每个玩具的销售价为：元， ②涨价后，每个玩具的利润为：元， ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为：个， 故答案为：①，②，③； （2）经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确，理由如下： 根据题意可得，超市该玩具的月销售利润为元， 当时，（元），， 当时，（元），， 故经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确． 跟随训练9-2．某超市计划购进两个品牌的矿泉水共100箱，这两个品牌矿泉水的进价和售价如表所示． 品牌 A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，超市每售出一箱B品牌矿泉水，会向社会福利机构捐款元，假设100箱矿泉水全部售出，设购进A型号矿泉水箱，超市获得的利润为元． (1)用含的式子表示． (2)当时，求超市获得的利润为多少元． 【答案】(1) (2)超市获得的利润为2400元 【分析】本题考查了整式乘法的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购进A品牌矿泉水箱，则购进B品牌矿泉水箱，根据表格数据列出，然后化简，即可作答． （2）由（1）得，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：设购进A品牌矿泉水箱，则购进B品牌矿泉水箱， 由题意得， ． （2）解：当时， （元）． 答：超市获得的利润为2400元． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质及单项式乘多项式法则，需根据相关法则逐一验证选项． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误，不符合题意； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故B错误，不符合题意； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故C正确，符合题意； ∵单项式乘多项式，用单项式乘多项式的每一项再相加， ∴，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法中不含某项的字母关系求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含x的一次项即一次项系数为0，即可得出a、b的关系式． 【详解】∵ 又∵展开结果中不含x的一次项， ∴． 故选：B． 3．若则m+n的值为（　 ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，直接运用多项式乘法法则展开，通过系数对比求解出m和n的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴， 故选：C． 4．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 5．新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 6．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：， 故选：D． 7．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 8．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律，根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解． 【详解】解：①∵展开式的第三项的系数是， ∴该结论正确； ②∵ ， ∴该结论正确； ③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行， ∴展开式中含项的系数是2026， ∴该结论正确； ④∵展开式为， ∴其中各项系数之和为， ∴该结论正确， 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：D． 9．已知，为常数，且为恒等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 10．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 11．已知，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 12．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 13．在某月的月历中任意框出如图摆放的4个数，，，（四个数均存在），下列四个选项中的值是2的倍数的有 （填写序号即可）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了整式的混合运算，分别用含的代数式表示出，，，再代入，根据整式的运算法则计算，即可得出结论． 【详解】解：①，，， ∴ ， 故的值不是2的倍数； ②，，， ∴ ， 故的值是2的倍数； ③，，， ∴ ， 故值一定是2的倍数； ④，，， ∴ ， 故的值是2的倍数； 综上所述，的值是2的倍数的有②③④． 故答案为：②③④． 14．对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了新定义下的整式的混合运算．需要求的最小值，通过代数变换，将问题转化为求的最小值，求得，分别求得当、和时，的最小值，据此分析求解即可． 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为， 故答案为：26． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式的化简与求值，非负数的性质，掌握好相关知识是关键． 先按照整式混合运算的法则进行化简，再根据非负数的性质求出和的值，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，且， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 17．乐乐在计算一个多项式乘的题目时，误将乘法运算看成加法运算，结果得到．请你帮乐乐计算这道题的正确结果． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式乘多项式的运算，掌握整式运算法则是解题关键． 先根据“错误结果减去”求出多项式，再用乘以得到正确结果． 【详解】解：根据题意可知，， 则， 正确计算：， 展开化简得． 18．【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 19．如图1是2026年1月的日历牌，图2是“十字型”框架，用该框架框住日历中任意5个数字（如图1所示），设“十字型”框中的5个数字分别． (1)用含a的代数式表示：________，________； (2)判断是否为定值，若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析． 【分析】本题考查月历中数的规律和代数式的运算、整式的加减，运用了归纳推理思想和代数化简方法．解题关键是准确判断月历中“十字型”框内各数的位置关系，用含的代数式表示各数后，通过整式运算分析定值；易错点是对“十字型”框内数字的位置关系判断错误，导致代数式列错，或化简时符号、项的运算失误． (1)根据月历数的相邻规律，结合“十字型”框的位置，确定、的表达式化简即可； (2)先表示出、、，将、、、代入，通过整式乘法和合并同类项化简，根据结果是否含判断是否为定值． 【详解】（1）解：根据月历数的相邻规律，结合“十字型”框的位置，得， ． 故答案为：，； （2）解：是定值．理由如下： ． ． 是定值，定值为48． 20．阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． 若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：； 知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ； （2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计； 拓展迁移： （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长． 【答案】（1）；（2）4；3；8；（3）见解析；（4）2号卡片的边长为4 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为x，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】解：（1）拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片4张，2号卡片3张，3号卡片8张， 故答案为：4，3，8； （3）∵拼成的图形是正方形（按原卡片进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：， ∵， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）设长方形的长为x，则宽为． 由题意：， ， ∴， ∴， ∴，即2号卡片的边长为4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $