8.2单项式乘多项式同步培优讲义（2知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材苏科版）

8.2单项式乘多项式同步培优讲义 （2知识点+7题型+过关检测） 【题型1 单项式乘多项式】 2 【题型2 根据单项式乘多项式求值】 2 【题型3 根据单项式乘多项式求参数】 3 【题型4 单项式乘多项式的应用】 4 【题型5 单项式乘多项式中错解问题】 5 【题型6 单项式乘多项式中面积问题】 5 【题型7 单项式乘多项式中定义新运算问题】 7 · 理解单项式与多项式相乘的运算法则的推导过程，能准确复述法则核心内容，明确法则与单项式乘单项式法则的关联。 · 牢记“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的运算步骤，能熟练进行基础的单项式乘多项式运算（对应题型1）。 · 能结合单项式乘多项式的运算，化简代数式并代入已知值求值，掌握“先化简、再求值”的解题思路（对应题型2）。 · 养成先定符号、分步运算、最后检查的良好习惯，减少符号、指数及去括号相关的运算错误。 03 知识•梳理 知识点1：单项式与多项式相乘的运算法则 1. 法则内容 文字语言：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 符号语言（公式表示）：设单项式为m，多项式为 a + b - c（a、b、c 均为单项式），则： m(a + b - c) = ma + mb - mc 补充说明：① 多项式中的“每一项”包括它前面的符号； ② 单项式与多项式的每一项相乘，都要遵循单项式乘单项式的法则。 2、核心运算步骤（三步走，必记！） ① 乘每一项：用单项式去乘多项式的每一项，注意连同每一项前面的符号一起乘； ② 算单项积：每一项相乘时，遵循单项式乘单项式的法则（定符号→算系数→算同底数幂→照抄单独字母）； ③ 加积求和：将所有单项积相加，合并同类项（若有同类项，七年级重点合并常数项、同底数幂的同类项）。 知识点2：单项式乘多项式的拓展说明 1. 多个单项式乘同一个多项式：可先将多个单项式相加（或相乘），再乘多项式，简化运算； 2. 含分数、负数系数的运算：分数系数乘多项式时，可先将分数分配到每一项，再计算； 3. 与实际结合：主要用于计算组合图形的面积、长方体（或正方体）的体积、总产量等，核心是根据数量关系列出单项式乘多项式的算式。 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 漏乘项：单项式未乘多项式的每一项，尤其是常数项（最常见易错点）； · 2. 符号类：忽略多项式中项的符号，导致单项积符号出错；负系数乘多项式时，符号判断失误； · 3. 运算类：单项式乘多项式后，同类项合并错误；含乘方的混合运算，运算顺序出错； · 4. 含参类：化简时符号错误，导致对应项系数找错；未理解“不含某一项”的含义（该项系数为0）； · 5. 应用类：列算式时混淆实际问题的数量关系（如：倍数关系、面积公式记错）；结果未结合实际意义。 05 过关•检测 【题型1 单项式乘多项式】 核心思路：遵循“乘每一项→算单项积→加积求和”三步，结合单项式乘单项式法则，分步运算，重点避免漏乘项和符号错误。 【典例1】．计算：． 跟随训练1-1．计算： 跟随训练1-2．计算：． 【题型2 根据单项式乘多项式求值】 核心思路：优先“先化简、再求值”（避免直接代入运算繁琐出错）；第一步，通过单项式乘多项式法则展开代数式，合并同类项简化形式；第二步，将已知字母的值代入化简后的式子，代入负数、分数时务必加括号，计算时注意符号和乘方运算规范，最后得出结果。 【典例2】．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 跟随训练2-1．我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 跟随训练2-2．定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【题型3 根据单项式乘多项式求参数】 核心思路：先根据单项式乘多项式法则，完整展开并化简左边（或已知代数式）；再结合题干条件（如“不含某一项”“积的次数为某数”“与右边等式相等”），找准对应项的系数、指数关系（关键：不含某一项即该项系数为0，等式相等即对应项系数相等）；最后列出方程，求解参数的值，可代入检验确保正确性。 【典例3】．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 跟随训练3-1．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 跟随训练3-2．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 核心思路：先梳理实际问题中的数量关系（如倍数、总产量、总长度等），结合题意列出单项式乘多项式的算式（注意：算式需符合实际意义，结果不能为负）；再按照单项式乘多项式法则展开、化简算式；若有具体数值代入，计算出实际结果，最后结合题意标注单位、写出答句。 【典例4】．已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 跟随训练4-1．一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 跟随训练4-2．如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【题型5 单项式乘多项式中错解问题】 核心思路：先对照单项式乘多项式法则，识别错解的核心错误（高频错误：漏乘多项式的项、符号判断失误、同类项合并错误、运算顺序颠倒）；再针对错误点，按照“乘每一项→算单项积→加积求和”的正确步骤，重新计算得出正确结果；最后可简要说明错误原因，强化法则应用记忆。 【典例5】．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 跟随训练5-1．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为 ． 跟随训练5-2．小颖在计算一个整式乘以时，误看成了减去，得到的答案是，该题正确的计算结果应是多少？ 【题型6 单项式乘多项式中面积问题】 核心思路：先牢记常见图形的面积公式（长方形=长×宽、正方形=边长×边长，组合图形可拆分后求和）；再将图形的边长（或拆分后各部分的边长）用含单项式的式子表示；然后根据面积公式，列出单项式乘多项式的算式；最后展开、化简算式，若有具体数值代入，计算出面积的具体值，注意面积单位规范和结果为正数。 【典例6】．已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 跟随训练6-1．重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 跟随训练6-2．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【题型7 单项式乘多项式中定义新运算问题】 核心思路：先仔细读懂新运算的定义规则，明确新运算与单项式乘多项式的关联（本质不改变单项式乘多项式的核心法则，仅改变书写形式）；再将题目中的单项式，按照新运算的规则代入，转化为常规的单项式乘多项式算式；最后遵循单项式乘多项式、单项式乘单项式的法则，分步计算得出结果，重点规避混淆新运算规则和符号错误。 【典例7】．定义运算，下面关于这种运算的四个结论是“我爱数学”学习小组给出的，其中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 跟随训练7-1．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 跟随训练7-2．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 3．计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 5．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 7．用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（   ）块正六边形瓷砖． A．81 B．91 C．96 D．187 8．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 9．计算： ． 10．若实数x满足，则 ． 11．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 12．一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 13．小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是 ． 14．如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买 元的防水材料． 15．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 18．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 19．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 20．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2单项式乘多项式同步培优讲义 （2知识点+7题型+过关检测） 【题型1 单项式乘多项式】 2 【题型2 根据单项式乘多项式求值】 3 【题型3 根据单项式乘多项式求参数】 6 【题型4 单项式乘多项式的应用】 8 【题型5 单项式乘多项式中错解问题】 10 【题型6 单项式乘多项式中面积问题】 12 【题型7 单项式乘多项式中定义新运算问题】 15 · 理解单项式与多项式相乘的运算法则的推导过程，能准确复述法则核心内容，明确法则与单项式乘单项式法则的关联。 · 牢记“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的运算步骤，能熟练进行基础的单项式乘多项式运算（对应题型1）。 · 能结合单项式乘多项式的运算，化简代数式并代入已知值求值，掌握“先化简、再求值”的解题思路（对应题型2）。 · 养成先定符号、分步运算、最后检查的良好习惯，减少符号、指数及去括号相关的运算错误。 03 知识•梳理 知识点1：单项式与多项式相乘的运算法则 1. 法则内容 文字语言：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 符号语言（公式表示）：设单项式为m，多项式为 a + b - c（a、b、c 均为单项式），则： m(a + b - c) = ma + mb - mc 补充说明：① 多项式中的“每一项”包括它前面的符号； ② 单项式与多项式的每一项相乘，都要遵循单项式乘单项式的法则。 2、核心运算步骤（三步走，必记！） ① 乘每一项：用单项式去乘多项式的每一项，注意连同每一项前面的符号一起乘； ② 算单项积：每一项相乘时，遵循单项式乘单项式的法则（定符号→算系数→算同底数幂→照抄单独字母）； ③ 加积求和：将所有单项积相加，合并同类项（若有同类项，七年级重点合并常数项、同底数幂的同类项）。 知识点2：单项式乘多项式的拓展说明 1. 多个单项式乘同一个多项式：可先将多个单项式相加（或相乘），再乘多项式，简化运算； 2. 含分数、负数系数的运算：分数系数乘多项式时，可先将分数分配到每一项，再计算； 3. 与实际结合：主要用于计算组合图形的面积、长方体（或正方体）的体积、总产量等，核心是根据数量关系列出单项式乘多项式的算式。 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 漏乘项：单项式未乘多项式的每一项，尤其是常数项（最常见易错点）； · 2. 符号类：忽略多项式中项的符号，导致单项积符号出错；负系数乘多项式时，符号判断失误； · 3. 运算类：单项式乘多项式后，同类项合并错误；含乘方的混合运算，运算顺序出错； · 4. 含参类：化简时符号错误，导致对应项系数找错；未理解“不含某一项”的含义（该项系数为0）； · 5. 应用类：列算式时混淆实际问题的数量关系（如：倍数关系、面积公式记错）；结果未结合实际意义。 05 过关•检测 【题型1 单项式乘多项式】 核心思路：遵循“乘每一项→算单项积→加积求和”三步，结合单项式乘单项式法则，分步运算，重点避免漏乘项和符号错误。 【典例1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以多项式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． 跟随训练1-1．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 跟随训练1-2．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题关键是正确运用单项式乘多项式法则展开式子．先利用单项式乘多项式法则展开即可． 【详解】 ． 【题型2 根据单项式乘多项式求值】 核心思路：优先“先化简、再求值”（避免直接代入运算繁琐出错）；第一步，通过单项式乘多项式法则展开代数式，合并同类项简化形式；第二步，将已知字母的值代入化简后的式子，代入负数、分数时务必加括号，计算时注意符号和乘方运算规范，最后得出结果。 【典例2】．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 跟随训练2-1．我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． （1）利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． （2）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； 故答案为：；． （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 跟随训练2-2．定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【题型3 根据单项式乘多项式求参数】 核心思路：先根据单项式乘多项式法则，完整展开并化简左边（或已知代数式）；再结合题干条件（如“不含某一项”“积的次数为某数”“与右边等式相等”），找准对应项的系数、指数关系（关键：不含某一项即该项系数为0，等式相等即对应项系数相等）；最后列出方程，求解参数的值，可代入检验确保正确性。 【典例3】．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 跟随训练3-1．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 跟随训练3-2．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 核心思路：先梳理实际问题中的数量关系（如倍数、总产量、总长度等），结合题意列出单项式乘多项式的算式（注意：算式需符合实际意义，结果不能为负）；再按照单项式乘多项式法则展开、化简算式；若有具体数值代入，计算出实际结果，最后结合题意标注单位、写出答句。 【典例4】．已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 【答案】(1) (2)一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损） (3)盈利1000元 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值和整式加减的应用，正确列出相应的代数式、准确计算是解题的关键； （1）根据商品A的售价为元，商品B的成本价为列式求解即可； （2）先计算出一件A商品的盈利和一件B商品的盈利，再进一步计算即可； （3）把，代入（2）的代数式中求解即可； 【详解】（1）解：∵商品成本价为元，提高20%后出售，商品亏本20%后售价为元， ∴商品A的售价为元，商品B的成本价元； 故答案为：； （2）解：一件A商品盈利为元，一件B商品盈利为元， ； 答：一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损）； （3）解：当，时，（元）， 答：盈利1000元． 跟随训练4-1．一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】(1) (2)共需喷上平方米的油漆 【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． （1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵长方体的长为米，宽为米，高为米， ∴该长方体的体积为立方米， 故答案为：； （2）解：长方体的表面积为： 平方米， 答：共需喷上平方米的油漆． 跟随训练4-2．如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【答案】(1)水渠的横断面积为平方米． (2)水渠可以蓄水立方米． 【分析】本题主要考查代数式的运用，整式的混合运算，掌握代数式表示数或数量关系的方法，整式的运算法则是解题的关键． （1）根据几何图形面积的计算公式代入计算即可； （2）根据体积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：平方米， ∴水渠的横断面的面积为平方米； （2）解：立方米， ∴水渠可以蓄水立方米． 【题型5 单项式乘多项式中错解问题】 核心思路：先对照单项式乘多项式法则，识别错解的核心错误（高频错误：漏乘多项式的项、符号判断失误、同类项合并错误、运算顺序颠倒）；再针对错误点，按照“乘每一项→算单项积→加积求和”的正确步骤，重新计算得出正确结果；最后可简要说明错误原因，强化法则应用记忆。 【典例5】．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 跟随训练5-1．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘除，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题目的已知可知，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 跟随训练5-2．小颖在计算一个整式乘以时，误看成了减去，得到的答案是，该题正确的计算结果应是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，根据一个整数减去，得到的答案是，得出这个整式为，然后用乘这个整式得出结果即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故该题正确的计算结果应是． 【题型6 单项式乘多项式中面积问题】 核心思路：先牢记常见图形的面积公式（长方形=长×宽、正方形=边长×边长，组合图形可拆分后求和）；再将图形的边长（或拆分后各部分的边长）用含单项式的式子表示；然后根据面积公式，列出单项式乘多项式的算式；最后展开、化简算式，若有具体数值代入，计算出面积的具体值，注意面积单位规范和结果为正数。 【典例6】．已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 跟随训练6-1．重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 跟随训练6-2．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 【题型7 单项式乘多项式中定义新运算问题】 核心思路：先仔细读懂新运算的定义规则，明确新运算与单项式乘多项式的关联（本质不改变单项式乘多项式的核心法则，仅改变书写形式）；再将题目中的单项式，按照新运算的规则代入，转化为常规的单项式乘多项式算式；最后遵循单项式乘多项式、单项式乘单项式的法则，分步计算得出结果，重点规避混淆新运算规则和符号错误。 【典例7】．定义运算，下面关于这种运算的四个结论是“我爱数学”学习小组给出的，其中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】AD 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义，单项式乘多项式．根据定义，逐一验证各选项的正确性，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、取 ，，，，，故不相等，故该选项不符合题意； C、由 得 ，，而 ，（除非），故该选项不符合题意； D、由，得 或 ，即 或 ，故该选项符合题意； 故选：AD 跟随训练7-1．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 跟随训练7-2．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，单项式乘以多项式和合并同类项等运算，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题． 分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 【详解】解：由题意可知，图1的面积为：； 图2的面积为：； 即． 故选：C． 3．计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，需运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘再将所得的积相加．先运用乘法分配律将式子展开，再计算各项结果，最后与选项对比得出答案 【详解】解：， 故选：C． 4．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 5．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 7．用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（   ）块正六边形瓷砖． A．81 B．91 C．96 D．187 【答案】B 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到规律，结合图形每向外增加一环，找出正六边形增加的个数，找出规律，即可解答． 【详解】解：图①铺设一环需1块正六边形瓷砖， 图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，即（块）， 图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，即（块）， 如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，即（块）， 按此规律排列下去， 铺设环需块正六边形瓷砖； 则铺设六环需块正六边形瓷砖． 故选：B． 8．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是表示出图中阴影部分面积． 设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ∴， ∴， 故选：A． 9．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10．若实数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用整体的思想进行代数式求值，单项式与多项式的乘法．由可得 ，将其代入所求表达式 中，通过代数变形降次，合并同类项后计算常数值得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 11．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 12．一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示出滑梯区和休闲区的面积，再求出它们的和，即可作答． 【详解】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 13．小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，整式的乘法无关类型，数形结合是解题的关键． 设，求出，根据当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得，的数量关系． 【详解】解：设， ∴ ∵当的长度变化时，的值始终保持不变， ∴ 即， 故答案为：． 14．如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买 元的防水材料． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 【详解】解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， 厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， 每平方米的防水材料a元， 至少需要购买材料费用为：元． 故答案为：． 15．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的几何背景．根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， ， 当，时，． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 18．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 19．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 【答案】(1)， (2)① (3) 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解流程图． （1）根据流程图列式即可． （2）分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． （3）先计算出与，即可解答． 【详解】（1）解：根据流程图可得；， 故答案为：，． （2）解：，，即，故①正确；      ， ， 故，②错误； ，，故③错误；      ， ， ，故④错误； 故答案为：①． （3）解：， ， 若与相等， 则． 20．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意：，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $