3.2～3.3图形的旋转、简单的图案设计寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学（知识点归纳+题型解读+综合测试）

3.2～3.3图形的旋转、简单的图案设计寒假预习讲义 （北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关演练 💧 课前预习★目标  ❉知道旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度； ❉ 能识别生活和几何图形中的旋转现象，初步判断一个图形是否由旋转得到； ❉ 看懂简单图案是由哪个基本图形经过怎样旋转形成的； ❉初步感受旋转在图案设计、美术、建筑中的应用与美感。 ✏ 重点知识梳理归纳 ●知识点一、旋转的基本概念 1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一定角度，叫做图形的旋转。 2. 旋转三要素： （1）旋转中心：绕着转动的定点 （2）旋转方向：顺时针或逆时针 （3）旋转角度：转动的角度（如 90°、180°） ●知识点二、旋转的基本性质 1.旋转前后，图形的形状、大小不变，只改变位置； 2.对应点到旋转中心的距离相等； 3.对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角； 4.对应线段、对应角分别相等。 ●知识点三、旋转作图 1.依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度． 2.旋转作图的一般步骤 （1）确定旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出图形的关键点，一般是图形中的旋转点． （3）做旋转后的对应点，方法如下： ①连  连接图形的每个关键点与旋转中心； ②转  把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）； ③截  在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点． （4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 （5）写出结论，说明作出图形即为所求作的图形． ●知识点四、中心对称 1．概念：中心对称、对称中心、对称点      把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心． 2．中心对称的基本性质：    （1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质．    （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．      3．中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心      把一个平面图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做它的对称中心．    ●知识点五、简单图案设计 1. 设计常用方法：旋转、平移、轴对称组合使用。 2. 设计步骤： （1）选定基本图形； （2）确定旋转中心、方向、角度； （3）依次画出旋转后的图形； （4）组合成美观、对称的图案。 3. 常见旋转角度：60°、90°、120°、180°，易形成规律美观图案。 ●知识点六、常见题型 1.判断一个图案由哪个基本图形怎样旋转得到； 2.画出图形绕某点旋转一定角度后的对应图形； 3.利用旋转设计简单图案。 💦核心考点★精讲精练 题型1判断生活中旋转现象 例1．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 变式1．中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是 ． 【答案】旋转和平移 【分析】本题考查生活中的平移和旋转，根据旋转和平移的定义，进行判断即可． 【详解】解：“坐地日行八万里只考虑地球自转”蕴含的是图形的旋转， “飞流直下三千尺”蕴含的是图形的平移， 故答案为：旋转和平移． 变式2．吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【答案】不一样 【分析】根据平移和旋转的性质判断即可； 【详解】不一样，相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个角度反映了平移与旋转的差异． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质，准确分析判断是解题的关键． 题型2判断由一个图案旋转而成的图案 例2．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转． 【详解】 解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的． 故选：C． 变式1．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有 ；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有 ；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 变式2．如图，下列的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的，把它画出来？ 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质进行求解即可． 【详解】 解：（1）；（2） ；（3）； 以上基本图案绕着对称轴旋转一周得到． 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质正确作图是解本题的关键． 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 例3．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 变式1．如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B，与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答． 【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为：． 变式2．如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （1）连接，结合网格特点分别作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线交于点，则点即为所作； （2）根据旋转的性质，以及网格特点写出旋转角的度数即可． 【详解】（1）解： 所作旋转中心点如图所示： （2）解： 由图知，旋转角． 题型4求旋转中心的个数 例4．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 变式1．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 题型5旋转的性质及辨析 例5．下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力． 根据平移和旋转的性质逐项求解判断即可． 【详解】解：选项A中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项B中图形通过平移可以得到，不符合题意． 选项C中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项D中图形通过旋转无法得到，故选项符合题意； 故选：D． 变式1．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 变式2．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 题型6根据旋转的性质说明线段或角相等 例6．如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ． 故选：A． 变式1．如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点 ，此时， ， ， ． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 变式2．如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【答案】(1)把绕点逆时针旋转得到 (2)6 【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键． （1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可； （2）根据旋转的性质得到，，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角互余的三角形为直角三角形得到是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转得到． （2）解：由（1）可知，由通过旋转得到的， ，． ，， ， ． ， ， ． ， ． 题型7旋转中的规律性问题 例7．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 变式1．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 变式2．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 题型8画旋转图形 例8．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 变式1．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和翻折，可以看作是绕与的交点旋转得到，可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，不可以由经过1次平移和1次翻折得到，据此可得答案． 【详解】解：可以看作是绕与的交点旋转得到，①正确． 可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，②正确； 不可以由经过1次平移和1次翻折得到，③错误． 故答案为：①②． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)若与关于轴对称，请画出． (2)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、图形旋转的坐标变换规律以及平面直角坐标系中图形的绘制，熟练掌握轴对称和旋转变换的坐标变化规律是解题的关键． （1）先根据关于轴对称的点的坐标特征，作出即可； （2）先根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，作出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 题型9坐标系中的旋转 例9．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 变式1．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出绕原点顺时针旋转后的． (2)求出此时的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换性质，属于中考常考题型． （1）分别找到旋转后各点的对应点，再依次连接即可； （2）利用围成的长方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 例10．如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标变换公式，掌握平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证，求得，再根据点在第一象限即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由， 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 点在第一象限， 点的坐标为， 故答案为：B． 变式1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，再利用旋转的性质得到条件证明，即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，如图所示 (1)请用直尺和圆规作出绕O点逆时针旋转得到的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转变换作图与点的旋转坐标规律，解题的关键是掌握绕原点逆时针旋转的坐标变换规则，以及尺规作旋转图形的基本方法． （1）分别作出点、绕原点逆时针旋转后的对应点、，再连接、、得到； （2）利用点绕原点逆时针旋转的坐标变换规则，代入 直接求出的坐标． 【详解】（1）解：以为圆心，、为半径画弧；作、的垂线确定、，最后将两两连接得到即为所求． （2）解：∵点绕原点O逆时针旋转， 坐标变换规则为：原坐标旋转后变为， ∴的坐标为． 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 例11．如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标． 【详解】解：如图所示： A的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 变式2．如图，的顶点的坐标是． (1)请写出点B、C的坐标：B________，C________； (2)请画出以点为旋转中心，逆时针旋转后得到的，标记字母； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示、图形的旋转变换以及割补法求三角形面积．解题的关键是根据网格确定点的坐标，利用旋转性质求出对应点坐标，并通过割补法将三角形面积转化为规则图形面积的差． （1）根据平面直角坐标系，直接写出点的坐标即可； （2）以为中心，在坐标系内直接作出点逆时针旋转的对称点，然后连接得到； （3）采用割补法，将置于的矩形内，用矩形面积减去三个直角三角形的面积． 【详解】（1）解：点的坐标为,点的坐标为; （2）解：如图，为求作的三角形； （3）解：的面积． 题型12求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例12．点绕原点顺时针旋转后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点绕原点顺时针旋转后的坐标． 点绕原点顺时针旋转后，与原坐标关于原点中心对称，其坐标变为原坐标的相反数 【详解】解：∵点绕原点顺时针旋转， ∴新坐标为，即． 故选：C． 变式1．在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，等边对等角，过点A作轴于B，则，则可推出，由旋转的性质可得，则点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于B， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点在y轴上， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 题型13坐标与旋转规律问题 例13．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律、全等三角形的判定与性质及勾股定理，先求出点C的坐标，再依次求出每次旋转后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 过点C作x轴的垂线，垂足为M，过点B作的垂线，垂足为N， ∵， ∴， ∴， 则． ∴， 又∵， ∴， 则， 过点作y轴的垂线，垂足为P， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标为，第3次旋转后点C的坐标为，第4次旋转后点C的坐标为，第5次旋转后点C的坐标为，…， 由此可见，从第1次旋转开始，点C的坐标按，，，循环． 又∵余1， ∴第2025次旋转后点C的坐标为． 故选：D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，有一个，且，，，已知是由旋转得到的． (1)请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度． (2)画出关于原点的中心对称图形． 【答案】(1)，90 (2)图见解析 【分析】本题主要考查坐标与图形、旋转变换、中心对称变换等知识，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质并结合图形，即可获得答案； （2）根据中心对称图形的定义，即绕点旋转，由此即可求解． 【详解】（1）解：旋转中心的坐标是，旋转角是90度． 故答案为：，90． （2）关于原点的中心对称图形，如下图所示． 题型14线段问题（旋转综合题） 例14．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键． 变式1．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 变式2．在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 题型15面积问题（旋转综合题） 例15．如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确； ②过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC＝90°，根据S△BDC＝BD•CH，由垂线段最短判断出②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，分K落在△ABD的边上、内部、外部讨论即可判断③正确． 【详解】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′， 则△ABC′≌△ACD， ∴AC′＝AD，BC′＝CD， ∵∠DAC′＝60°， ∴△AC′D是等边三角形， ∴C′D＝AD， 在△BC′D中，BC′+BD＞C′D， ∴CD+BD＞AD， 当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线， ∴CD+BD＝AD， 故①正确； ②如图2，过点C作CH⊥BD于H， 则∠BHC＝90°， ∴S△BDC＝BD•CH， 由垂线段最短知，CH≤CD， ∴S△BDC≤BD•CD， 故②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK， 由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°， ∴△BDK是等边三角形， （推导等边三角形的面积公式如下： S△ABC=） ∴S△BDK＝， ∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质）， 当K落在△ABD外部时，S△ABK＝S△BDC≤BD•CD， 即S△ABK≤mn， ∴S△ABD<S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在AD边上时， S△ABD= S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在△ABD内部时， 过点B、D分别作BN⊥AK于N，DM⊥AK于M，设AK与BD交于点O， S△ABD=S△BDK+S△ABK+S△ADK =m2+AK·BN+AK·DM=m2+AK（BN+DM） ∵BO≥BN，OD≥DM， ∴S△ABD≤m2+AK（OB+OD）=m2+mn 故③正确； 综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积等知识点，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形． 变式1．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC= ． 【答案】6+4 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=4=PP'，再由勾股定理的逆定理可得△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，连接PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴BP′=BP=4=PP'； 过点P作PD⊥BP′于点D， ∴BD=BP′=2， 由勾股定理得PD=2， ∴S△BP'P=×BP'×PD=4； 由旋转的性质可知，AP′=PC=5， 在△BPP′中PP′=4，AP=3， 由勾股定理的逆定理得△APP′是直角三角形， ∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP=S△BP'P+S△AP'P=4+×PP'×AP=6+4， 故答案为：6+4． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出绕点O顺时针旋转后的，请写出点的坐标． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，点的坐标变换，准确利用旋转的性质作图是解题的关键． （1）分别作出，，顺时针旋转后的对应点，再连接即可； （2）根据割补法求面积即可； 【详解】（1）作图如下： ； （2）由（1）图可知： ． 题型16角度问题（旋转综合题） 例16．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 变式1．【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 变式2．如图1，含角的直角三角板在初始状态时，、分别落在射线、上，从初始状态开始绕顶点O旋转三角板．点C为射线反向延长线上一点．尺规作图：以为边，在直线上方作，使得． (1)在图1中完成上述题干中的尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (2)观察与思考： ①的度数为______； ②在旋转三角板的过程中，当的平分线与的平分线重合时，求的度数； (3)理解与实践： 理解：新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所组成的角叫做这个角的内半角．例如：如图2所示，若，则是的内半角． 实践：将三角板绕顶点旋转一周的过程中，当射线在的外部，且射线、、、中的两条射线所组成的角是另两条射线所组成的角的内半角时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解； (2)①；②； (3)或或． 【分析】本题考查作一个角等于已知角，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）按作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据旋转的性质，平角的定义，角平分线的定义利用角度的和求解即可； （3）根据旋转特点，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：① ②的平分线与的平分线重合时，如图： ， ， 即 （3）解：因为射线在的外部 则当是的内半角时 设， 由题意得： 解得 即 当是的内半角，射线在的内部时 设：，， 由题意得： 解得 即 射线在的外部时 设， 由题意得： 解得 即 所以为或或． 题型17其他问题（旋转综合题） 例17．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 变式1．已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案． 【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：   绕点逆时针旋转的对应点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 设直线解析式为，将，，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标． 变式2．如图，在的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，作出关于点中心对称的； (2)如图2，旋转得到． ①标出旋转中心点； ②在直线上找一点M，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查中心对称，旋转的性质，画中心对称图形； （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）①根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可； ②过点C作的对称点H，连接，找到与的交点即可． 【详解】（1）解：如图为所求， （2）①如图点为所求， ②过点C作的对称点H，连接，与的交点即为M，使得的周长最小，如图； 题型18成中心对称 例18．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 变式1．在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式计算，求解点B的坐标，即可作答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点与点B关于点成中心对称， ∴点是的中点 ∵点，点， ∴横坐标：，纵坐标： ∴，． ∴点B的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为对称中心，在平面直角坐标系中作出，使得与成中心对称（点A，B，C的对称点分别为点，，） 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质 利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】解：如图，即为所求． 题型19画已知图形关于某点对称的图形 例19．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 变式1．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 变式2．（1）请你在如图的正方形网格中，画出线段关于点成中心对称的线段； （2）已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查中心对称的概念及作图方法．中心对称是指把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． （1）找出点A和点B关于点O的中心对称点，连接即可； （2）根据中心对称点平分对应点的连线即可得到各点的对称点，然后顺次连接即可； （3）连接对应点的连线，其交点即为对称中心点O． 【详解】解：（1）连接，并延长至，使得到点，同样得到点，连接即可．如图 （2）连接，并延长到，使得，于是得到点A的对称点； 同样画出点B、点C和点D的对称点、点和点； 顺次连接、、、，如图所示的即为所求的四边形． （3）连接、交于点，即为所求． 题型20画两个图形的对称中心 例20．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 变式2．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，经过平移，的顶点移到了点所在的位置，请作出平移后的． (2)如图②，与关于点中心对称，但点不慎被涂掉了．请你找到对称中心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，点即为所求． 【点睛】本题考查作图平移变换，中心对称，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称定义和性质． 题型21根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例21．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 变式1．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4)8 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据平面直角坐标系中坐标的确定方法，在图中找到、对应的坐标，即可得出答案； （3）根据平移的性质作图即可； （4）通过割补法，将四边形放在一个长为6宽为4的矩形中，用矩形的面积减去周围四个直角三角形的面积，从而得出四边形的面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可得，． （3）解：如图所示． （4）解：由图可得， 【点睛】本题主要考查中心对称、图形的平移以及图形面积的计算，涉及中心对称图形的性质、平面直角坐标系中坐标的确定、图形的平移变换以及利用割补法求不规则图形的面积知识点． 题型22中心对称图形的识别 例22．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，理解中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 是中心对称图形，故此选项符合题意； B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 变式1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：根据点的坐标分别为，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴当放入白子的位置在点处时，是中心对称图形． 故答案为： 变式2．如图，已知点O为边的中点． (1)作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 【答案】(1)见解析 (2)和关于点O成中心对称的图形，和关于点O成中心对称的图形（或和关于点O成中心对称的图形） 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的相关知识是解题的关键． （1）以点O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点D，连接，则即为所求； （2）根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形． 题型23判断中心对称图形的对称中心 例23．如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 变式1．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【答案】C 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 变式2．指出图中的中心对称图形，并画出其对称中心． 【答案】（2）（3）（4）是中心对称图形，画图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义即可求解，再找到其对称中心即可． 【详解】解：（1）不是中心对称图形，（2）（3）（4）是中心对称图形， 如图，点O分别是它们的对称中心． 题型24在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例24．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 变式1．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 变式2．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 题型25中心对称图形规律问题 例25．已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于对称， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点． 变式1．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 【答案】(1)见解析，点、、的坐标分别为，， (2)见解析，的坐标为 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与轴对称变换，核心是掌握绕原点旋转和关于轴对称的坐标变化规律： （1）绕原点旋转：点的对应点为； （2）关于轴对称：点的对应点为． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 点、、的坐标分别为，，； （2）解：如图，即为所求，的坐标为． 题型26求关于原点对称的点的坐标 例26．点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数，求解对称点坐标后对应选项即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 变式1．点关于坐标原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均取相反数． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点，其横坐标与纵坐标均变为原坐标的相反数．点关于坐标原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为； (1)若与关于原点成中心对称，写出顶点的坐标：_____，_____，_____； (2)画出绕原点逆时针旋转得到的． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，画旋转图形． （1）根据关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数求解即可； （2）分别作出点绕原点逆时针旋转得到的点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵的三个顶点坐标分别为，且与关于原点成中心对称， ∴ 故答案为：，，； （2）解：如图，即为所求； 题型27已知两点关于原点对称求参数 例27．在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，据此求出、的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称 ∴，， ∴， 故选：C． 变式1．已知点与关于原点对称， ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的性质求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：1． 变式2．已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了关于原点对称问题，根据关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得． 题型28判断两个点是否关于原点对称 例28．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 变式1．已知点与点，则这两个点关于 对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 变式2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 题型29说出一个图形到另一个图形的运动过程 例29．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 变式1．以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 变式2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【答案】(1)见解析 (2)是轴对称图形，对称轴见解析 (3)见解析 (4)见解析，答案不唯一． 【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）由图形可得其对称轴； （4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，即为所求， （3）与是轴对称图形，对称轴如图所示 （4） 将以点B为旋转中心，逆时针旋转后，再向右平移6个单位得到． 题型30按图形的变换要求画出另一个图形 例30．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 变式1．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点． （2）解：如图，即为所求，点． 题型31利用旋转设计图案 例31．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、旋转、翻折的图形变换性质，掌握通过观察图形的基本单元和排列方式，判断其能否通过变换组合成目标图案的方法是解题的关键． 观察目标图案的结构，它是由单个星星通过平移、旋转构成的放射状图案，需对比每个选项的基本图形，判断其能否通过平移、旋转或翻折与目标图案匹配． 【详解】解：A、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，因为可以通过多次平移和适当的旋转操作使基本图形组成给定图案，不符合题意； B、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，例如先平移，再进行一定的旋转等操作可实现，不符合题意； C、无论经过怎样的平移、旋转或翻折操作，都无法得到给定图案，其图形的组合形式与给定图案不匹配，符合题意； D、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，可通过相应的图形变换操作实现，不符合题意； 故选：C． 变式1．如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 变式2．如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断． 【详解】解：图（1）中的图②是由图①经过平移变换而得到； 图（2）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点C旋转）； 图（3）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点A旋转）； 图（4）中的图②是由图①经过轴对称变换而得到（以所在的直线为对称轴）； 图（5）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点B旋转）． ✍ 强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 2．2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 3．下列事件为随机事件的是（   ） A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．直径是圆中最长的弦 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和为 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，旋转的性质，圆的相关内容，三角形的内角和，解题的关键是掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件．根据必然事件的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A．“一个图形旋转后所得的图形与原图形全等”是必然事件，不符合题意； B．“直径是圆中最长的弦”是必然事件，不符合题意； C．“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，符合题意； D．“任意画一个三角形，其内角和为”是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，理解绕原点旋转就是关于原点对称是解决问题的关键． 绕原点旋转实质是求关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标性质即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后的坐标就是求点关于原点对称的点的坐标， ∴把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为， ∴故选：D． 7．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【答案】A 【分析】本题主要查了图形类规律题．根据题意得到转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上，再由，可得从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上，即可求解． 【详解】解：根据题意得：转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上， ∵， ∴从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上， ∵点A在数轴上的对应的数为， ∴点D对应的数是． 则A选项符合题意． 故选：A． 8．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 9．如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：D． 10．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，由题意可得，从而得出，，由旋转的性质可得，过点作轴于点，证明，得出，，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，A与关于x轴对称， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段以B点为中心逆时针旋转得， ∴， 如图，过点作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．在中，，，．若与关于点C成中心对称，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，解题的关键是掌握中心对称图形的性质． 根据，，可在平面直角坐标系中画出，再根据中心对称图形的定义可画出，结合图形即可直接读出的坐标． 【详解】解：如图，点的对应点的坐标为 故答案为： 12．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：①圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴，也是中心对称图形，圆心是对称中心； ②长方形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点的连线），也是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但不是中心对称图形； ④平行四边形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ⑤线段是轴对称图形，其垂直平分线是对称轴，也是中心对称图形，中点为对称中心； ⑥角是轴对称图形，角平分线是对称轴，但不是中心对称图形． 故答案为：①②⑤． 13．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 14．平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关键掌握关于原点中心对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点成中心对称的特点求出，，代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， 根据对称的性质可得，，， ． 则的值为1． 故答案为：1． 16．如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点 ． 【答案】 【分析】结合成中心对称的图形的性质解答． 本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的图形的性质可得，点的对称点为点． 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 18．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为 ，的长度为 ． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 19．如图，这是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，再涂一个小正方形，能使它和已知阴影部分组成的图形为中心对称图形的概率是 ，能使它和已知阴影部分组成的图形为轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单随机事件概率的计算，轴对称图形，熟记概率公式和轴对称图形的概念是解题的关键． 由题意得和已知阴影部分组成的图形为中心对称图形的结果有2种，和已知阴影部分组成一个轴对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图所示： 在剩余的13个小正方形中，有2种涂法能使它和已知阴影部分组成中心对称图形，概率是， 如图所示: 有4种涂法能使它和已知阴影部分组成轴对称图形， 概率为：， 故答案为：，． 20．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 三、解答题 21．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 22．如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题．解题的关键是作各个关键点的对应点． （1）作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次； （2），图形作变换相等于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； （3）因为变换表示先作1次变换，再作1次变换变换表示先作1次变换，再依1次变换，所以可按此作出图形，再作判断． 【详解】（1）解：作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次， ∴作变换相当于至少作两次变换； 故答案为：2； （2）解：，图形作变换相当于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； 如图所示，图形作变换后得到的图形； （3）解：变换与变换不是相同的变换．如图3，4所示． 23．已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； 【分析】本题考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，求关于原点对称的点的坐标，面积问题(旋转综合题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）根据旋转的性质作出图形，然后根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，即为所求， ∵， ∴点关于原点成中心对称的点的坐标为； （2）解：如图2，即为所求； ∵，， ∴线段扫过的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析，这个变化过程中扫过的面积为 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、图形的旋转变换、图形的平移变换以及平移过程中扫过面积的计算，熟练掌握中心对称、旋转、平移的坐标变化规律和平行四边形的面积计算方法是解题的关键。 （1）根据中心对称的性质，分别找出点、、关于原点的对称点、、，再顺次连接即可得到。 （2）根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，直接求出点的坐标。 （3）根据平移的性质画出，再通过计算线段平移形成的平行四边形面积，求出扫过的面积。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求，； （3）解：如图，，这个变化过程中扫过的面积． 25．【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 （1）完成表格剩余部分； 【迁移应用】 （2）新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点的变换点． ① 求的变换点坐标_______________； ② 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为，请求出的解析式． 【答案】【小问1】见解析     【小问2】①；② 【分析】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及旋转的坐标特点与性质、一次函数的图象与性质等知识，分类讨论求解是解答本题的关键． （1）根据旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度作出点P的对应点A，可得所求点的坐标，同理画出旋转角度为、、时，点P的对应点B、C、D，进而得到所求点的坐标，进而填表即可； （2）①根据题中变换定义结合表格数据求解即可； ②设W上有一点，根据题意可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题可得解． 【详解】（1）解：如图所示，设点的坐标在第一象限， 顺时针旋转得到点A的坐标为； 顺时针旋转得到点B的坐标为； 顺时针旋转得到点C的坐标为； 顺时针旋转得到点D的坐标为； 故完成表格如下： 旋转的角度 对应点的坐标 （2）解：①∵， ∴的变换点坐标为， 故答案为：； ②解：设上有一点， 直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 点是直线上的点绕原点顺时针旋转， 将代入中，有， 在上，且满足， ∴的解析式为． 26．如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，． (1)如图①，__________； (2)如图②，若射线平分，求的度数； (3)如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用， （1）根据平角的定义解答即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据得出答案； （3）分三种情况讨论：当在之间时，即，表示出，根据可得，求出解；当在之间时，即，仿照上述过程解答； 当射线与重合前，即，表示出，根据角的关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在， 当在之间时，即，， 因为， 所以， 解得，不符合题意； 当在之间时，即，， 因为， 所以， 解得； 当射线与重合前，即，， 因为， 所以， 解得． 所以t的值为或． 27．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2～3.3图形的旋转、简单的图案设计寒假预习讲义 （北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关演练 💧 课前预习★目标  ❉知道旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度； ❉ 能识别生活和几何图形中的旋转现象，初步判断一个图形是否由旋转得到； ❉ 看懂简单图案是由哪个基本图形经过怎样旋转形成的； ❉初步感受旋转在图案设计、美术、建筑中的应用与美感。 ✏ 重点知识梳理归纳 ●知识点一、旋转的基本概念 1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一定角度，叫做图形的旋转。 2. 旋转三要素： （1）旋转中心：绕着转动的定点 （2）旋转方向：顺时针或逆时针 （3）旋转角度：转动的角度（如 90°、180°） ●知识点二、旋转的基本性质 1.旋转前后，图形的形状、大小不变，只改变位置； 2.对应点到旋转中心的距离相等； 3.对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角； 4.对应线段、对应角分别相等。 ●知识点三、旋转作图 1.依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度． 2.旋转作图的一般步骤 （1）确定旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出图形的关键点，一般是图形中的旋转点． （3）做旋转后的对应点，方法如下： ①连  连接图形的每个关键点与旋转中心； ②转  把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）； ③截  在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点； （4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形； （5）写出结论，说明作出图形即为所求作的图形． ●知识点四、中心对称 1．概念：中心对称、对称中心、对称点      把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心． 2．中心对称的基本性质：    （1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质．    （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．      3．中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心      把一个平面图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做它的对称中心．    ●知识点五、简单图案设计 1. 设计常用方法：旋转、平移、轴对称组合使用。 2. 设计步骤： （1）选定基本图形； （2）确定旋转中心、方向、角度； （3）依次画出旋转后的图形； （4）组合成美观、对称的图案。 3. 常见旋转角度：60°、90°、120°、180°，易形成规律美观图案。 ●知识点六、常见题型 1.判断一个图案由哪个基本图形怎样旋转得到； 2.画出图形绕某点旋转一定角度后的对应图形； 3.利用旋转设计简单图案； 💦核心考点★精讲精练 题型1判断生活中旋转现象 例1．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 变式1．中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是 ． 变式2．吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 题型2判断由一个图案旋转而成的图案 例2．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有 ；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有 ；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有 ．（填序号） 变式2．如图，下列的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的，把它画出来？ 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 例3．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ． 变式2．如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 题型4求旋转中心的个数 例4．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 变式1．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5旋转的性质及辨析 例5．下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 变式2．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    题型6根据旋转的性质说明线段或角相等 例6．如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点 ，此时， ， ， ． 变式2．如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 题型7旋转中的规律性问题 例7．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 变式1．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 变式2．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 题型8画旋转图形 例8．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)若与关于轴对称，请画出． (2)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请画出． 题型9坐标系中的旋转 例9．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出绕原点顺时针旋转后的． (2)求出此时的面积． 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 例10．如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是 ． 变式2．在平面直角坐标系中，如图所示 (1)请用直尺和圆规作出绕O点逆时针旋转得到的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，请直接写出点的坐标． 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 例11．如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合，则点P的坐标为 ． 变式2．如图，的顶点的坐标是． (1)请写出点B、C的坐标：B________，C________； (2)请画出以点为旋转中心，逆时针旋转后得到的，标记字母； (3)求出的面积． 题型12求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例12．点绕原点顺时针旋转后的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是 ． 变式2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 题型13坐标与旋转规律问题 例13．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，有一个，且，，，已知是由旋转得到的． (1)请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度． (2)画出关于原点的中心对称图形． 题型14线段问题（旋转综合题） 例14．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 变式1．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 变式2．在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 题型15面积问题（旋转综合题） 例15．如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC= ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出绕点O顺时针旋转后的，请写出点的坐标． (2)求四边形的面积． 题型16角度问题（旋转综合题） 例16．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式1．【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 变式2．如图1，含角的直角三角板在初始状态时，、分别落在射线、上，从初始状态开始绕顶点O旋转三角板．点C为射线反向延长线上一点．尺规作图：以为边，在直线上方作，使得． (1)在图1中完成上述题干中的尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (2)观察与思考： ①的度数为______； ②在旋转三角板的过程中，当的平分线与的平分线重合时，求的度数； (3)理解与实践： 理解：新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所组成的角叫做这个角的内半角．例如：如图2所示，若，则是的内半角． 实践：将三角板绕顶点旋转一周的过程中，当射线在的外部，且射线、、、中的两条射线所组成的角是另两条射线所组成的角的内半角时，请直接写出的度数． 题型17其他问题（旋转综合题） 例17．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在．． 变式1．已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 变式2．如图，在的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，作出关于点中心对称的； (2)如图2，旋转得到． ①标出旋转中心点； ②在直线上找一点M，使得的周长最小． 题型18成中心对称 例18．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为对称中心，在平面直角坐标系中作出，使得与成中心对称（点A，B，C的对称点分别为点，，） 题型19画已知图形关于某点对称的图形 例19．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．    变式1．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 变式2．（1）请你在如图的正方形网格中，画出线段关于点成中心对称的线段； （2）已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 题型20画两个图形的对称中心 例20．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 变式2．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，经过平移，的顶点移到了点所在的位置，请作出平移后的． (2)如图②，与关于点中心对称，但点不慎被涂掉了．请你找到对称中心的位置． 题型21根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例21．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 题型22中心对称图形的识别 例22．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 变式1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为 ． 变式2．如图，已知点O为边的中点． (1)作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 题型23判断中心对称图形的对称中心 例23．如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 变式1．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 变式2．指出图中的中心对称图形，并画出其对称中心． 题型24在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例24．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 变式2．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 题型25中心对称图形规律问题 例25．已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 变式1．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 题型26求关于原点对称的点的坐标 例26．点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．点关于坐标原点的对称点的坐标为 ． 变式2．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为； (1)若与关于原点成中心对称，写出顶点的坐标：_____，_____，_____； (2)画出绕原点逆时针旋转得到的． 题型27已知两点关于原点对称求参数 例27．在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 变式1．已知点与关于原点对称， ． 变式2．已知点与点关于原点对称，求的值． 题型28判断两个点是否关于原点对称 例28．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 变式1．已知点与点，则这两个点关于 对称． 变式2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 题型29说出一个图形到另一个图形的运动过程 例29．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 变式1．以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 变式2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 题型30按图形的变换要求画出另一个图形 例30．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 变式1．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 题型31利用旋转设计图案 例31．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 变式2．如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． ✍ 强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 2．2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 3．下列事件为随机事件的是（   ） A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．直径是圆中最长的弦 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和为 4．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 8．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，．若与关于点C成中心对称，则点A的对应点的坐标为 ． 12．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 13．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 14．平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是 ． 15．在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为 ． 16．如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点 ． 17．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 18．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为 ，的长度为 ． 19．如图，这是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，再涂一个小正方形，能使它和已知阴影部分组成的图形为中心对称图形的概率是 ，能使它和已知阴影部分组成的图形为轴对称图形的概率是 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 三、解答题 21．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 22．如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 23．已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段扫过的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 25．【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 （1）完成表格剩余部分； 【迁移应用】 （2）新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点的变换点． ① 求的变换点坐标_______________； ② 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为，请求出的解析式． 26．如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，． (1)如图①，__________； (2)如图②，若射线平分，求的度数； (3)如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 27．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值．． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $