专题3.3 简单的图案设计 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

简单的图案设计 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 利用旋转设计图案 考点梳理 1、定义：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 2、利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 典例引领 考向01 利用旋转设计图案 【例1】下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 考点02 几何变换的类型 考点梳理 1、平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等． 2、轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分． 3、旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． 4、位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 4．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 5．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将甲图经图形变换到乙图，下列说法错误的是(    )    A．可以通过平移和旋转实现 B．可以通过轴对称和旋转实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过璇转就能实现 7．在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 8．如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 9．如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 10．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 3、 解答题 11．如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 12．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 13．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单的图案设计 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 利用旋转设计图案 考点梳理 1、定义：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 2、利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 典例引领 考向01 利用旋转设计图案 【例1】下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、旋转、翻折的图形变换性质，掌握通过观察图形的基本单元和排列方式，判断其能否通过变换组合成目标图案的方法是解题的关键． 观察目标图案的结构，它是由单个星星通过平移、旋转构成的放射状图案，需对比每个选项的基本图形，判断其能否通过平移、旋转或翻折与目标图案匹配． 【详解】解：A、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，因为可以通过多次平移和适当的旋转操作使基本图形组成给定图案，不符合题意； B、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，例如先平移，再进行一定的旋转等操作可实现，不符合题意； C、无论经过怎样的平移、旋转或翻折操作，都无法得到给定图案，其图形的组合形式与给定图案不匹配，符合题意； D、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，可通过相应的图形变换操作实现，不符合题意； 故选：C． 考点02 几何变换的类型 考点梳理 1、平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等． 2、轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分． 3、旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． 4、位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，再把正前方的图形顺时针旋转90°即可得到解答． 【详解】解：把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，此时P变为： 把上图顺时针旋转90°即得P图原图如下： 故选D． 2．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 3．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 4．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题图形的旋转，根据旋转的特征结合题意即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有C选项符合题意． 故选：C． 5．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的定义判断即可. 【详解】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形. 故选：A 6．如图，将甲图经图形变换到乙图，下列说法错误的是(    )    A．可以通过平移和旋转实现 B．可以通过轴对称和旋转实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过璇转就能实现 【答案】D 【分析】结合图形特点可得甲图形变为乙图形可以经过旋转、平移或旋转、轴对称实现，从而可得出答案． 【详解】甲图形变为乙图形必须通过旋转变换， 所以D选项错误， 故选D． 7．在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案． 【详解】解：如图所示： 只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形． 故选：D． 2、 填空题 8．如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 9．如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 10．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 【答案】16 【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论． 【详解】解：延长AT交BC于点P， ∵AP⊥BC， ∴•BC•AP=12， ∴×6×AP=12， ∴AP=4（cm）， 由题意，AT=PT=2（cm）， ∴BE=CD=PT=2（cm）， ∵DE=BC=6cm， ∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）． 故答案为：16． 3、 解答题 11．如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断． 【详解】解：图（1）中的图②是由图①经过平移变换而得到； 图（2）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点C旋转）； 图（3）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点A旋转）； 图（4）中的图②是由图①经过轴对称变换而得到（以所在的直线为对称轴）； 图（5）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点B旋转）． 12．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形； （1）根据轴对称的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （3）根据图形适当涂色即可． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）如图2所示： （3）如图3所示： 13．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $