15.4零指数幂与负整数指数幂 精讲精练- 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

15.4零指数幂与负整数指数幂 一、精讲 知识点1 零指数冪 1.． 知识点2 负整数指数冪 1.当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 2. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点3 整数指数冪的基本性质 （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）．以上式子中，m，n均为整数． 【例】，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 二、精练 1．（    ） A．3 B． C． D． 2．干冰升华吸热，使空气中的水蒸气冷凝形成白雾．在舞台上用干冰可以塑造出宛如仙境一般烟雾缭绕的奇妙效果．“干冰”其实是固态的二氧化碳，二氧化碳的分子直径约为，用小数表示为（    ） A．0.000000035 B．0.00000000035 C．0.0000000035 D．0.000000000035 3．计算：（   ） A． B．1 C． D．π 4．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》苔花的花粉直径约为，则数据0.0000084用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．地球内部的地幔层中，存在一种微矿物颗粒，其直径约为0.00000025m，将数据0.00000025用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．用科学记数法表示的数据为，用“小数”形式表示这个数为 ． 12．跨生物学学科 巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为 ． 13．2025年1月，哈尔滨工业大学宣布成功研发出中心波长达到13.5纳米（即0.0000000135米）的极紫外（EUV）光技术，这一成就为中国光刻机技术的发展注入了强劲动力．则用科学记数法表示为 ． 14．计算 ． 15．当x 时，． 16．计算∶-= ． 17．计算： ． 18．气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体，质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据用科学记数法表示为 ． 19．已知，，，，则最大值和最小值的和为 ． 20．若等式成立，则的值为 ． 21．计算： 22．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 24．用科学记数法表示下列横线上的数： (1)在标准状况下，空气的密度是0.001293． (2)人的大脑皮层约有14000000000个神经细胞（神经元）．一个人如果活100岁，经常使用的脑神经细胞只不过有1000000000多个． (3)中国科学院古脊椎动物与古人类研究所于2022年3月30日发布了一项最新化石发现及研究．该所科研团队在江西省武宁县一处地层中，首次发现早期真盔甲鱼类的两个新属种化石，距今约438000000年，代表了迄今为止最古老、最原始的真盔甲鱼类化石记录． (4)明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，分布于北方10省区市，总长度约为8900000，其中，人工墙体的长度约为6300000． 25．科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4零指数幂与负整数指数幂 一、精讲 知识点1 零指数冪 1.． 知识点2 负整数指数冪 1.当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 2. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点3 整数指数冪的基本性质 （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）．以上式子中，m，n均为整数． 【例】，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 二、精练 1．（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，（，为正整数）， ∴． 故选：A． 2．干冰升华吸热，使空气中的水蒸气冷凝形成白雾．在舞台上用干冰可以塑造出宛如仙境一般烟雾缭绕的奇妙效果．“干冰”其实是固态的二氧化碳，二氧化碳的分子直径约为，用小数表示为（    ） A．0.000000035 B．0.00000000035 C．0.0000000035 D．0.000000000035 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 3．计算：（   ） A． B．1 C． D．π 【答案】B 【详解】解：∵（），且， ∴． 故选：B． 4．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 5．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》苔花的花粉直径约为，则数据0.0000084用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵0.0000084中第一个非0数字8前面有6个0， ∴， 故选：B． 6．病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】解：， ∴， 故选：C． 7．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴故选：D． 8．地球内部的地幔层中，存在一种微矿物颗粒，其直径约为0.00000025m，将数据0.00000025用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：0.00000025用科学记数法表示为， 故选：A． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 10．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 11．用科学记数法表示的数据为，用“小数”形式表示这个数为 ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为： 12．跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为 ． 【答案】4 【详解】解：根据科学记数法法则，， 因此 小数中，小数点后有个， 故答案为：． 13．2025年1月，哈尔滨工业大学宣布成功研发出中心波长达到13.5纳米（即0.0000000135米）的极紫外（EUV）光技术，这一成就为中国光刻机技术的发展注入了强劲动力．则用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：原数的小数点向右移动8位得到，因此指数为，故科学记数法表示为， 故答案为： 14．计算 ． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 15．当x 时，． 【答案】 【详解】解：∵ ∴，即，   故答案为：. 16．计算∶-= ． 【答案】 【详解】解：-=1-4=-3 故答案为：． 17．计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 18．气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体，质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 19．已知，，，，则最大值和最小值的和为 ． 【答案】7 【详解】解：①计算各值： ②比较大小： ∴最大值为，最小值为 ③计算最大值与最小值的和： ． 故答案为：． 20．若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合； 当底数时，解得，此时指数，，符合； 当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合； 故x的值为或或． 故答案为：或或． 21．计算： 【答案】-2 【详解】解：原式 22．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 23．某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：数据用科学记数法表示为； （2）解：由（1）可知：． 24．用科学记数法表示下列横线上的数： (1)在标准状况下，空气的密度是0.001293． (2)人的大脑皮层约有14000000000个神经细胞（神经元）．一个人如果活100岁，经常使用的脑神经细胞只不过有1000000000多个． (3)中国科学院古脊椎动物与古人类研究所于2022年3月30日发布了一项最新化石发现及研究．该所科研团队在江西省武宁县一处地层中，首次发现早期真盔甲鱼类的两个新属种化石，距今约438000000年，代表了迄今为止最古老、最原始的真盔甲鱼类化石记录． (4)明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，分布于北方10省区市，总长度约为8900000，其中，人工墙体的长度约为6300000． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【详解】（1）解：依题意，用科学记数法表示为； （2）解：依题意，用科学记数法表示为，用科学记数法表示为； （3）解：依题意，用科学记数法表示为； （4）解：依题意，用科学记数法表示为，6300000用科学记数法表示为． 25．科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $