8．2 特殊的平行四边形（3） 菱形的性质 导学单 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

苏科版八下数学导学单 主备人： 审核人： 时间：2026-2 8．2特殊的平行四边形（3）——菱形的性质 【教学目标】 1、理解菱形的定义，掌握菱形的性质。 2、引导学生经历由平行四边形到菱形的探索过程，合情推理能力和有条理的表达能力。 3、在对菱形特殊性质的探究过程中，引导学生理解特殊与一般的关系。 【教学重点】探索菱形的性质及其有关的计算 【教学难点】菱形与平行四边形之间的内在联系与区别 【预习导航】 1.生活中常常见到一种伸缩围栏，它由一些小的平行四边形构成，这些平行四边形的邻边都相等. 2.做一做：（1）如图1，BO是等腰△ABC的底边AC上的中线.画出△ABC关于直线AC对称的图形△ADC； （2）问题探究： ①得出的四边形ABCD是中心对称图形吗？若是，指出它的对称中心； ②得出的四边形ABCD是平行四边形吗？若是，指出它的边、角、对角线各具有什么结论？ 【新知归纳】 1．定义：__________________相等 叫做菱形． 2．性质：菱形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有其特殊性质： 如图,在▱ABCD 中，AB=BC,对角线AC，BD相交于点O. 由平行四边形的性质定理1，可得AB=DC,AD=BC. 所以 AB=BC=CD=DA.由平行四边形的性质定理2，可得AO=CO.所以 BD⊥AC. 于是，我们得到菱形的性质定理: 菱形的四条边 ，对角线 ． 符号语言：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ （边） = = = ； （对角线） ， ． 尝试练习1： 1．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（　　） A． B．8 C． D．16图2 图3 图1 2． 如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．110° D．120° 8．已知菱形ABCD在平面直角坐标系中位置如图所示，BC=，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（2，0），点M是对角线AC的中点，AC∥OB，则点M的坐标为　 　 ． 【典型例题】 例1 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离．A D B C E F G H M 讨论 菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形，菱形是轴对称图形吗?如果是，由轴对称性你能得到哪些结论? 对称性：菱形既是 图形又是 图形，它有 条对称轴，它的对称中心是 ． 5. .如图，在菱形ABCD中，连接对角线AC，求证:AC平分∠BAD和∠BCD. 结论：菱形的每条对角线平分一组对角. 【补讲例题】 例2 已知菱形ABCD的周长为8cm，∠BCD=120°，对角线AC和BD相交于点O． 求AC和BD的长． 例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O． （1）用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积； （2）若a+b=10，AB=4，求菱形ABCD的面积． 结论：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半. 【课堂小结】 尝试练习2： 1．下列关于菱形的对角线说法不正确的是（ ） A．互相垂直 B．平分各内角 C．相等 D．对角线交点到各边等距离 2．菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则周长为 cm；面积为 cm2． 3．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm，8cm，AE⊥BC于点E，则AE= cm． （第3题） （第4题） 4．如图，在菱形ABCD中，AD=8，ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_______． 5．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE． （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若OE＝2，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积． 8．2特殊的平行四边形（3）——菱形的性质答案 【教学目标】 1、理解菱形的定义，掌握菱形的性质。 2、引导学生经历由平行四边形到菱形的探索过程，合情推理能力和有条理的表达能力。 3、在对菱形特殊性质的探究过程中，引导学生理解特殊与一般的关系。 【教学重点】探索菱形的性质及其有关的计算 【教学难点】菱形与平行四边形之间的内在联系与区别 【预习导航】 1.生活中常常见到一种伸缩围栏，它由一些小的平行四边形构成，这些平行四边形的邻边都相等. 2.做一做：（1）如图1，BO是等腰△ABC的底边AC上的中线.画出△ABC关于直线AC对称的图形△ADC； （2）问题探究： ①得出的四边形ABCD是中心对称图形吗？若是，指出它的对称中心； ②得出的四边形ABCD是平行四边形吗？若是，指出它的边、角、对角线各具有什么结论？ 【新知归纳】 1．定义：_有一组邻边_相等 的平行四边形 叫做菱形． 2．性质：菱形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有其特殊性质： 如图,在▱ABCD 中，AB=BC,对角线AC，BD相交于点O. 由平行四边形的性质定理1，可得AB=DC,AD=BC. 所以 AB=BC=CD=DA.由平行四边形的性质定理2，可得AO=CO.所以 BD⊥AC. 于是，我们得到菱形的性质定理: 菱形的四条边 相等 ，对角线 互相垂直 ． 符号语言：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ （边） AB = AC = BC= AD ； （对角线） AC⊥BD ， AO=CO,BO=DO ． 尝试练习1： 1．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（　C　） A． B．8 C． D．16图2 图3 图1 3． 如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（　B　） A．100° B．110° C．120° D．130° 8．已知菱形ABCD在平面直角坐标系中位置如图所示，BC=，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（2，0），点M是对角线AC的中点，AC∥OB，则点M的坐标为　 （2，1）　 ． 【典型例题】 例1 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离． 解:连接AC，BD，相交于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠.AOB=90°(菱形的性质定理)， A0=AC=×24=12. .∴BD=2B0=10. ..∴BM= 3BD=30. 答:点B，M之间的距离是30cm. ..讨论 菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形，菱形是轴对称图形吗?如果是，由轴对称性你能得到哪些结论? 对称性：菱形既是 轴对称 图形又是 中心对称 图形，它有 2 条对称轴，它的对称中心是 对角线的交点 ． 尝试练习2： 1. .如图，在菱形ABCD中，连接对角线AC，求证：AC平分∠BAD和∠BCD. ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = AC =BC=AD (菱形的性质定理)， ∵AC=AC ∴△ABC≌△DACASA） ∴∠DAC=∠BAC，DBAC=∠DCA ∴AC平分∠BAD和∠BCD. 结论：菱形的每条对角线平分一组对角. 【补讲例题】 例2. 已知：菱形ABCD的周长为8cm，∠BCD=120°，对角线AC和BD相交于点O． 求AC和BD的长． 解:∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=×8=2,AO=AC,BO=BD,AB=×8=2, ∠.AOB=90°,∠ABO=∠ABC(菱形的性质定理)， ∵∠BCD=120° ∴∠.ABC=60° ∴∠.ABO=30° ∴A0=AB=2. . 例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O． （1）用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积； （2）若a+b=10，AB=4，求菱形ABCD的面积． 解:∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=AC,BO=BD,∠.AOB=90°(菱形的性质定理)， ∵a+b=10 解得:ab=18 结论：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半. 尝试练习3： 1．下列关于菱形的对角线说法不正确的是（ C ） A．互相垂直 B．平分各内角 C．相等 D．对角线交点到各边等距离 2．菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则周长为 52 cm；面积为 120 cm2． 3．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm，8cm，AE⊥BC于点E，则AE= 2.4 cm． （第3题） （第4题） 4．如图，在菱形ABCD中，AD=8，ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为． 15．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE． （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若OE＝2，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积． （1）证明：∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 又∵EF＝OF， ∴四边形DOCE是平行四边形， ∴DE∥AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∵BD⊥AC， ∴DE⊥BD， ∴∠ODE＝90°， ∴平行四边形DOCE是矩形； （2）解：由（1）可知：四边形DOCE是矩形， ∴DC＝OE＝2， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°， ∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC，∠OCD∠BCD＝30°， 在Rt△OCD中，CD＝2，∠OCD＝30°， ∴ODCD＝1， 由勾股定理得：OC， ∴BD＝2OD＝2，AC＝2OC， ∴菱形ABCD的面积为：BD•AC． - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $