专题9.3 二元一次方程组的应用（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题9.3二元一次方程组的应用 教学目标 1. 能根据实际问题中的两个等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组； 2. 会解简单的二元一次方程组，并检验解是否符合实际意义； 3. 经历“实际问题→数学模型→求解→解释”的过程，初步形成方程建模思想； 4. 能解决和差倍分、行程、图表、分段计费等常见实际问题. 教学重难点 1.重点 从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组. 2.难点 行程问题、图表信息题中隐蔽等量关系的寻找. 知识点01和差、倍分、分配等基础问题 解答此类应用题的关键步骤： 1. 会从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； 2. 能正确设两个未知数，列出二元一次方程组，并求解； 3. 会检验解是否合理，养成验算习惯； 【即学即练】 问题 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元.某一天，科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元.问：该天这两种票各售出多少万张? 【分析】从题目信息中我们可以得知： 解设该天售出成人票x万张、学生票y万张.根据题意，可得方程组 由①,得y=1-x. 将③代入②,得60x+45(1-x)=57. 解得x=0.8. 把x=0.8代入③,解得y=0.2. 所以，这个方程组的解是 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张. 知识点02数量关系较为隐蔽的复杂问题 解答此类应用题的关键步骤： 此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. 【即学即练】 问题 甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 分析可以设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意， 画出示意图: 根据线段示意图，我们可以找到两个等量关系式： 解 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意，可得方程组 由①,得y=100-x ③ 把③代入②,得7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h. 知识点03图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 【即学即练】 问题 小海家使用的是分时电表，按 平时段(6:00～22:00)和谷时段(22:00～次 日6:00)分别计费，且电费的单价谷时段比 平时段便宜0.31元.某月小海家平时段的 用电量是283千瓦时，谷时段的用电量是 127千瓦时，电费金额共计210.73元.求 分时电表平时段、谷时段每千瓦时的价格. 上月抄见数 本月抄见数 倍 率 用电量(千瓦时) 单 价( 1341 671 1624 798 1 283 127 本月电费金额 210.73 本月结转零头 0.00 本月应付电费大写 【分析】 根据题意，可列表如下： 时段 用电量/千瓦时 单价/元 金额/元 平时段 283 x 283x 谷时段 127 y 127y 由单价差额及总金额这两个等量关系，可以列出相应的二元一次方程组. 解 设分时电表平时段每千瓦时的价格是x元，谷时段每千瓦时的价格是y元 .根据题意，可得方程组 解之，得 答：分时电表平时段每千瓦时的价格是0.61元，谷时段每千瓦时的价格是0.3元. 题型01和差倍分及分配问题 【典例1】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【变式1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【变式2】某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 题型02行程问题、工程问题 【典例1】甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【变式2】甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 【变式3】小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【变式4】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 题型03图表信息问题 【典例1】某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【变式1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【变式2】列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式4】下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分． 排名 球队 胜场数 平场数 负场数 进球数 主场进球数 客场进球数 积分 1 A ？ ？ 1 13 8 5 13分 2 B 3 2 1 8 3 5 11分 3 C 3 1 2 9 x 5 10分 4 D 0 0 6 1 1 0 0分 备注 积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分 (1)表格中C队的主场进球数x的值为 ； (2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？ (3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？ 题型04销售利润及方案选择问题 【典例1】商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【变式1】邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【变式2】为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 【变式3】骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【变式4】2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 题型05 数字问题 【典例1】一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【变式1】有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【变式2】小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【变式3】如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是 ． 【变式4】一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是 ． 题型06几何图形问题 【典例1】利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是 ． 【变式1】如图，长方形是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，则小正方形的边长是 ． 【变式2】甲、乙两种无盖的长方体小盒如图1所示，它们的各个面是如图2的正方形或长方形的硬纸片．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ 【变式3】将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【变式4】如图，在大长方形中，放入8个一样形状和大小的小长方形，则图中阴影部分面积为 平方厘米． 题型07古代问题 【典例1】《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是 ． 【变式1】我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 ． 【变式2】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式3】我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 【变式4】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 一、单选题 1．“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 3．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组( ) A． B． C． D． 4．为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 5．一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 6．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它以同样的速度逆风飞行同样的航线需，则这架飞机在无风时的平均速度是 ． 8．一个长方形的长减少厘米，宽增加厘米，就成为一个正方形，并且长方形的面积与正方形的面积相等，求这个长方形的面积是 平方厘米． 9．某天早市上，何阿婆和李奶奶买了种类相同，但数量不同的蔬菜，已知何阿婆买了2千克西红柿和1.5千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元，则购买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费 元． 10．某传媒公司为学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，宣传册的数量是展板数量的5倍．该公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示： 产品 展板 宣传示 横福 时间／小时 1 0.2 0.5 利润／元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，则制作这三种产品的总件数是 件． 11．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是 km． 12．如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形区域（图中阴影部分）种植鲜花，则种植鲜花区域的面积是 ． 三、解答题 13．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 购买服装的套数 1～39套 40～79套 80套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 14．“五一”国际劳动节，某校决定组织甲乙两队参加义务劳动，并购买队服．下面是服装厂给出的服装的价格表： 经调查：两个队共75人（甲队人数不少于40人），如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题： （1）如果甲，乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？并说明理由． （2）甲、乙两队各有多少名学生？ 15．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 16．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 17．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 18．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年 11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共 10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元． （1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？ （2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，下表是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%， 12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？ 每瓶用量    饮料 甲 乙 （单位：千克） 0.9 0.2 （单位：千克） 0.8 0.4 （3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种 饮料的优惠方案分别见下表 某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？ 一次性购买甲饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500 所购饮料全部按九折优惠 超过500 所购饮料全部按八折优惠 一次性购买乙饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500的部分 不享受优惠方案 超过500但未超过1000部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 1/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3二元一次方程组的应用 教学目标 1. 能根据实际问题中的两个等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组； 2. 会解简单的二元一次方程组，并检验解是否符合实际意义； 3. 经历“实际问题→数学模型→求解→解释”的过程，初步形成方程建模思想； 4. 能解决和差倍分、行程、图表、分段计费等常见实际问题. 教学重难点 1.重点 从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组. 2.难点 行程问题、图表信息题中隐蔽等量关系的寻找. 知识点01和差、倍分、分配等基础问题 解答此类应用题的关键步骤： 1. 会从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； 2. 能正确设两个未知数，列出并解二元一次方程组； 3. 会检验解是否合理，养成验算习惯； 【即学即练】 问题 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元.某一天，科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元.问：该天这两种票各售出多少万张? 【分析】从题目信息中我们可以得知： 成人票张数+学生票张数=1万张， 60元/张×成人票张数+45元/张×学生票张数=57万元. 解设该天售出成人票x万张、学生票y万张.根据题意，可得方程组 由①,得y=1-x. 将③代入②,得60x+45(1-x)=57. 解得x=0.8. 把x=0.8代入③,解得y=0.2. 所以，这个方程组的解是 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张. 知识点02数量关系较为隐蔽的复杂问题 解答此类应用题的关键步骤： 此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. 【即学即练】 问题 甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 分析可以设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意， 画出示意图: 根据线段示意图，我们可以找到两个等量关系式： 甲车4h的路程+乙车4h的路程=400km， 甲车5h的路程+（甲车2h的路程+乙车2h的路程）=400km， 解 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意，可得方程组 由①,得y=100-x ③ 把③代入②,得7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h. 知识点03图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 【即学即练】 问题 小海家使用的是分时电表，按 平时段(6:00～22:00)和谷时段(22:00～次 日6:00)分别计费，且电费的单价谷时段比 平时段便宜0.31元.某月小海家平时段的 用电量是283千瓦时，谷时段的用电量是 127千瓦时，电费金额共计210.73元.求 分时电表平时段、谷时段每千瓦时的价格. 上月抄见数 本月抄见数 倍 率 用电量(千瓦时) 单 价( 1341 671 1624 798 1 283 127 本月电费金额 210.73 本月结转零头 0.00 本月应付电费大写 【分析】 根据题意，可列表如下： 时段 用电量/千瓦时 单价/元 金额/元 平时段 283 x 283x 谷时段 127 y 127y 由单价差额及总金额这两个等量关系，可以列出相应的二元一次方程组. 解 设分时电表平时段每千瓦时的价格是x元，谷时段每千瓦时的价格是y元 .根据题意，可得方程组 解之，得 答：分时电表平时段每千瓦时的价格是0.61元，谷时段每千瓦时的价格是0.3元. 题型01和差倍分及分配问题 【典例1】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【答案】(1)每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元 (2)40个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元，列出方程进行求解即可； （2）设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，根据该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元， 根据题意，列方程为：， 解得， ， 答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元． （2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位， 根据题意，列方程为：， 解得． 答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位． 【变式1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 【变式2】某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 【变式3】我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 【变式4】某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元 (2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， 答：A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆． 题型02行程问题、工程问题 【典例1】甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 【变式1】哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 【变式2】甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 【变式3】小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键． 设小敏步行所用的时间分别为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，根据小敏步行时的平均速度是每小时 4 千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时 12 千米，列出方程组，即可得到结论． 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 【变式4】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 【答案】 33 5 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再计算丙在A地植树的天数与在B地植树天数之差即可． 【详解】解：（1）设甲还需要x天完成， 由题意可得：， 解得， 即甲还需要33天， 故答案为：33； （2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天， ， 解得， ， 即丙在A地植树的天数比在B地少5天， 故答案为：5． 题型03图表信息问题 【典例1】某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 【变式1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【变式2】列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 【答案】(1)15 (2)该班级购买2个小黑板，1个拖把 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据倒计时墙贴金额可得：，然后进行计算即可解答； （2）设班级购买小黑板个，拖把个，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：15； （2）设班级购买小黑板个，拖把个， 由题意得：， 解得：， 答：该班级购买2个小黑板，1个拖把． 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式4】下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分． 排名 球队 胜场数 平场数 负场数 进球数 主场进球数 客场进球数 积分 1 A ？ ？ 1 13 8 5 13分 2 B 3 2 1 8 3 5 11分 3 C 3 1 2 9 x 5 10分 4 D 0 0 6 1 1 0 0分 备注 积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分 (1)表格中C队的主场进球数x的值为 ； (2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？ (3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？ 【答案】(1)4 (2)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分 (3)1850万元 【详解】设胜一场积m分，平一场积n分，根据题意，得   解得 即胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． （3）设A队胜a场，则平（6－a－1）场，根据题意，得 3a＋（6－a－1）＝13，解得a＝4 ∴A队一共能获奖金：1200＋150×4＋50×1＝1850（万元）． 答：在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得1850万元的奖金 题型04销售利润及方案选择问题 【典例1】商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【答案】(1)该商品的进价为元，定价为元 (2)选择方案一比较合算，比方案二节省元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是要根据定价、进价和利润的关系，找出等量关系正确解答． （1）根据“每件获利元”可得出：每件定价每件进价元；根据“定价的九折销售该商品件所获利润与将定价降低元销售该商品件所获利润相等”可得出等量关系：每件定价的九折每件进价（每件定价元）每件进价； （2）分别计算两种方案的费用，比较即可． 【详解】（1）解：设该商品的进价为元，定价为元， 根据题意得：， 解得： 答：该商品的进价为元，定价为元； （2）解：方案一：∵， ∴此时该商品的单价为：， ∴总费用为：（元）； 方案二：件中包含完整的“买四送一”组数：， 需支付的件数为：， ∴总费用为：（元）； ∵， ∴方案一更合算，节省金额为：（元）， 答：选择方案一比较合算，比方案二节省元． 【变式1】邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【变式2】为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 【答案】(1)打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元； (2)篮球和足球打8折出售． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元”列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元． 根据题意，得． 解得． 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）解：设篮球和足球打m折出售． 由题意，得． 解得． 答：篮球和足球打8折出售． 【变式3】骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【答案】(1)购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 (2)①坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒；②妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元．分，，三种情况分类讨论，分别根据优惠政策，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元） 超过700元，不超过1200元 ∴（元） 答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得： ， 解得， 答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒， ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元， 由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元， 说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元）， ， 当时，，解得：， 而，不符合题意； 当时，， 即， 解得：元， 妈妈支付元， 当时，无解； 答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【变式4】2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 题型05 数字问题 【典例1】一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【变式1】有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 【变式2】小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【答案】5和7/7或5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 【变式3】如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是 ． 【答案】42 【详解】解：设较大的数为x，较小的数为y， 由题意得：， 解得：， ∴xy＝14×3＝42， 故答案为：42． 【变式4】一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是 ． 【答案】58 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y=58． 故答案为：58． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型06几何图形问题 【典例1】利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设桌子的高度为，长方体的长为，宽为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出二元一次方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长为，宽为， 根据题意得：， 得：， ∴桌子的高度为 故答案为：． 【变式1】如图，长方形是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，则小正方形的边长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设，则，，再根据，建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设， 则，， 由题意得：，即， 解得， 所以小正方形的边长是， 故答案为：15． 【变式2】甲、乙两种无盖的长方体小盒如图1所示，它们的各个面是如图2的正方形或长方形的硬纸片．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ 【答案】甲小盒30个，乙小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键．设可以做成甲、乙小盒各个和y个，由题意可列方程组，再求解即可． 【详解】解：设可以做成甲、乙小盒各个， 根据题意得：， 解得， 则可以做成甲小盒30个，乙小盒60个． 【变式3】将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 【变式4】如图，在大长方形中，放入8个一样形状和大小的小长方形，则图中阴影部分面积为 平方厘米． 【答案】92 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据图中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求得小长方形的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得：， 解得， ∴图中阴影部分的面积为： （平方厘米）， 故答案为：92． 题型07古代问题 【典例1】《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系列式是关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为， 乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50， ∴， 甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50， ∴， ∴列出方程组是， 故答案为： ． 【变式1】我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 ． 【答案】、 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 【变式2】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人，辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 【变式3】我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 【答案】购买清酒2斗，醑酒3斗 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设购买清酒x斗，醑酒y斗，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设购买清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得： 解得： 答：购买清酒2斗，醑酒3斗． 【变式4】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 一、单选题 1．“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元”建立方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键． 2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，然后列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只， 由题意得： ，解得：． 所以蜻蜓和蝉的只数分别是3，4． 故选：A． 3．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．设乌鸦x只，树y棵．直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案． 【详解】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组： 故选：A． 4．为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 5．一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 6．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 二、填空题 7．地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它以同样的速度逆风飞行同样的航线需，则这架飞机在无风时的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了行程问题，设飞机无风时的速度为；平均风速为，根据顺风和逆风所需时间找出等量关系求解即可. 【详解】解：飞机无风时的速度为；平均风速为， 则 解得 无风时飞机的平均速度是 故答案为： ． 8．一个长方形的长减少厘米，宽增加厘米，就成为一个正方形，并且长方形的面积与正方形的面积相等，求这个长方形的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】根据题意，设长方形的长为厘米，宽为厘米，根据长方形的长减少厘米，宽增加厘米，就成为一个正方形，长方形的面积与正方形的面积相等的数量关系列方程组即可求解． 【详解】解：设长方形的长为厘米，宽为厘米， ∵长方形的长减少厘米，宽增加厘米，就成为一个正方形， ∴， ∵长方形的面积与正方形的面积相等， ∴， 联立方程组得， ，整理得，，解得，， ∴长方形的长为厘米，宽为厘米，则正方形的边长为（厘米）， ∴长方形的面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 9．某天早市上，何阿婆和李奶奶买了种类相同，但数量不同的蔬菜，已知何阿婆买了2千克西红柿和1.5千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元，则购买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费 元． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设西红柿和辣椒的单价分别为x元/千克和y元/千克，结合“买了2千克西红柿和1.5千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元”得然后解方程组，即可作答． 【详解】解：设西红柿和辣椒的单价分别为x元/千克和y元/千克，根据题意，得 解得 西红柿的单价为3元/千克，辣椒的单价为2元/千克， （元）． 即买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费11元． 10．某传媒公司为学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，宣传册的数量是展板数量的5倍．该公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示： 产品 展板 宣传示 横福 时间／小时 1 0.2 0.5 利润／元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，则制作这三种产品的总件数是 件． 【答案】70 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 故答案为：70 11．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是 km． 【答案】6.5 【分析】设单程在平路上用的时间是，依据题意，从甲地到乙地的上坡路程与从乙地到甲地的下坡路程相等，可得出等量关系，进而列出方程，从而解出方程并得出结论． 【详解】解：设单程在平路上用的时间是，则从甲地到乙地在上坡路上用的时间是，从乙地到甲地在下坡路上用的时间是． 根据题意，得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键． 12．如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形区域（图中阴影部分）种植鲜花，则种植鲜花区域的面积是 ． 【答案】750 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 设小长方形的为，宽为，根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ， 即种植鲜花区域的面积是， 故答案为：750． 三、解答题 13．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 【答案】大箱：24，小箱：10 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水，根据题意列出方程组并求解即可得到答案． 【详解】解：设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水， 依题意得， 解得． 答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水． 14．“五一”国际劳动节，某校决定组织甲乙两队参加义务劳动，并购买队服．下面是服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套 40～79套 80套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个队共75人（甲队人数不少于40人），如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题： （1）如果甲，乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？并说明理由． （2）甲、乙两队各有多少名学生？ 【答案】（1）甲、乙两队联合起来购买服装比各自购买服装最多可以节省350元；（2）甲队有40名学生，乙队有35名学生． 【分析】（1）根据题意易得当两队合买时，每套服装的价格为70元，然后求出合买所需的费用，进而问题可求解； （2）设甲队人数为x名，乙队人数为y名，由题意得，进而求解即可 【详解】解：（1）由题意得：当两队合买时，每套服装的价格为70元， ∴两队合买所需费用为70×75=5250（元）， ∴5600-5250=350（元）； 答：甲、乙两队联合起来购买服装比各自购买服装最多可以节省350元． （2）设甲队人数为x名，乙队人数为y名，由题意得： ， 解得：， 答：甲队有40名学生，乙队有35名学生． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 15．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 16．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 17．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； (2)小无人机实行九折优惠； (3)①；②这两天总营收的最小值为18840元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． 【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 18．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年 11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共 10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元． （1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？ （2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%， 12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？ 每瓶用量    饮料 甲 乙 （单位：千克） 0.9 0.2 （单位：千克） 0.8 0.4 （3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种 饮料的优惠方案分别如表2、表3． 某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？ 一次性购买甲饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500 所购饮料全部按九折优惠 超过500 所购饮料全部按八折优惠 一次性购买乙饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500的部分 不享受优惠方案 超过500但未超过1000部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 【答案】（1）甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶；（2）4800瓶；（3）11730元 【分析】（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶，根据“去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，且去年11月份的销售额为7.1万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶，根据12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶，分0＜a≤500及500＜a＜1000两种情况考虑，根据饮料厂给出的优惠政策及两次实际共付给饮料厂11470元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，再利用获得的利润=销售总额-进货成本，即可求出结论． 【详解】解：（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：去年11月份饮料厂售出甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶． （2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶， 依题意得：12×3000×（1+40%）+5m-（0.9×4+0.8×3）×3000×（1+40%）-（0.2×4+0.4×3）×[3000（1+40%）+m]=31200， 整理得：3m-14400=0， 解得：m=4800． 答：去年12月份饮料厂实际售出乙饮料4800瓶． （3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶． 当0＜a≤500时，12×0.9a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470， 解得：a=400； 当500＜a＜1000时，12×0.8a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470， 解得：a=485（不合题意，舍去）． ∴18a+10（2000-a）-11470=11730（元）． 答：超市可赚11730元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 1/37 学科网（北京）股份有限公司 $