16.2 二次根式的运算（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

初中数学 八年级下册·（HK版）·安徽专版 第16章　二次根式 16.2　二次根式的运算 题型1　分子、分母有理化求值 阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积 不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式. 例如： 的有理化因式是 ；2＋ 的有理化因式是2－ . 上一页 下一页 （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是 把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那 么通常将分子、分母同乘一个二次根式，达到化去分母中根号 的目的. 例如： ＝ ＝ ； ＝ ＝2－ . （1）2 的有理化因式是 　 （答案不唯一）　（写出一个 即可）；a＋ 的有理化因式是 　a－ 　. （答案不唯一）　 a－ 　 上一页 下一页 （2）把 分母有理化. 解：（2） ＝ ＝ ＝ ＝ －2－ . 上一页 下一页 （3）化简： ＋ ＋…＋ ＋ . 解：（3）原式＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＝ －1＋ － ＋…＋ － ＋ － ＝－1＋ ＝－1＋4＝3. 上一页 下一页 拔高题 【变式1】【一题多解】比较 与 的大小. 上一页 下一页 解：解法1： ＝ ＝ ＋ ， ＝ ＝ ＋ . ∵2 025＞2 024＞2 023，∴ ＞ ＞ ， ∴ ＋ ＞ ＋ ， ∴ ＞ . 上一页 下一页 解法2： － ＝ ＋ － （ ＋ ）＝ － . ∵2 025＞2 023，∴ ＞ ，即 － ＞0， ∴ ＞ . 上一页 下一页 拔高题 【变式2】计算： ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n≥2且n为整数）. 解：原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2（ －1）＋2（ － ）＋2（2－ ）＋2（ －2） ＋…＋2（ － ）＝2（ －1＋ － ＋2－ ＋ －2＋…＋ － ）＝2（－1＋ ）＝2 －2. 上一页 下一页 【变式3】已知有理数a，b满足 ＋ ＝－1＋2 ，求 a，b的值. 解：∵ ＋ ＝ ＋ ＝ a－a＋ b＝ －a＋（a＋ ） ＝－1＋2 ， ∴ 解得 上一页 下一页 压轴题 【变式4】（2025·淮南月考）我们知道，把分母中的根号化去 就是分母有理化.类似地，把分子中的根号化去就是分子有理 化.例如： － ＝ ＝ .分子有理化 可以用来比较某些二次根式的大小，如比较 － 和 － 的大小，可以先将它们分子有理化： － ＝ ， － ＝ .因为 ＋ ＞ ＋ ，所以 － ＜ － . 上一页 下一页 请根据上述材料，解决下列问题： （1）对下列各式进行分子有理化： ① － ＝ 　 　；② － ＝ 　 　. （2）比较 － 和 －3的大小. 解：（2） － ＝ ， －3＝ .∵ ＋ ＞ ＋3，∴ － ＜ －3. 　 　 上一页 下一页 （3）将式子 － 分子有理化的结果 为 　 　，该式子的最大值为 　 　. 　 　 解：（3） － ＝ .∵x－1≥0且x＋ 1≥0，∴x≥1，∴x的最小值为1. ∵ ＋ 越小， 越大，∴当x＝1时， 的值最大，最大值为 ＝ ，即 － 的最大值为 .故答案为 ； . 上一页 下一页 题型2　利用乘法公式进行复合二次根式化简 数学上有一种根号内又带根号的数，叫做复合二次根式，它 们能通过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2及二次根式 的基本性质 ＝｜a｜化去一层根号.例如： ＝ ＝ ＝ ＝｜1＋ ｜＝1＋ . 根据上述材料，解决下列问题： 上一页 下一页 （1）在括号内填上适当的数： ＝ ＝ ＝ ＝ （　｜1＋ ｜　）＝（　1＋ 　）. （2）计算： . 解：（2） ＝ ＝ ＝ ＝｜2－ ｜＝ －2. ｜1＋ ｜ 1＋ 上一页 下一页 拔高题 【变式1】已知a，b为有理数，且满足a＋b ＝ ，则a－b＝（　D　） A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 【变式2】【一题多解】计算： ＋ . 解：解法1：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝（ －1）＋（ ＋1）＝2 . D 上一页 下一页 解法2：令x＝ ＋ ， 则x2＝（ ＋ ）2＝6－2 ＋ 2 ＋6＋2 ＝12＋2 ＝12＋8 ＝20，∴x＝±2 . ∵ ＋ ＞0，∴x＞0，∴x＝2 . 上一页 下一页 【变式3】计算： ＋ ＋ ＋… ＋ . 解：原式＝ ＋ ＋…＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ －1＋ － ＋2－ ＋…＋ － ＝－1＋ ＝－1＋10 ＝9. 上一页 下一页 压轴题 【变式4】计算：（1） ＝ 　 　； 　 【解析】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 故答案为 . 上一页 下一页 （2） ＝ 　 ＋ 　. ＋ 　 【解析】（2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ .故 答案为 ＋ . 上一页 下一页 谢谢观看 $