第16章 二次根式(重难题思维训练)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

第16章二次根式 16.2二次根式的运算 题型1分子、分母有理化求值 例阅读下列材料，然后回答问题： (1)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代 数式相互叫作有理化因式. 例如：√2的有理化因式是√2；2+√m的有理化因式是2一√m. (ⅱ)分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如 果二次根式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘一个二次根式，达到化去分母中根 号的目的. 例如：1=1×3-32 2(2-10=2-2. √3√3×33'2+1(2+1)(W2-1) (1)25的有理化因式是 (写出一个即可)；a十√3的有理化因式是 (2)把5+2分母有理化. 2-√6 (3)化简： 1 1 1 十十 2+1√3+√2√15+√/14√16+√/15 拔⊙【变式1】【一题多解】比较。 1 与 1 的大小. 2025-√2024√2024-√2023 高 题 第16章二次根式1 拔⊙ 2十 2十2十2十…+2 高 【变式2】计算2十1十5十2计5+2m+m可 (n≥2且n为整 题 数) 【变式3】已知有理数a,b满足0，十么--1+22，求4,6的值 √2+1√2 压⊙【变式4】(2025·准南月考)我们知道，把分母中的根号化去就是分母有理化.类似地，把 轴 分子中的根号化去就是分子有理化.例如：7一6= (7-√6)(W7+√6) 1 题 .分 √7+√6 √7+√6 子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，如比较√7一√6和√6一√5的大小，可以先 将它们分子有理化w7-6方65-5-65因为7+后>65，所以 7-√6<6-√5 请根据上述材料，解决下列问题： (1)对下列各式进行分子有理化： ①3-√2= ;②5-√3= (2)比较√13一√11和√11-3的大小. (3)将式子√x+1一√x一1分子有理化的结果为 ,该式子的最大 值为 2数学8年级下册HK版 题型2利用乘法公式进行复合二次根式化简 例数学上有一种根号内又带根号的数，叫作复合二次根式，它们能通过完全平方公式（α士 b)2=a2士2ab十b2及二次根式的基本性质√a2=|a化去一层根号.例如： W3+2√2=√/3+2X1X2=√/12+(W2)2+2×1X√2=√(1+√2)2=|1+√2|=1+√2 根据上述材料，解决下列问题： (1)在括号内填上适当的数： √W4+2√3=√4+2×1×3=√()2+()2+2×1×√3=√()=( )= ( ). (2)计算√9-4√5. 拔【变式1】已知a,b为有理数，且满足a十b√3=√12一6√3，则a一b= () 高 A.-2 B.-4 C.2 D.4 题 【变式2】【一题多解】计算：W6一25+√6+2√5. 【变式3】计算：W3-2√2+√5-2√6+√7-4√3+…+√199-60√/11. 4-7- 压⊙【变式4】计算：(1D2 ;(2)W/2025+√2024= 轴 题 第16章二次根式3重难题思维训练 第16章二次根式 16.2二次根式的运算 题型1分子、分母有理化求值 【例】(1)5（答案不唯-）a-√3(2)-2-√3(3)3 【变式1】解：解法1：2025-√2024 1 √2025+√2024 (√/2025-√/2024)（√/2025+√J2024) =√2025+√2024， 1 √2024-√2023 √/2024+√/2023 (/2024-√/2023)（√/2024+√/2023） =√2024+√2023. .2025>2024>2023, ∴./2025>2024>√/2023， ∴.√2025+√2024>√2024+√2023， 1 1 √2025-√2024√/2024-√/20231 解法2：V2025-2024V2024-/202丽 =√/2025+√/2024-（√2024+√2023） =√/2025-/2023. .2025>2023, ∴.√/2025>√2023，即√2025-√2023>0， 1 1 √/2025-√2024√/2024-√/2023 【变式2】2m-2【变式3】a=1,b=2 【废式4】a0g十柜@后万 2 (2)√/13-1I<I-3(3) 2 √x+I+√x-I 题型2利用乘法公式进行复合二次根式化简 【例】(1)1√31+√311十311+3(2)5-2 【变式1】D 【变式2】解：解法1：原式=√12+(W5)2-2×1×√5十 √12+（√5）2+2×1×5=W√(1-√5)2+W√(1+√5)2= (5-1)+(w5+1)=2/5. 解法2：令x=√6-25+√6+25， 则x2=(W√6-25+√6十25)2 =6-25+2√(6-25)(6+25)+6+25 =12+2√36-20=12+8=20， ∴.x=±2√5. :√6-2√5+√W6+25>0, ∴.x>0,.x=2√5 【变式3】9【变式4)，1(2)/2s+2四 2 第17章一元二次方程及其应用 17.2一元二次方程的解法 题型3解较复杂的一元二次方程 1.(1)x1=3,x2=4(2)x1=√3，x2=-√3 (3)x1=1十√7，x2=1-7,x3=x4=1(4)x=3 1 (5)x1=2,x:=2 2.解：(1)x1=m十1，x2=1 (2)①当m=0时，原方程化为一2x=0,∴.x=0. ②当m≠0时， 解法1：原方程可化为(mx一2)(x一3m)=0, 2 x1=元x=3m. 解法2：原方程可化为mx2一3m2x一2x十6m=0, 即mx(x-3m)-2(x-3m)=0, 六(mx-2)(x-3m)=0,1= m,x2=3m. 2 综上所述，当m=0时，x=0;当m≠0时，x1= x2=3m. 3.x=-2或x=一5或x=一7 4.解：解法1：原方程可化为(4x2十4y2十8xy)+(x2一2x十 1)+(y2+2y+1)=0, 即4(x十y)2+(x-1)2+(y十1)2=0. 根据非负数的性质，得x十y=0,x一1=0，y十1=0， 解得x=1,y=-1. 解法2：原方程可化为5x2十(8y一2)x十5y2十2y+2=0. 方程有实数根， ∴.b2-4ac=(8y-2)2-20(5y2+2y+2)≥0. 整理，得y2十2y十1≤0，即(y十1)2≤0， .y=-1. 把y=-1代入原方程，得5x2-10x+5=0, 解得x1=x2=1,.x=1,y=-1. 17.3一元二次方程根的判别式 题型4新定义下的一元二次方程 【例】-12或-3【变式1】(1)②④(2)0或2 【变式2】-1或-5 【变式3】解：(1)y2-y-2=0(2)3y2-7y+2=0 (3)解法1：将ay2一(2a一b)y十a一b十c=0整理后可得 a(y-1)2+b(y-1)+c=0. 令y一1=x,则y=x十1， ∴.方程a(y一1)2十b(y一1)十c=0的两个实数根分别比 a.x2十bz十c=0(a≠0)的两个实数根大1， .方程ay2-(2a-b)y十a-b十c=0的两个实数根分别 是4，一1. 解法2：将x=3,x=一2分别代入ax2+bx十c=0,得 9a+3b+c=0,4a-2b+c=0, 化简，得b=一a,c=一6a. 将b=-a,c=-6a代入ay2-(2a-b)y+a-b+c=0, 得ay2-3ay-4a=0, 分解因式，得a(y十1)(y-4)=0. a≠0，y1=-1,y2=4, .方程ay2-(2a-b)y十a-b十c=0的两个实数根分别 55·