23.3 第1课时 矩形（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的定义、性质与判定，通过复习平行四边形性质及生活实例提问，引导学生从内角变化切入，构建新旧知识联系的学习支架，自然过渡到矩形概念。 其亮点在于以探究式教学引导推理，如通过证明矩形对角线相等培养推理能力，结合典例与变式练习强化几何直观，课堂小结系统梳理知识。助力学生发展数学思维，教师可高效备课提升教学效果。

23.3 第1课时矩形 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 理解矩形的概念、矩形与平行四边形的区别与联系； 理解矩形的性质与判定； 3 综合运用矩形的判定、性质进行计算、推理、证明． 复习引入 矩形 提问： 1.什么叫平行四边形？它有哪些性质？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 对边相等； 对角相等； 对角线互相平分. 2.学校伸缩门结构、晾衣架的支架为什么常设计成平行四边形？ 平行四边形具有不稳定性 3.平行四边形的不稳定性是指当它的边长确定时，__________的大小不确定. 内角 4.当平行四边形的一个内角变成90 矩形 探究新知 矩形的定义 所以∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°, 所以 AD//BC,AB//CD, 即矩形ABCD必然是平行四边形. 定 义 性 质 判 定 定义：四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图在矩形ABCD中，由矩形的定义， 可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 根据定义，矩形是平行四边形吗？为什么？ 所以，矩形是一种特殊的平行四边形.它拥有平行四边形的所有性质. 矩形具有平行四边形的性质：对边相等； 对角相等； 对角线互相平分. 矩形是一种特殊的平行四边形.它还拥有哪些特殊的性质呢？ 学习流程 探究新知 矩形的性质 通过观察，我们发现矩形的对角线相等，怎样证明呢？ 已知：四边形ABCD是一个矩形，AC、BD是它的对角线. 求证：AC=BD. 证明：因为矩形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1,得 AB=DC. 又因为∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB, 所以△ABC≌△DCB（SAS）. 所以AC=BD. 归纳 我们仍然可以从边、角和对角线来研究矩形的性质. 矩形的性质定理： 矩形的两条对角线相等. 问题 探究 应用 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD， ∵四边形ABCD是平行四边形形，∴AO=CO,BO=DO ∴AO=CO=B0=DO 【分析】要证AC=BD，关键证明△ABC≌△DCB. 探究新知 矩形的性质 归纳:矩形是中心对称图形，其两条对角线的交点是对称中心. 我们知道平行四边形对角线互相平分所以它是中心对称图形，矩形呢？ 思考:我们知道平行四边形不是轴对称图形，那么矩形是轴对称图形吗? 如果是，请找出其对称轴. 归纳:矩形也是轴对称图形，对称轴是任意一条边的垂直平分线. 典例分析 矩形的性质 例1 如图,矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O, 且∠AOD=120°,AB=4cm. 求AC 、BD 的长. 解：∵ 四 边 形ABCD 是一个矩形， ∴AC=BD ( ). ∵四边形ABCD 是一个平行四边形， ∴AO=CO=AC，BO=DO=BD( ) ∴OA=OB. ∴∠ABO=∠BAO. ∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=60° . ∴△AOB是一个等边三角形. ∴AO=AB=4(cm). ∴AC=BD=2AO=8(cm). 【分析】矩形ABCD中，△OAB是个等腰三角形，增加一个60゜角的条件就会出现一个等边三角形. 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.性质定理：矩形的两条对角线相等； 3.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形. 归纳：矩形的性质 矩形的两条对角线相等 平行四边形的对角线互相平分 变式练习 矩形的性质 1.如图,矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O, AE⏊BD于点E，且BE=OE，AB=1cm. 求AD 的长. 解：∵四边形ABCD是一个矩形， ∴AC=BD ∠BAD=90゜ ( ). ∵四边形ABCD 是一个平行四边形， ∴AO=CO=AC，BO=DO=BD( ) ∴OA=OB. ∵AE⏊BD,BE=OE ∴AO=AB=1(cm).( ) ∴△AOB是一个等边三角形. ∴AC=BD=2(cm). ∴AD=(cm). 矩形的两条对角线相等 平行四边形的对角线互相平分 线段垂直平分线上的一点到线段两个端点距离相等 探究新知 定义法 判定定理 定义：四个内角均为直角的四边形叫作矩形. 那么对于平行四边形而言， 有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢? 有一个内角是直角的平行四边形是矩形.   四个直角 如何证明呢？  矩形的判定 探究新知 已知：如图,在平行四边形ABCD中,∠B=90° 求证：平行四边形ABCD是一个矩形. 证明：因为四边形ABCD是一个平行四边形，由 平行四边形的性质定理2,得∠A=∠C ,∠B=∠D. 由多边形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C+∠D=360°, 又因为∠ B=90°, 所以∠D=90°,2∠A=180°. 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90° . 由矩形的定义，得平行四边形ABCD是一个矩形. 矩形的判定 判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.   典例分析 矩形的判定 例2 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⏊AB于点E，点F在边CD上，且AE=CF． 求证：四边形DEBF是矩形； 【证明】∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB//CD ∵AE=CF， ∴AB-AE=CD-CF ∴BE=DF ∴四边形DEBF是平行四边形( ) ∵DE⏊AB, ∴∠DEB=90° ∴▱DEBF是矩形（ ）. 【分析】判定矩形有两种方法， 一是根据定义；二是根据判定定理1. 由题意可知四边形DEBF有一个角是直角，所以只要证明它还是个_______________即可证得它是矩形. 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 变式练习 矩形的判定 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD⏊AD于点D，过O作OE//AD，交AC于点E，过E作EF//BD，交BC于点F． 求证：四边形EOBF是矩形； 【证明】∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC ( ) ∵OE//AD ∴OE//BC ( ) ∵EF//BD ∴四边形EOBF是平行四边形（ ） ∵BD⏊AD, ∴BD⏊BC ∴▱EOBF是矩形（ ）. 【点睛】证明一个四边形是矩形，通常分两步走:先证它是一个平行四边形，再证它有一个内角是直角. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 平行四边形的定义 平行于同一直线的两直线平行 平行四边形的定义 探究新知 矩形的判定 性质定理：矩形的两条对角线相等.   性 质 判 定 互逆命题 逆命题：两条对角线相等的_____________是矩形.   四边形？ 平行四边形？ 探究新知 矩形的判定 思考：下列说法正确吗？如果正确请说明理由，如果不正确请举个反例. 1.对角线相等的四边形是矩形.  2.对角线相等的平行四边形是矩形.  【答案】正确 【归纳】矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD. 求证：平行四边形ABCD是一个矩形. 【分析】因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1,得AB=DC. 易证△ABC≌△DCB. 所以∠ABC=∠DCB. 易证∠ABC=90° . 依据矩形的判定定理1可知▱ABCD是一个矩形. 【答案】错误，举个反例：等腰梯形 典例分析 矩形的判定 例3 如图，已知：矩形ABCD的对角线AC 、BD 相 交于点0，点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形 EFGH是一个矩形. 【证明】∵ 四边形ABCD 是一个矩形， ∴ AC=BD ( ). ∵ 四边形ABCD 是一个平行四边形， ∴ OA=OC=OB=OD. 又∵ AE=BF=CG=DH, ∴ OE=OF=OG=OH. ∴ 四 边 形 EFGH 是一个平行四边形( ). ∵ EO+OG=FO+OH, ∴ EG=FH. ∴平行四边形 EFGH 是一个矩形( ） 【分析】根据已知条件，可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线相等. 矩形的两条对角线相等 对角线互相平分的四边形是平行 四边形 对角线相等的平行四边形是矩形 变式练习 矩形的判定 3.工人师傅在做矩形门窗或零件时，不仅要测量两组对边是否分别相等，常常还要测量它们的两条对 角线是否相等，以确保图形是矩形，请说明理由. 答：测量对边是否相等是为了验证门窗的边框是否为平行四边形； 如果对角线相等，根据矩形的判定定理2就能判定门窗外框是矩形，就能判定门窗是否合乎要求. 拓展提升 矩形的翻折 例4 将矩形ABOC按如图方式放置在平面直角坐标系中，AB=4，AO=8，若将其沿着对角线BO对折后，点A的对应点为A′，OA′与BC交于点D，则点D的坐标为( ) 答：根据平行线的性质得到∠DBO=∠AOB，由折叠的性质得到∠AOB=DOB，所以∠DBO=∠DOB， 所以△DBO是等腰三角形， 设DB=DO=x，根据勾股定理 可得方程 即可求得x=5 所以D（－３，４） 总结：矩形的翻折题目关键是要能发现重叠部分是个等腰三角形. 课堂小结 当场反馈 矩形的判定 1.下列说法中，正确的是( )。 (A)对角线相等的四边形是矩形; (B)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (C)对角线垂直的四边形是矩形; (D)对角线相等且垂直的四边形是矩形 答：选B. 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形. 当场反馈 矩形的判定 2. 已知一个矩形的一条对角线长为8cm, 两条对角线的夹角是60°.求这个矩形相邻两边的长. 答：4和4 当场反馈 矩形的判定 3. 如图，已知：BF、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE,AF⊥BF,垂足分别为E、F. 求证：四边形AEBF是一个矩形. 【分析】先证∠EBF=90゜，用矩形的定义来证明. 【点睛】已知三个内角是直角就能判定一个四边形是矩形. 当场反馈 矩形的判定 4. 如图，AD和BC相交于点O，且∠ABO=∠DCO=90゜，∠A=30゜，BO=CO，E、F 分别是AO、DO的中点 求证：四边形BECF是矩形 【分析】先证△ABO≌DCO得到AO=DO 所以可得到EO=FO，从而可由对角线互相平分证得四边形BECF为平行四边形; 由∠A=30，可证BO=,从而可证对角线BC＝EF， 所以根据矩形的判定定理2可证得四边形BECF为矩形. 当场反馈 矩形的判定 5. 如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为 ． 分析：先由折叠的性质得到AO=CO,AF=CF 设AF=CF=x. 所以BF=8-x 由勾股定理列方程 解之得x=5 所以BF=3 所以=3 感谢聆听！ $