1.4 第2课时线段垂直平分线的应用（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

.△AED≌△BED(AAS) 证法2：.∠C=90°，∠B=30°，∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD-2∠BAC=30, ∴.∠EAD=∠B,∴.DA=DB. 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90°. 在R△AED布R△BED中，DE=DE, (DA=DB, ∴.Rt△AED≌Rt△BED(HL). 证法3：在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°， ∴.AB=2AC. AC-AE.AB-2AEAE-TAB-BE. ,点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴∠AED=∠BED=90°. (AE=BE, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE. ∴.△AED≌△BED(SAS). (3)按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形， 里由：当∠B≠80时，∠B≠2∠BAC ∠EAD=∠CAD=2BAC,∠EAD≠Z ∴.△AED与△BED不全等， 按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.C3.C4.D5.26.c 7.证明：PA⊥OM,PB⊥ON,.∠PAO=∠PBO=90° .OP=OP,PA=PB, ∴.Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),.OA=OB, ∴.点O,P均在AB的垂直平分线上， .OP是AB的垂直平分线. 8.c9.D10.15√2+6 11.解：如图，点D即为所求 B 12.解：(1)证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°. 又，AD=AD,'.Rt△AED≌Rt△AFD(AAS), ∴.AE=AF,DE=DF,∴·点A,D都在EF的垂直平分线 上，∴AD垂直平分EF. 13.解：(1)选择一种回答即可. ·答 ①选择小鹏同学的解题思路 如题图2，在BC上截取BE=BD,连接AE, AB⊥CD,∴直线AB是线段DE的垂直平分线， .AE=AD,.∠AED=∠D. '∠D=2∠C,∴∠AED=2∠C. '∠AED=∠C+∠EAC, ∴∠EAC=∠C,AE=EC,∴.AD=EC .BC=EC+BE,..BC=AD+BD ②选择小亮同学的解题思路. 如题图3，作AC的垂直平分线，分别与AC,CD交于F,E 两点，连接AE. :EF是AC的垂直平分线， .AE=EC,∴.∠EAC=∠C. :∠AED=∠C+∠EAC,∴.∠AED=2∠C. :∠D=2∠C,∠AED=∠D, .AE=AD,∴.EC=AD. AB⊥CD,∴.BD=BE .'BC=EC+BE,'.BC=AD+BD. (2)解法1：如图，过点A作AE∥ BD,交CB的延长线于点E. :AD∥BC,.∠DAB=∠ABE AE∥BD,∠EAB=∠DBA. 又，AB=AB,∴.△ABE≌△BAD(ASA), .AE=BD,∠ADB=∠E,BE=AD. 如图，在BC上截取BF=BE,连接AF,则BF=AD. :∠ABC=90°，∴直线AB是线段EF的垂直平分线， ∴AE=AF,∠AFE=∠E,∠AFE=∠ADB. :∠ADB=2∠C,∠AFE=2∠C .∠AFE=∠C+∠FAC, .∠C+∠FAC=2∠C, ∠FAC=∠C,.AF=FC,∴FC=BD .BC=BF+FC,..BC=AD+BD. 解法2：如图，作AC的垂直平分线，分别交AC,BC于点 G,K,连接AK. GK垂直平分AC,AK=CK, .∠KAC=∠C,∴∠AKB=2∠C. ∠ADB=2∠C,∠ADB=∠AKB. ∠ABC=90°，AD∥BC, ∴.∠DAB=∠KBA=90 又，AB=BA,∴.△DAB≌△KBA(AAS) ..BD=AK=CK,AD=BK, ∴.BC=BK+CK=AD+BD 第2课时线段垂直平分线的应用 1.①③②④ 2.解：如图，①连接AB,AC; ②分别作线段AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线相 交于点P,点P即为售票中心的位置 A摩天轮 海盗船卫 碰碰车 案3· 3.解：如图，△ABC即为所求 4.C5.B6.B7.10【变式】80°8.C9.50 10.解：(1)DE⊥DP.理由如下： PD=PA,.∠A=∠PDA. EF是BD的垂直平分线， ∴EB=ED,.∠B=∠EDB .∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°，∴.∠PDA+∠EDB=90°， ∠PDE=180°-90°=90°，.DE⊥DP. (2)4.75 变式微专题2双垂直平分线模型 【例】40°【变式1】13【变式2】135°【变式3】20 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.C【变式】22.83.1【变式1】6cm【变式2】5 4.证明：：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, ∴.DC=DE 在R△CDF和RAEDB中，DC=DE, (DF=DB, ∴.Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),.CF=EB 5.D6.37.3 8.证明：D是边BC的中点，.BD=CD .'DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90 又BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴.DE=DF, AD是△ABC的角平分线. 9.B10.A 11.解：(1)证明：如图，过，点M作ME⊥AD 于点E. :DM平分∠ADC,∠C=90°，ME⊥AD, ∴.MC=ME. :M为BC的中点，∴BM=MC=ME, 又：∠B=90°，AM平分∠DAB. (2)AM⊥DM.证明略 12.解：(1)证明：如图1，过点D作DE⊥AB于点E. :AD为∠BAC的平分线，∠C=90°，DE=DC. 在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,DC=DE, ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.AC=AE '∠ACB=2∠B,∠ACB=∠BED=90°， ∠B=∠EDB=45°，∴.BE=DE=DC, ∴.AB=AE+BE=AC+CD 图1 图2 (2)AB=AC+CD. (3)AB=CD-AC. 证明：如图2，在AF上截取AG=AC,连接GD. ·答 'AD为∠FAC的平分线，.∠GAD=∠CAD. 又AD=AD,∴△AGD≌△ACD(SAS), ∴.GD=CD,∠AGD=∠ACD, 即∠ACB=∠FGD. ,'∠ACB=2∠B,∴.∠FGD=2∠B 又：∠FGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB, .BG=DG=DC,..AB=BG-AG=CD-AC 第2课时角平分线的应用 1.c2.10 3.解：(1)证明：如图，连接AD. AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD平分∠BAC .DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF.B (2)100° 4.c5.A6.2 7.解：如图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P 即为小亭的位置， 8.C9.D【变式】110.135 11.证明：如图，过，点P作PF⊥BC,交 BC于点F ,PB=PC,∠BPC=120°， D ∴∠PBC=∠PCB=30°. PD⊥AB,PE⊥AC,点P在∠A的 平分线上，PD=PE 在R△PDB和RAPEC中，PD=PE, (PB=PC, ∴.Rt△PDB≌Rt△PEC(HL),.∠PBD=∠PCE :∠A=60°，∠PBC=∠PCB=30, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠PBD=∠PCE=30°，∴.∠PBD=∠PBF ∠PDB=∠PFB, 在△PDB和△PFB中， ∠PBD=∠PBF, BP=BP, ∴.△PDB≌△PFB(AAS),∴.BD=BF 同理可得，△PEC≌△PFC(AAS),∴.CE=CF .BC=BF+CF,.'.BC=BD+CE. 12.解：(1)角平分线上的，点到这个角的两边的距离相等 在一个角的内部，到角的两边距离相等的，点在这个角的平 分线上 (2)相等(3)2（a+b+e)r ☆问题解决策略：反思 【例1】解：AB=ACBE=CD 证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB ,BE和CD是△ABC的角平分线， ÷∠EBC=号∠ABC,∠BCD=号∠ACB, ∠EBC=∠DCB. 案4·第2课时线段 A知识分点练 夺基础 知识点1利用线段垂直平分线的性质尺规作图 1.如图，已知直线AB和AB外一点C,用尺规作 AB的垂线，使它经过点C.有以下步骤： ①任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁； ②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的 长为半径作弧，两弧相交于点F; ③以点C为圆心，以CK的长为半径作弧，交 AB于点D,E; ④作直线CF,直线CF就是所求作的垂线. 上述步骤正确的顺序是 .(填序号) -R 2【新情境·生活情境】某公园有海盗船、摩天轮 碰碰车三个娱乐项目，三个娱乐项目的位置如 图所示，现要在公园内建一个售票中心，使得 三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相 等，请在图中确定售票中心的位置. ·摩天轮 海盗船 ·碰碰车 3.如图，已知线段a,直线1及l外一点A. 求作：等腰三角形ABC,使底边BC在直线L 上，且BC=a.(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) 22数学8年级下册BS版 直平分线的应用 知识点2三角形三条边的垂直平分线 4.如图，兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎 狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等， 则猎狗应蹲守在△ABC () A.三条边的中线的交点 B.三条边的高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三个角的平分线的交点 B 第4题图 第5题图 5.在由小正方形组成的网格中，△ABC的位置如 图所示，且顶点均在格点（网格线的交点）上.在 △ABC的内部有E,F,G,H四个格点，其中 到△ABC三个顶点距离相等的点是 () A.点E B.点F C.点G D.点H 6.(教材P36例2变式)如图，已知在△ABC中，边 AB,BC的垂直平分线交于点P,则下列结论 一定成立的有 () ①PA=PB=PC; ②点P在AC的垂直平分线上； ③∠BAP=∠CAP A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 第6题图 第7题图 7.如图，直线l与m分别是△ABC的边AC,BC 的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D,E. 若AB=10,则△CDE的周长为 [变式]在第7题中，若∠A=20°，∠B=30°， 则∠DCE的度数为 B能力综合练 练思维、 (1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由； (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE 8.等腰三角形的底角为35°，两腰的垂直平分线 的长. 交于点P,则 () A点P在三角形内 B.点P在三角形底边上 C.点P在三角形外 D,点P的位置与三角形的边长有关 9.如图，在△ABC中，DE,DF分别垂直平分边 AC,BC,连接AD,BD,CD.若∠ACB=40°，则 ∠BAD的度数为 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上 运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相 等，BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于 点F,连接DE 变式微专题2双垂直平分线模型 方法指导如图，在△ABC中，∠BAC=a,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,E,边AC的 垂直平分线分别交AC,BC于点N,F,则∠EAF=2a-180°或180°-2a. E B ∠EAF=2a-180° ∠EAF=180°-2a 例 如图，在△ABC中，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数 是 B D 例题图 变式1题图 变式2题图 变式3题图 变式1如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,连接AD, AE.若∠B十∠C=45°，BD=12,CE=5,则DE= 变式2如图，在钝角三角形ABC中，已知∠A为钝角，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E 若BD2+CE2=DE2,则∠A的度数为 变式3如图，在△ABC中，DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交 AC,BC于点M,N.若∠BAC=80°，则∠EAN的度数为 第一章三角形的证明及其应用23