1.4 第1课时线段垂直平分线的性质与判定（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 A知识分点练 夯基础 知识点2线段垂直平分线的判定 6.如图，已知AC=AD,BC=BD,则下列选项正 知识点1线段垂直平分线的性质 确的是 ( 1.如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线交 A.CD平分∠ACB 边AC于点E,交边AB于点D.若AC= B.CD垂直平分AB 14cm,BE=8cm,则EC的长为 () C.AB垂直平分CD A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm D.CD与AB互相垂直平分 7.如图，P为∠MON内一点，PA⊥OM于点A, PB⊥ON于点B,连接AB交OP于点E, PA=PB.求证：OP是AB的垂直平分线. D 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD, 垂足为E,则下列结论不一定成立的是( A.AB-AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.∧BECC2∧DEC 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=42°，DE 垂直平分AC,则∠BCD的度数为 () B能力综合练 练思维 8.如图，在Rt△ABC中，分别以点A和点B为圆 心，大于2AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD若 A.23° B.25° C.27 D.29° ∠DAB=2∠DAC,则∠B的度数是() 4.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点， A.18° B.30° C.36° D.54° AC=AD,EF为线段BD的垂直平分线.若 AB=9,AC=7,则△ADE的周长为() A.22 B.20 C.18 D.16 \D 米M C 第8题图 第9题图 E 第4题图 第5题图 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3, 5.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线. AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线 若△ABD的周长为10，AB=4,且CD 于点E,则DE的长为 () 2AD,则AD= 15 > B号 c 20数学8年级下册BS版 10.(2025·西安高新一中期末)如图，等腰三角形 C拓展探究练 提素养 ABC的底边BC=18,面积为189，点F在边 13.[问题初探]在数学课上，李老师给出如下问题： BC上，且CF=2BF,EG是腰AB的垂直平 如图1，在△ACD中，∠D=2∠C,AB⊥CD,垂 分线.若点D在EG上运动，则△BDF周长的 足为B,且BC>AB.求证：BC=AD+BD 最小值为 (1)①如图2，小鹏同学从结论的角度出发，给 出如下解题思路：在BC上截取BE=BD,连 接AE,将线段BC与AD,BD之间的数量关 系转化为BC与CE,BE之间的数量关系， ②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出 11.如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在边 发，给出另一种解题思路：作AC的垂直平分 AB上求作一点D,连接CD,使得△BCD的 线，分别与AC,CD交于F,E两点，连接AE, 周长等于AB十BC.(保留作图痕迹，不写作 将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的 法) 数量关系。 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程。 [类比分析]李老师发现之前两名同学都运用 了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证 明两条线段的关系.为了帮助同学们更好地感 悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了 下面的问题，请你解答. 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥ (2)【一题多解】如图4，在Rt△ABC中， AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF,交 ∠ABC=90°，过点A作AD∥BC(点D与点 AD于点O. C在AB同侧).若∠ADB=2∠C,求证：BC= (1)求证：AD垂直平分EF; AD+BD. (2)若∠BAC=60°，AD=5,求线段OD的长， 图3 图4 第一章三角形的证明及其应用21.△AED≌△BED(AAS) 证法2：.∠C=90°，∠B=30°，∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD-2∠BAC=30, ∴.∠EAD=∠B,∴.DA=DB. 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90°. 在R△AED布R△BED中，DE=DE, (DA=DB, ∴.Rt△AED≌Rt△BED(HL). 证法3：在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°， ∴.AB=2AC. AC-AE.AB-2AEAE-TAB-BE. ,点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴∠AED=∠BED=90°. (AE=BE, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE. ∴.△AED≌△BED(SAS). (3)按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形， 里由：当∠B≠80时，∠B≠2∠BAC ∠EAD=∠CAD=2BAC,∠EAD≠Z ∴.△AED与△BED不全等， 按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.C3.C4.D5.26.c 7.证明：PA⊥OM,PB⊥ON,.∠PAO=∠PBO=90° .OP=OP,PA=PB, ∴.Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),.OA=OB, ∴.点O,P均在AB的垂直平分线上， .OP是AB的垂直平分线. 8.c9.D10.15√2+6 11.解：如图，点D即为所求 B 12.解：(1)证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°. 又，AD=AD,'.Rt△AED≌Rt△AFD(AAS), ∴.AE=AF,DE=DF,∴·点A,D都在EF的垂直平分线 上，∴AD垂直平分EF. 13.解：(1)选择一种回答即可. ·答 ①选择小鹏同学的解题思路 如题图2，在BC上截取BE=BD,连接AE, AB⊥CD,∴直线AB是线段DE的垂直平分线， .AE=AD,.∠AED=∠D. '∠D=2∠C,∴∠AED=2∠C. '∠AED=∠C+∠EAC, ∴∠EAC=∠C,AE=EC,∴.AD=EC .BC=EC+BE,..BC=AD+BD ②选择小亮同学的解题思路. 如题图3，作AC的垂直平分线，分别与AC,CD交于F,E 两点，连接AE. :EF是AC的垂直平分线， .AE=EC,∴.∠EAC=∠C. :∠AED=∠C+∠EAC,∴.∠AED=2∠C. :∠D=2∠C,∠AED=∠D, .AE=AD,∴.EC=AD. AB⊥CD,∴.BD=BE .'BC=EC+BE,'.BC=AD+BD. (2)解法1：如图，过点A作AE∥ BD,交CB的延长线于点E. :AD∥BC,.∠DAB=∠ABE AE∥BD,∠EAB=∠DBA. 又，AB=AB,∴.△ABE≌△BAD(ASA), .AE=BD,∠ADB=∠E,BE=AD. 如图，在BC上截取BF=BE,连接AF,则BF=AD. :∠ABC=90°，∴直线AB是线段EF的垂直平分线， ∴AE=AF,∠AFE=∠E,∠AFE=∠ADB. :∠ADB=2∠C,∠AFE=2∠C .∠AFE=∠C+∠FAC, .∠C+∠FAC=2∠C, ∠FAC=∠C,.AF=FC,∴FC=BD .BC=BF+FC,..BC=AD+BD. 解法2：如图，作AC的垂直平分线，分别交AC,BC于点 G,K,连接AK. GK垂直平分AC,AK=CK, .∠KAC=∠C,∴∠AKB=2∠C. ∠ADB=2∠C,∠ADB=∠AKB. ∠ABC=90°，AD∥BC, ∴.∠DAB=∠KBA=90 又，AB=BA,∴.△DAB≌△KBA(AAS) ..BD=AK=CK,AD=BK, ∴.BC=BK+CK=AD+BD 第2课时线段垂直平分线的应用 1.①③②④ 2.解：如图，①连接AB,AC; ②分别作线段AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线相 交于点P,点P即为售票中心的位置 A摩天轮 海盗船卫 碰碰车 案3·