1.3 第2课时直角三角形全等的判定（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第2课时 直角 A知识分点练 夯基础、 知识点1用“HL”判定直角三角形全等 1.(2024·沈阳浑南区期中)如图，已知AB⊥BD, CD⊥BD,AD=BC.判定Rt△ABD和 Rt△CDB全等的依据是 () D A.AAS B.SAS C.ASA D.HL 2.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,若要根据 “HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添 加的一个条件是 () A.AE-DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC和△DAE中，∠C=∠DEA= 90°，AB=DA,BC=AE.若BC=3,DE=7,则 CE的长为 4.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D= 90°，AC=DE,点B,E,C,F在同一条直线上， 且BE=FC.求证：Rt△ABC≌Rt△DFE. 18数学8年级下册BS版 三角形全等的判定 知识点2用其他方法证明直角三角形全等 5.(教材P51复习题T16变式)如图，∠BAC=90°， ∠CDB=90°，AC,BD相交于点O. (1)已知AB=DC,AC=DB,利用 可 以判定△ABC≌△DCB; (2)已知AB=DC,OA=OD,利用 可 以判定△ABO≌△DCO; (3)已知AC=BD,利用 可以判定 △ABC≌△DCB; (4)已知AO=DO,利用 可以判定 △ABO≌△DCO; (5)已知AB=DC,利用 可以判定 △ABO≌△DCO. 知识点3“HL”在实际问题中的应用 6.(教材P30例题变式)如图，有两个长度相等的滑梯 (即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等.有下列结论：①AB= DE;②∠ABC+∠DFE=90°；③∠ABC= ∠DEF.其中正确的有 ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 B能力综合练 练思维 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=4,则下列直角三角形中，与Rt△ABC全 等的是 ) X60° 60 8.(教材P31习题T5变式)用三角尺按下面的方法画 角平分线：如图，在∠AOB的两边上分别取点 M,N,使OM=ON,再分别过点M,N作OA, OB的垂线，交点为P,画射线OP,则OP平分 ∠AOB.其中证明△OMP与△ONP全等的依 据是 ( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.HL N B 第8题图 第9题图 9.如图，∠C=90°，AC=10,BC=5,AX⊥AC,点 P和点Q分别在线段AC和射线AX上运动， 且AB=PQ,当点P运动到AP= 时， △ABC与△APQ全等. 10.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°， F为AB延长线上一点，点E在边BC上，且 AE-CF. (1)求证：BE=BF; (2)若∠CAE=22°，求∠ACF的度数 C拓展探究练 提素养 11.(教材P32习题T10变式)在如图所示的三角形纸 片ABC中，∠C=90°，∠B=30°.按如下步 骤，可以把这个直角三角形纸片分成三个全 等的小直角三角形纸片（图中虚线表示折痕）： ①折叠三角形纸片ABC,使直角边AC落在 斜边AB上，点C落在斜边点E处；②将折叠 后的纸片再沿DE折叠. (1)由步骤①可以得到哪些等量关系？ (2)【一题多解】求证：△AED≌△BED(至少 写出两种证法)， (3)按照这种方法，能否将任意一个直角三角 形分成三个全等的小三角形？请说明理由. 4 第一章三角形的证明及其应用19在Rt△QPB和Rt△RPC中， ∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°， ∴.∠B=∠C,.AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 6.c7.D 8.证明：假设△ABC中的∠A,∠B,∠C都小于60°， 则∠A+∠B+∠C<3×60°， 即∠A十∠B十∠C<180°，这与三角形的内角和定理矛盾， 因此∠A,∠B,∠C都小于60°不成立， 所以一个三角形中至少有一个角不小于60°. 9.c10A1.(9.0或（日，0） 12.解：(1)证明：：AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF. :AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形. (2)70° 13.解：4个，作图如图所示. 00°- 变式微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推 【例】12【变式1】5【变式2】5 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 1.C2.48 3.证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠CAB=60° ,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC, ∴.∠DAB=∠CBE=∠ACF=90°， ∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°， ∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°， ∴△DEF是等边三角形. 【变式】证明：，△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC, ∴.∠EAF=∠EBD=120° ,BE=CD,∴，BE+AB=CD+BC,即AE=BD 在△BDE和△AEF中， BE=AF,∠EBD=∠FAE,BD=AE, .△BDE≌△AEF(SAS),.ED=EF. 同理可得，EF=FD,EF=ED=FD, ∴，△DEF是等边三角形. 4.c5.B6.33+37.C8.B9.①③ 10.解：(1)证明：，∠BAC=90°，∠C=30°， .∠ABC=90°-30°=60°. :BF平分∠ABC,∠CBF=∠ABF=30. AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=60. :∠AFB=90°-∠ABF=60°， ·答 ∠AFE=∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形. (2)AD=3 11.解：(1)点N运动到点C 理由：当点M运动到点C时，t= 212 1 点N的运动速度为2cm/s, ∴.点N的运动路程为12×2=24(cm). .AB=AC=12 cm,..AC+AB=24 cm, ,点N运动到点C. (2)点M,N运动4s时，可得到等边三角形AMN (3)点M,N运动4.8s或3s或15s或18s时，可得到直 角三角形AMN. 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.C3.24【变式】4或√/344.4km5.A6.B 7.证明：在Rt△ABC中， ∠BCA=90°，AC=12,AB=13, .BC=√AB2-AC2=√/132-122=5. 在△BCD中，：CD=4,BD=3,BC=5, ∴.CD2十BD2=BC2,∴.△BCD是直角三角形 8.B 9.底边上的高线与中线互相重合的三角形为等腰三角形真 3 10.A11.2 12.613.45% 14.(1)∠A=90°(2)AE=1.4 15.(1)135°(2)被监控到的道路长度为70√2米 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.4 4.证明：BE=FC, ∴.BE+EC=FC+EC,即BC=FE 在Rt△ABC和R△DFE中，AC=DE, (BC=FE, .Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). 5.(答案不唯一，合理即可)(1)SSS(2)SAS(3)HL (4)ASA (5)AAS 6.C7.A8.D9.5或10 10.解：(1)证明：：∠ABC=90°，∠CBF=∠ABE=90. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ,'AE=CF,AB=CB,.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL), ∴.BE=BF (2)689 11.解：(1)由折叠，得AE=AC,ED=CD,∠EAD= ∠CAD,∠ADE=∠ADC,∠AED=∠C=90. (2)证明：证法1：∠C=90°，∠B=30°， ∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD=7∠BAC=30°，∠EAD=∠B 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90 ∠EAD=∠B, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE, 案2· .△AED≌△BED(AAS) 证法2：.∠C=90°，∠B=30°，∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD-2∠BAC=30, ∴.∠EAD=∠B,∴.DA=DB. 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90°. 在R△AED布R△BED中，DE=DE, (DA=DB, ∴.Rt△AED≌Rt△BED(HL). 证法3：在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°， ∴.AB=2AC. AC-AE.AB-2AEAE-TAB-BE. ,点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴∠AED=∠BED=90°. (AE=BE, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE. ∴.△AED≌△BED(SAS). (3)按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形， 里由：当∠B≠80时，∠B≠2∠BAC ∠EAD=∠CAD=2BAC,∠EAD≠Z ∴.△AED与△BED不全等， 按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.C3.C4.D5.26.c 7.证明：PA⊥OM,PB⊥ON,.∠PAO=∠PBO=90° .OP=OP,PA=PB, ∴.Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),.OA=OB, ∴.点O,P均在AB的垂直平分线上， .OP是AB的垂直平分线. 8.c9.D10.15√2+6 11.解：如图，点D即为所求 B 12.解：(1)证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°. 又，AD=AD,'.Rt△AED≌Rt△AFD(AAS), ∴.AE=AF,DE=DF,∴·点A,D都在EF的垂直平分线 上，∴AD垂直平分EF. 13.解：(1)选择一种回答即可. ·答 ①选择小鹏同学的解题思路 如题图2，在BC上截取BE=BD,连接AE, AB⊥CD,∴直线AB是线段DE的垂直平分线， .AE=AD,.∠AED=∠D. '∠D=2∠C,∴∠AED=2∠C. '∠AED=∠C+∠EAC, ∴∠EAC=∠C,AE=EC,∴.AD=EC .BC=EC+BE,..BC=AD+BD ②选择小亮同学的解题思路. 如题图3，作AC的垂直平分线，分别与AC,CD交于F,E 两点，连接AE. :EF是AC的垂直平分线， .AE=EC,∴.∠EAC=∠C. :∠AED=∠C+∠EAC,∴.∠AED=2∠C. :∠D=2∠C,∠AED=∠D, .AE=AD,∴.EC=AD. AB⊥CD,∴.BD=BE .'BC=EC+BE,'.BC=AD+BD. (2)解法1：如图，过点A作AE∥ BD,交CB的延长线于点E. :AD∥BC,.∠DAB=∠ABE AE∥BD,∠EAB=∠DBA. 又，AB=AB,∴.△ABE≌△BAD(ASA), .AE=BD,∠ADB=∠E,BE=AD. 如图，在BC上截取BF=BE,连接AF,则BF=AD. :∠ABC=90°，∴直线AB是线段EF的垂直平分线， ∴AE=AF,∠AFE=∠E,∠AFE=∠ADB. :∠ADB=2∠C,∠AFE=2∠C .∠AFE=∠C+∠FAC, .∠C+∠FAC=2∠C, ∠FAC=∠C,.AF=FC,∴FC=BD .BC=BF+FC,..BC=AD+BD. 解法2：如图，作AC的垂直平分线，分别交AC,BC于点 G,K,连接AK. GK垂直平分AC,AK=CK, .∠KAC=∠C,∴∠AKB=2∠C. ∠ADB=2∠C,∠ADB=∠AKB. ∠ABC=90°，AD∥BC, ∴.∠DAB=∠KBA=90 又，AB=BA,∴.△DAB≌△KBA(AAS) ..BD=AK=CK,AD=BK, ∴.BC=BK+CK=AD+BD 第2课时线段垂直平分线的应用 1.①③②④ 2.解：如图，①连接AB,AC; ②分别作线段AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线相 交于点P,点P即为售票中心的位置 A摩天轮 海盗船卫 碰碰车 案3·