1.3 第1课时直角三角形的性质与判定（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3直角 第1课时直角三 A知识分点练 夯基础、 知识点1直角三角形的性质 1.(2025·黔南州一模)将一把含30°角的直角三角 尺和直尺按如图所示的方式放置.若∠1=40°， 则∠2的度数是 () A.30° B.40° C.50 D.60 2.【新情境·跨学科】如图，将平面镜MN放置在 水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D,一束 光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB, 点B在PD上.若∠AOC=35°，则∠OBD的度 数为 Mǒ A.35° B.45° C.55° D.65 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6,AB= 10,则△ABC的周长为 [变式]（易错）已知一个直角三角形的两边长 分别为3和5，则第三边的长为 4.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对 岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C, 利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC= 2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 为 知识点2直角三角形的判定 5.以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的 是 () A.1,w3,2 B.√4，W5,W6 C.5,6,7 D.7,8,9 16数学8年级下册BS版 三角形 角形的性质与判定 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为 a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三 角形的是 () A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a2=c2-b2 D.a2:b2:c2=5:12:17 7.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12, AB=13,D是Rt△ABC外一点，连接DC, DB,且CD=4,BD=3.求证：△BCD是直角 三角形. 知识点3逆命题和逆定理 8.下列说法错误的是 A.任何命题都有逆命题 B.定理都有逆定理 C.命题的逆命题不一定正确 D.定理的逆定理一定正确 9.命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重 合”的逆命题是“ ”, 这个命题是 (填“真”或“假”)命题. B能力综合练 练思维、 10.有下列命题：①若a十b=0,则|a|=|b|;②等 边三角形的三个内角都相等；③底角相等的 两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均 为真命题的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.0 11.(2024·鞍山岫岩月考)如图，D为△ABC内的一 点，连接AD,BD,CD,∠ADB=90°，AD= 3,BD=4,AC=5,BC=5√2，则图中阴影部 分的面积为 第11题图 第12题图 12.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，点D恰 好落在边BC上的点F处.若CE=3,AB=8, 则BF= 13.如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正 方形的顶点称为格点，点A,B,P均在格点 上，则∠PAB+∠PBA= 14.(2025·大连甘井子区月考)如图，在△ABC中，D 是BC的中点，DE⊥BC,垂足为D,交AB于 点E,且BE2-AE2=AC2. (1)求∠A的度数； (2)若DE=3,BD=4,求AE的长 C拓展探究练 提素养。 15.(2025·营口大石桥期末)如图，某景区有一个四 边形区域ABCD为观光点平面图，经测量 AB=AD=CD=70米，BC=70√3米，且 ∠BAD=90°. (1)求∠ADC的度数； (2)若直线AD为景区观光车的行驶道路（道 路宽度忽略不计)，景区管理部门想要在C处 安装一个监控摄像头来监测观光车的行驶情 况，已知摄像头能监控的最远距离为70米，求 被监控到的道路长度， 道路 第一章三角形的证明及其应用17在Rt△QPB和Rt△RPC中， ∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°， ∴.∠B=∠C,.AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 6.c7.D 8.证明：假设△ABC中的∠A,∠B,∠C都小于60°， 则∠A+∠B+∠C<3×60°， 即∠A十∠B十∠C<180°，这与三角形的内角和定理矛盾， 因此∠A,∠B,∠C都小于60°不成立， 所以一个三角形中至少有一个角不小于60°. 9.c10A1.(9.0或（日，0） 12.解：(1)证明：：AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF. :AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形. (2)70° 13.解：4个，作图如图所示. 00°- 变式微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推 【例】12【变式1】5【变式2】5 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 1.C2.48 3.证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠CAB=60° ,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC, ∴.∠DAB=∠CBE=∠ACF=90°， ∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°， ∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°， ∴△DEF是等边三角形. 【变式】证明：，△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC, ∴.∠EAF=∠EBD=120° ,BE=CD,∴，BE+AB=CD+BC,即AE=BD 在△BDE和△AEF中， BE=AF,∠EBD=∠FAE,BD=AE, .△BDE≌△AEF(SAS),.ED=EF. 同理可得，EF=FD,EF=ED=FD, ∴，△DEF是等边三角形. 4.c5.B6.33+37.C8.B9.①③ 10.解：(1)证明：，∠BAC=90°，∠C=30°， .∠ABC=90°-30°=60°. :BF平分∠ABC,∠CBF=∠ABF=30. AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=60. :∠AFB=90°-∠ABF=60°， ·答 ∠AFE=∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形. (2)AD=3 11.解：(1)点N运动到点C 理由：当点M运动到点C时，t= 212 1 点N的运动速度为2cm/s, ∴.点N的运动路程为12×2=24(cm). .AB=AC=12 cm,..AC+AB=24 cm, ,点N运动到点C. (2)点M,N运动4s时，可得到等边三角形AMN (3)点M,N运动4.8s或3s或15s或18s时，可得到直 角三角形AMN. 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.C3.24【变式】4或√/344.4km5.A6.B 7.证明：在Rt△ABC中， ∠BCA=90°，AC=12,AB=13, .BC=√AB2-AC2=√/132-122=5. 在△BCD中，：CD=4,BD=3,BC=5, ∴.CD2十BD2=BC2,∴.△BCD是直角三角形 8.B 9.底边上的高线与中线互相重合的三角形为等腰三角形真 3 10.A11.2 12.613.45% 14.(1)∠A=90°(2)AE=1.4 15.(1)135°(2)被监控到的道路长度为70√2米 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.4 4.证明：BE=FC, ∴.BE+EC=FC+EC,即BC=FE 在Rt△ABC和R△DFE中，AC=DE, (BC=FE, .Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). 5.(答案不唯一，合理即可)(1)SSS(2)SAS(3)HL (4)ASA (5)AAS 6.C7.A8.D9.5或10 10.解：(1)证明：：∠ABC=90°，∠CBF=∠ABE=90. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ,'AE=CF,AB=CB,.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL), ∴.BE=BF (2)689 11.解：(1)由折叠，得AE=AC,ED=CD,∠EAD= ∠CAD,∠ADE=∠ADC,∠AED=∠C=90. (2)证明：证法1：∠C=90°，∠B=30°， ∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD=7∠BAC=30°，∠EAD=∠B 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90 ∠EAD=∠B, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE, 案2·