第11讲 锐角三角函数（复习讲义，4考点6题型2重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第11讲 锐角三角函数 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 3 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 26 命题点一 正弦 题型01 求角的正弦值 题型02 已知正弦值求边长 命题点二 余弦 题型01 求角的余弦值 题型02 已知余弦求边长 命题点三 正切 题型01 求角的正切值 题型02 已知正切值求边长 命题点四 特殊角的三角函数 题型01 特殊角三角函数值的混合运算 题型02 特殊三角形的三角函数 命题点五 解直角三角形 题型01 解直角三角形的相关计算 命题点六 解直角三角形的应用 题型01 坡度坡比问题 题型02 仰俯角 05·重难突破·思维进阶 86 突破一 解直角三角形 突破二 解直角三角形的应用 06·优题精选·练能提分 92 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 锐角三角函数的定义 在中，， ； ； 2023年T21(2)、 2024年T21(2)、 2025年T14 1. 理解锐角三角函数的定义，明确对边、邻边、斜边的对应关系； 2. 能根据直角三角形边长求锐角的三角函数值 特殊角的锐角三角函数值 、、三角函数值 2023T21(2)、 2024T21(2)、 2025年T14 1. 熟记、、的三角函数值； 2. 能直接运用特殊角的值进行计算和化简 解直角三角形 结合勾股定理、锐角三角函数定义，求直角三角形的未知边或未知锐角（知一边一角/两边，求其余边、角） 2023T21(2)、 2024年T21(2) 1. 掌握解直角三角形的基本方法，能灵活选用三角函数、勾股定理；2. 能规范书写解直角三角形的解题步骤 锐角三角函数的实际应用 结合仰角、俯角、水平距离、垂直高度等实际场景，构建直角三角形模型求解 2025年T14 1. 能识别实际问题中的直角三角形模型，提取已知条件；2. 能将实际测量问题转化为解直角三角形问题求解 命题预测 重点关注仰角俯角类应用题，强调模型构建的准确性与单位换算的规范性；预测将延续“一题两问”结构，首问考查基础三角函数计算，次问延伸至误差分析或方案优化，突出数学建模与实际决策的结合。 备考建议 1. 牢记三角函数定义，明确边与角的对应关系，避免混淆对边、邻边； 2. 熟记特殊角三角函数值，做到快速准确调用； 3. 精练解直角三角形基础题，规范解题步骤； 4. 强化实际场景建模训练，掌握仰角/俯角等题型的解题思路，结合勾股定理提升综合计算能力. 考点一 锐角三角比的概念 1.正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 1．（2026·上海黄浦·一模）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，首先，判断“某一边”不能是斜边，因为会导致无解；然后考虑该边为直角边，利用勾股定理和条件建立方程，求解得到较短直角边与斜边的比值，即为较小锐角的正弦值． 【详解】解：设直角三角形三边分别为 、、，其中 为斜边，，为最小锐角． ①当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴原方程无解，即； ②当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，与矛盾，舍去． ∴较小锐角的正弦值为 ． 故答案为：． 2．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 3．（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 4．（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 6．（2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、求角的正切值 【分析】本题主要考查正切的定义，根据点在抛物线上的坐标和正切函数的定义直接计算． 【详解】解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ， 如图，过作轴，交轴于点， ， 故选：C． 7．（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形，，， ∴，， ∴； 故答案为：． 考点二 求锐角的三角比的值 1.锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 2. 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 3. 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 1．（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、求扇形面积、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了解三角形和扇形面积的计算，先根据在中，，得出扇形的圆心角度数，进而根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为． 3．（2026·上海长宁·一模）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 4．（2026·上海黄浦·一模）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 考点三 解直角三角形 1.解直角三角形 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 1．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．已知在中，． (1)求的长； (2)求、、的值． 【答案】(1)10 (2)，， 【分析】本题主要考查勾股定理和三角函数，根据边长求三角函数是解题的关键． （1）根据直角三角形利用勾股定理求解的长即可； （2）由（1）得到的长，已知三边长度在中即可求解、、的值． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵在中，， ∴，，． 3．如图，在菱形中，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，灵活运用相关知识是解决问题的关键 ． ()在中，解直角三角形求出即可； ()过点作于，根据菱形的面积公式求出，根据三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：交于， ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：四边形是菱形，， ∴菱形的面积， 过点作于， 则 ∴， ∴． 4．（2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、直角梯形的定义 【分析】本题考查了锐角三角函数，梯形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再根据角的关系可得，进而得到即可证明； （2）由勾股定理得，，再证，得到，进而得到，，再利用代入计算即可． 【详解】（1）证明：设相交于点， ，则可设，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：根据题意，， ， ， ， ， ，即， ， 解得， ， 解得，， 由（1）知，即， ． 考点四 解直角三角形的应用 1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 【特别提醒】 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 3.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. （2）方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. （3）坡度与坡角 坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 1．（2026·上海黄浦·一模）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是 ．（用的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理以及坡比的定义．根据坡比定义，垂直高度与水平距离的比为，设垂直高度为，则水平距离为，利用勾股定理，得，求解得到，即可作答． 【详解】解：依题意，设垂直高度为米，水平距离为米， ∵坡比， ∴得， 即， 根据勾股定理，， ∴， ∵， 因此， 故答案为： 2．（2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 3．（2026·上海松江·一模）如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】(1)15.6米 (2)9秒 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； （2）解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 命题点一 正弦 ►题型01 求角的正弦值 核心方法 在直角三角形中，锐角的正弦值 = 对边长度／斜边长度（初中仅研究锐角， ）；特殊锐角（ 、 ）的正弦值记固定结论。 运算要点 1．找含目标锐角的直角三角形，明确对边、斜边； 2．计算＂对边／斜边＂得正弦值； 3．特殊角直接用： 。 易错混清点 1．混淆对边／邻边：误将邻边当作对边计算； 2．非直角三角形直接用公式：需先作高构造直角三角形； 3．记错特殊角值：混淆 的正弦值； 4．忽略范围：锐角正弦值应在 0 到 1 之间。 【典例1】（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知，，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）在中，，，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义，准确代入对应边是解题关键． 根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义计算各选项． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， ∴， ， ， ． 故选：． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·期末）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理、正方形的性质，根据正方形的性质求出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理求出的长度，根据正弦和余弦的定义分别求出和，即可得到结果． 【详解】解：如下图所示， 小正方形面积为，大正方形面积为， 小正方形的边长是，大正方形的边长是， 在中，， 即， 整理得，， 解得：，（舍去）， ， ，， ． 故答案为：． ►题型02 已知正弦值求边长 核心方法 利用正弦定义 ，变形得:对边=斜边×sin a、斜边=对边÷sin a, 结合已知角的正弦值与一条 边，求目标边长。 运算要点 1．明确目标边是对边／斜边； 2．代入正弦公式变形计算； 3．特殊角（ ）直接用对应正弦值。 易错混清点 1．公式变形错：如误将对边算成＂斜边 ； 2．记错特殊角值：混淆 的正弦值； 3．对边找错：误将邻边当作对边代入公式。 【典例1】（25-26九年级上·上海·模拟）在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据正弦定义，在直角三角形中，的正弦值等于其对边与斜边的比值，已知，因此，即可求解． 本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】∵在中，，， ∴， 故选:A． 【变式2-1】（2026·上海虹口·一模）在中，，如果，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长 【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，等于对边与斜边的比，结合勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 所以． 由勾股定理，，即， 解得：． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图，在中， (1)求边的长； (2)如果点E在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知余弦求边长、已知正弦值求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）过点作，根据三角函数的定义可以求得的长，根据勾股定理从而可以求得的长，根据正切函数的定义，可以求得的长；即可解答； （）根据（）由勾股定理求得的长，根据若一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角分别相等，得与这两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例及已知信息，即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴ ∴， 即边的长为． （2）在中，由勾股定理得， ∵，， ∴∽， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理以及相似三角形的性质来求解．通过作垂线构建直角三角形，利用已知条件求出相关边长，再根据相似三角形的对应边成比例求出未知边． 命题点二 余弦 ►题型01 求角的余弦值 核心方法 在直角三角形中，锐角的余弦值 = 邻边长度／斜边长度（初中仅研究锐角， ）；特殊锐角的余弦值记固定结论。 运算要点 1．找含目标锐角的直角三角形，明确邻边、斜边； 2．计算＂邻边／斜边＂得余弦值； 3．特殊角直接用： 。 易错混清点 1．混淆邻边／对边：误将对边当作邻边计算； 2．非直角三角形直接用公式：需先作高构造直角三角形； 3．记错特殊角值：混淆 的余弦值。 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【变式1-1】（2026·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义判断各选项． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，、、分别是、、的对边， ∴，，，， 故选：B． 【变式1-3】（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值、求角的余弦值、求角的正弦值 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，； 故选A ►题型02 已知余弦求边长 核心方法 利用余弦定义 ，变形得:邻边=斜边×cosa、斜边=邻边÷cosa，结合已知角的余弦值与一条 边，求目标边长。 运算要点 1．明确目标边是邻边／斜边； 2．代入余弦公式变形计算； 3．特殊角直接用对应余弦值（如 ）。 易错混清点 1．公式变形错：误将邻边算成＂斜边 ＂； 2．记错特殊角值：混淆 的余弦值； 3．邻边找错：误将对边当作邻边代入公式。 【典例1】（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 【答案】4 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形．先根据余弦定义求得即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， 故答案为：4． 【变式1-1】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是 ． 【答案】16 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 【变式1-2】（2025·上海普陀·二模）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是 【答案】 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键． 作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解． 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹： (1)判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） (2)如果，求的长． 【答案】(1)①③ (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、已知余弦求边长、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可判定①正确；无法判定②正确；证明，得出，即可判定③正确； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，，根据，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①根据作图可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵E点不一定是的中点， ∴不一定垂直平分， ∴不一定等于，故②错误； ③根据作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，正确的有①③； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 根据解析（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，尺规作垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 命题点三 正切 ►题型01 求角的正切值 核心方法 在直角三角形中，锐角的正切值＝对边长度／邻边长度（ ）；特殊锐角的正切值记固定结论。 运算要点 1．找含目标锐角的直角三角形，明确对边、邻边； 2．计算＂对边／邻边＂得正切值； 3．特殊角直接用： 。 易错混清点 1．混淆对边／邻边：误将邻边当作对边计算； 2．非直角三角形直接用公式：需先作高构造直角三角形； 3．记错特殊角值：混淆 的正切值。 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接． (1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标； (2)求的正切值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质，勾股定理，等面积法求线段的长度等知识，解题的关键是： （1）根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可求出新抛物线的表达式，然后令求出y的值，即可得出点C的坐标； （2）先求出D、A、B的坐标，连接，过点B作于E，然后根据割补法求出的面积，根据勾股定理求出、的长度，根据等面积法求出的长度，根据勾股定理求出的长度，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线为， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， 连接，过点B作于E， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的正切值为． 故答案为： 【变式1-1】（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)当，且与相似时，的长为或． 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、公式法解一元二次方程 【分析】（1）先证明，推出，得到，再证明，得到，再利用正切函数的定义即可求解； （2）证明点四点共圆，得到点是矩形的中心，再证明四边形是菱形，设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点E在线段上时，设，则，证明，推出，再证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长；当点E在延长线上时，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，， 由（1）得， ∴点四点共圆， ∴， ∵G是中点， ∴点是矩形的中心， ∴点三点共线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 再设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，当点E在线段上时， ∵， ∴当时，， ∵点四点共圆， ∴， ∴， 设， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 当点E在延长线上时， ∵， ∴当时，， 同理点四点共圆， ∴， ∵， ∴，， 设， 同理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 综上，当，且与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式1-2】（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)符合场景2的要求，理由见解析 【知识点】求角的正切值、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）先延长，交于点D，可知，再根据可得答案； （2）先作，作，交于点E，再设，则，然后根据勾股定理分别表示出，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知再表示出，，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，交于点D，可知， ∴， 在中，． 故答案为：； （2）解：如图所示，过点O作，交的延长线于点C，过点B作，于点D，交于点E， 设，则， ∵， ∴，， 可知， ∴， 根据勾股定理，得， 解得，，则 ∴， ∴； （3）解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知， 在中，， 则． 在中，， ∴， 则， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． ►题型02 已知正切值求边长 核心方法 利用正切定义 ，变形得：对边 = 邻边 、邻边 = 对边 ，结合已知角的正切值与一条边，求目标边长。 运算要点 1．明确目标边是对边／邻边； 2．代入正切公式变形计算； 3．特殊角直接用对应正切值（如 ）。 易错混清点 1．公式变形错：误将对边算成＂邻边 ； 2．记错特殊角值：混淆 的正切值； 3．对边／邻边找错：误将对边当作邻边代入公式。 【典例1】（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 【变式2-1】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】已知正切值求边长、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把点代入解析式中即可解出b的值； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，由原抛物线在直线的右侧呈上升趋势，得，解得：； （3）先求出，，，，则，，根据建立方程，解得，所以，设，当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示，可证明，得，解得，，可求M点坐标． 【详解】（1）解：将抛物线向上平移2个单位， 新抛物线的表达式， 新抛物线经过点， ， ， 新抛物线的表达式； （2）解：抛物线， 对称轴为直线， 原抛物线在直线的右侧呈上升趋势， ， ， ， ； （3）解：由（1）得， 令，则；令，则，解得或， ，， ∴， 原抛物线与轴的两个交点为点、点， ，， ∴， 则，，且， 即， 解得或7（舍去）， ， 设， 当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，即， ，， ，． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 命题点四 特殊角的三角函数 ►题型01 特殊角三角函数值的混合运算 核心方法 熟记 的正弦／余弦／正切值，按四则运算规则计算，最终化简结果。 运算要点 1．代入特殊角对应的三角函数值； 2．按＂先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号＂的顺序计算； 3．化简结果（如合并同类二次根式）。 易混易错点 1．记错函数值：如误将 记为 ，混淆 与 的函数值； 2．运算顺序错：如计算 时，先算＂ ； 3．化简不彻底：如结果留 ，未化简为 。 【典例1】（2026·上海虹口·一模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 40．（2025·上海嘉定·一模）计算：． 【答案】2 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式1-1】（2026·上海·一模）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．首先把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果． 【详解】解： ． 【变式1-2】（2026·上海金山·一模）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 先将特殊角的三角函数值化简，再按无理数的运算法则计算，即可求解． 【详解】解： ． ►题型02 特殊三角形的三角函数 核心方法 利用特殊直角三角形的边长比，结合三角函数定义，直接得出对应角的三角函数值（初中重点是等腰直角三角形、含 的直角三角形）。 运算要点 1．等腰直角三角形（ 角）：边长比 ，得 ； 2．含 的直角三角形：边长比 ，得 ， 。 易混易错点 1．边长比例记反：如含 的三角形中，误将短边当作斜边； 2．角与三角形对应错：如把等腰直角三角形的角错记为 ； 3．边长比用错：如将等腰直角三角形边长比写成 。 【典例1】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了求特殊角的余切值，根据三角函数定义，是 的倒数，而为，然后即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海徐汇·月考）如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持，），通过向下踩踏点A到（与地面接触点）使点B上升到点，与此同时传动杆运动到位置，点H绕固定点D旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图3，桶盖打开后，传动杆所在直线分别与水平直线、垂直，垂足为点M、C，设．测得，，，要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字，） 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形的三角函数、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用和相似三角形的判定与性质，理解题意，找到对应线段的关系是解题关键． 先通过题意，求出张角最大值时的长，根据线段和差求出的长，再过点作的垂线，利用相似三角形的性质求出垂线段的值即可． 【详解】解：由题意，得当张角时，取得最大值， 此时， 由题意，得， ∴，即， 如图，过点作的垂线，垂足为N， ∵，， ∴， ∴， 由题意，得，， ∴， ∴， ∴踏板离地面的高度至少约为． 【变式2-2】（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 命题点五 解直角三角形 ►题型01 解直角三角形的相关计算 核心方法 已知直角三角形 2 个元素（至少 1 个是边），借助三角函数定义、勾股定理，求其余边、角。运算要点 1．已知一边一锐角：用三角函数求另两边，用 减已知角得另一锐角； 2．已知两边：用勾股定理求第三边，用三角函数求锐角； 3．优先用特殊角三角函数简化计算。 易混易错点 1．选错三角函数：如已知对边、斜边，误选正切； 2．忽略＂至少一个边＂：仅知两个角无法求解； 3．记错特殊角函数值：混淆 的函数值。 【典例1】（2026·上海松江·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，设，分别解，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， 设， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 故答案为： 【变式1-1】（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 故答案为： 【变式1-2】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）线段的和差求出的长，正切值求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）同角的余角相等，得到，根据正弦的定义求出即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得； （2）解：由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1-3】（2026·上海松江·一模）如图，在中， ，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点作于点，分别解和，进行求解即可． （2）作于点，勾股定理求出的长，进而求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，； ∴； （2）解：如（1）图，作于点， 由（1）知：， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1-4】（2026·上海徐汇·一模）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作，先利用余弦求得，再利用勾股定理求得即可； （2）先证明四边形是矩形，从而可得，进而可求得，根据走廊的遮阳宽度至少要，可求得，再利用正切求得，从而可求得． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳棚前端到墙面的距离为米； （2）解：如图，延长交于点M，则， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又，由（1）得， ∴， 又走廊的遮阳宽度至少要， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴挡板至少要米长才能确保遮阳效果． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 故答案为： 【变式1-5】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，点在边上且，点是边上的动点，以为直角顶点；为腰在其右侧作等腰直角三角形，射线与边交于点． (1)当时，求的面积； (2)当点落在内部（不含边界）时，求的取值范围； (3)连接，如果是直角三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，得出，根据，得出，结合，得，则，证出，则，结合，即可求出，即可解答； （2）由题知：不可能在上，可能在上； 当在上且与重合时，如图所示：过点作，过点作，过点作，则，得出，，勾股定理求出，则，结合，求出，证明，求出，证明，得出，，则，此时，当在上且与重合时，如图所示：由上得，，设，则，则，根据，求出，此时，根据落在内部（不含边界），即可求解； （3）当时，如图所示：由上得，则，，证明，则，证明，则，，得出，，则，当时，如图所示：由上得，设，则，证明，得出，列方程，求出，即可得，的长，由题知：，则四点共圆，得出，求出；当时，不符合； 【详解】（1）解：如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：由题知：不可能在上， ∴可能在上； 当在上且与重合时， 如图所示：过点作，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 此时， 当在上且与重合时，如图所示：由上得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， ∵落在内部（不含边界），∴； （3）解：当时，如图所示： 由上得， ∴， ∴， 由题知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，如图所示： 由上得， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题知：， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴， 当时，不符合； 综上：或． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，利用分类讨论思想解答． 命题点六 解直角三角形的应用 ►题型01 坡度坡比问题 核心方法 坡度（坡比）（ 为坡角），结合此关系与三角函数、勾股定理，计算坡高、坡宽或坡面长度。 运算要点 1．由坡度 ，已知 h （或 I ）求 I （或 h ）； 2．坡角 的正切值等于坡度，用三角函数关联角与边； 3．坡面长度用勾股定理：坡面长 。 易混易错点 1．混淆坡度与坡角：误将坡角当作坡度（坡度是比，坡角是角度）； 2．颠倒坡比的 h 与 I ：把坡度记成＂水平宽：垂直高＂； 3．坡面长计算错：直接用 代替勾股定理计算。 【典例1】（2025·上海静安·二模）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】3 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：设这个斜坡的水平距离为x米， 根据题意得：，解得：， ∴这个斜坡的长度（米）， 答：这个斜坡的长度为3米． 故答案为：3． 故答案为： 【变式1-1】（2026·上海徐汇·一模）如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是 ． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查勾股定理和坡比的计算，正确掌握勾股定理和坡比的计算方法是解题的关键． 先根据勾股定理，计算出水平距离的长，再计算坡比即可求解． 【详解】解：如图， 在中，米，米， 则（米）， 所以坡比． 故答案为：． 故答案为： 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·期末）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为 ． 【答案】13m/13米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据坡度的概念求出AF，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过B作BF⊥AF于F， 由题意得，BF＝5米， ∵斜坡的坡度i＝1∶2.4， ∴＝，即， 解得：AF＝12（米）， 由勾股定理得，AB＝（米）． 故答案是：13米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角形的问题成为解答本题的关键． 故答案为： 【变式1-3】（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 故答案为： 【变式1-4】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，矩形的性质，坡度，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）解：如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 答：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为． ►题型02 仰俯角 核心方法 仰俯角是视线与水平线的夹角（仰角向上、俯角向下），通过构造直角三角形，结合三角函数（正切/正弦/余弦）关联角与边，计算高度、距离等未知量。 运算要点 1. 画示意图，标出仰俯角、已知边； 2. 构造直角三角形，确定边对应的三角函数； 3. 代入三角函数公式计算，特殊角用对应值简化。 易混易错点 1. 混淆仰角/俯角：误将俯角当作视线向上的角； 2. 漏构造直角三角形：直接用已知边盲目计算； 3. 选错三角函数：如已知对边/邻边，误用正弦。 【典例1】（2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大． 【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为． ∵小明住8楼，高度为， ∴，． ∵小丽住9楼，高度为， ∴，． ∵， ∴，即， 且，即． ∴且， 故选：B． 【变式1-1】（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海嘉定·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 【答案】约为米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；连接并延长交于，证明四边形、是矩形，可得出，，在中，，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出的长度，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：法华塔的高度约为米． 【变式1-3】（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)大楼的高度为 (2)能，大楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； （2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 突破一 解直角三角形 【典例1】（（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，点G是的重心，，，，则 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及重心的性质．延长交于点D，过点D作于点E，根据重心的性质以及，可求出，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点D，过点D作于点E， ∵点G是的重心，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，． (1)求的长； (2)求、、的值． 【答案】(1)10 (2)，， 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查勾股定理和三角函数，根据边长求三角函数是解题的关键． （1）根据直角三角形利用勾股定理求解的长即可； （2）由（1）得到的长，已知三边长度在中即可求解、、的值． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵在中，， ∴，，． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在梯形中， ，连接，过点作交于点、． (1)设，试用的线性组合表示向量； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、向量的线性运算 【分析】本题考查了向量的线性运算，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先表示出，再由四边形法则求解即可； （2）先解求出，然后证明四边形为平行四边形，再由求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 突破二 解直角三角形的应用 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期末）小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了 【答案】/米 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了坡度的相关计算，勾股定理，正确理解坡度的概念是解题的关键．设竖直上升高度为，根据坡度的概念可知水平距离为，山坡长度为斜边，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设竖直上升高度为，则水平距离为， 根据勾股定理得， 解得， 所以小明竖直上升了． 故答案为：． 【变式2-1】（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【答案】18 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，根据题意，得到米，，进而求出的长，勾股定理，求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意，得：米，， ∴米， ∴米； 故物体从到所经过的路程为18米． 故答案为：18． 【变式2-2】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】两直线平行内错角相等、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及俯角问题，读懂题意，数形结合，准确选择三角函数求解是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，在中，解直角三角形求出，再由矩形的判定与性质得到相关线段长，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，则（米）， 答：点到地面的距离为米； （2）解：延长交于点，如图所示： 在中，，则（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，，则（米）， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． 1．（2026·上海长宁·一模）在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数综合 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中三角函数的定义，逐一验证每个等式是否正确即可． 【详解】解：在中，，的对边分别是，如图， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B错误，符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2026·上海徐汇·一模）在中，已知，那么的余切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理求，再根据余切定义求的余切值即可． 【详解】解：如图， ， ， 故选：C． 3．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 4．（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． 5．（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．（25-26九年级上·上海青浦·期末）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】求角的正弦值、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、求角的正弦值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（2025·上海静安·二模）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，x的取值范围为． 【知识点】已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形性质和判定证明、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，再根据平行线的性质以及等腰三角形的判定定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据“边角边”即可证明结论； （2）由中点的定义可得，由可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式化简即可证明结论； （3）如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G，根据题意求出、根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出即可得到关系式；然后再根据确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴, ∵, ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵（比值）， ∴，解得：． ∴，x的取值范围为． 4．（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】公式法解一元二次方程、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，求正弦值，全等三角形的判定和性质，完全平方公式变形求值，分母有理化，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 2．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【知识点】矩形与折叠问题、切线的性质定理、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【知识点】已知正切值求边长、特殊三角形的三角函数、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 2 / 97 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $一知识点一：正弦 知识点二：余弦 考点一：锐角三角比的概念 知识点三：正切 知识点四：余切 考点二：求锐角的三角比的值 tan A==cot B,sinA==cos B 定义：由直角三角形中的已知元素，求未知元素 知识点一：解直角三角形的概念 条件：已知其中的两个元素（至少有一个是边)， 可求出其余的三个未知元素（知二求三）。 三边关系：a2十b2=c2（勾股定理) 两锐角关系：∠A十∠B=90° 知识点二：元素关系 边角关系： sinA=:cosA=:tanA=:cotA= sin B=:cos B=:tan B=:cot B= 锐角三角函数 考点三：解直角三角形 ①两直角边：tanA=号，求∠A:∠B=90°-∠A:c=Va2十b2 ②斜边，一直角边（如C,a):sinA=:,求∠A:∠B=90°-∠A: b=Vc2-a2 知识点三：类型 ③锐角，尔边（如∠A,b):∠B=90°-∠A:a=b.tan A:c=coA ④锐角，对边（如∠A,a):∠B=90°-∠A:b=a·cotA:c=sA ⑤斜边，锐角（如C,∠A):∠B=90°-∠A:a=c·sinA:b=c·cosA 在非直角三角形中，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决。 知识点四：解非直角三角形 作高时，一般以不破坏30°，45°，60°角为原则。 对于复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造。 知识点一：一般步骤 知识点二：常见基本图形 考点四：解直角三角形的应用 仰角：视线在水平线上方的夹角。 仰角和俯角： 俯角：视线在水平线下方的夹角。 方向角： 知识，点三：常见应用类型 坡角：坡面与水平面所成的夹角 坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度l的比， 坡度与坡角： 记作i=h:1,常写成1：x的形式。 关系：i==tana。 坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大。一知识点一：正弦 知识点二：余弦 考点一：锐角三角比的概念 知识点三：正切 知识点四：余切 考点二：求锐角的三角比的值 tan A==cot B,sinA==cos B 定义：由直角三角形中的已知元素，求未知元素 知识点一：解直角三角形的概念 条件：已知其中的两个元素（至少有一个是边)， 可求出其余的三个未知元素（知二求三）。 三边关系：a2十b2=c2（勾股定理) 两锐角关系：∠A十∠B=90° 知识点二：元素关系 边角关系： sinA=:cosA=:tanA=:cot A= sin B=:cos B=:tan B=:cot B= 锐角三角函数 考点三：解直角三角形 ①两直角边：tanA=号，求∠A:∠B=90°-∠A:c=Va2十 ②斜边，一直角边（如C,a):sinA=,求∠A:∠B=90°-∠A: b=Vc2-a2 知识点三：类型 ③锐角，邻边（如∠A,b):∠B=90°-∠A:a=b.tan A:c=oA ④角，对边（如∠A,a):∠B=90°-∠A:b=a·cotA:c=siA ⑤斜边，锐角（如C,∠A):∠B=90°-∠A:a=c·sinA:b=c·cosA 在非直角三角形中，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决。 知识点四：解非直角三角形 作高时，一般以不破坏30°，45°，60°角为原则。 对于复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造。 知识点一：一般步骤 知识点二：常见基本图形 考点四：解直角三角形的应用 仰角：视线在水平线上方的夹角。 仰角和俯角： 俯角：视线在水平线下方的夹角。 方向角： 知识点三：常见应用类型 坡角：坡面与水平面所成的夹角 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比， 坡度与坡角： 记作i=h:1,常写成1：x的形式。 关系：i=身=tana。 坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大。 第四章 三角形 第11讲 锐角三角函数 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 3 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 26 命题点一 正弦 题型01 求角的正弦值 题型02 已知正弦值求边长 命题点二 余弦 题型01 求角的余弦值 题型02 已知余弦求边长 命题点三 正切 题型01 求角的正切值 题型02 已知正切值求边长 命题点四 特殊角的三角函数 题型01 特殊角三角函数值的混合运算 题型02 特殊三角形的三角函数 命题点五 解直角三角形 题型01 解直角三角形的相关计算 命题点六 解直角三角形的应用 题型01 坡度坡比问题 题型02 仰俯角 05·重难突破·思维进阶 86 突破一 解直角三角形 突破二 解直角三角形的应用 06·优题精选·练能提分 92 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 锐角三角函数的定义 在中，， ； ； 2023年T21(2)、 2024年T21(2)、 2025年T14 1. 理解锐角三角函数的定义，明确对边、邻边、斜边的对应关系； 2. 能根据直角三角形边长求锐角的三角函数值 特殊角的锐角三角函数值 、、三角函数值 2023T21(2)、 2024T21(2)、 2025年T14 1. 熟记、、的三角函数值； 2. 能直接运用特殊角的值进行计算和化简 解直角三角形 结合勾股定理、锐角三角函数定义，求直角三角形的未知边或未知锐角（知一边一角/两边，求其余边、角） 2023T21(2)、 2024年T21(2) 1. 掌握解直角三角形的基本方法，能灵活选用三角函数、勾股定理；2. 能规范书写解直角三角形的解题步骤 锐角三角函数的实际应用 结合仰角、俯角、水平距离、垂直高度等实际场景，构建直角三角形模型求解 2025年T14 1. 能识别实际问题中的直角三角形模型，提取已知条件；2. 能将实际测量问题转化为解直角三角形问题求解 命题预测 重点关注仰角俯角类应用题，强调模型构建的准确性与单位换算的规范性；预测将延续“一题两问”结构，首问考查基础三角函数计算，次问延伸至误差分析或方案优化，突出数学建模与实际决策的结合。 备考建议 1. 牢记三角函数定义，明确边与角的对应关系，避免混淆对边、邻边； 2. 熟记特殊角三角函数值，做到快速准确调用； 3. 精练解直角三角形基础题，规范解题步骤； 4. 强化实际场景建模训练，掌握仰角/俯角等题型的解题思路，结合勾股定理提升综合计算能力. 考点一 锐角三角比的概念 1.正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 1．（2026·上海黄浦·一模）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是 ． 2．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 3．（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 5．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 7．（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 考点二 求锐角的三角比的值 1.锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 2. 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 3. 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 1．（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 3．（2026·上海长宁·一模）计算：． 4．（2026·上海黄浦·一模）计算：． 考点三 解直角三角形 1.解直角三角形 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 1．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．已知在中，． (1)求的长； (2)求、、的值． 3．如图，在菱形中，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 4．（2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 考点四 解直角三角形的应用 1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 【特别提醒】 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 3.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. （2）方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. （3）坡度与坡角 坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 1．（2026·上海黄浦·一模）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是 ．（用的代数式表示） 2．（2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 3．（2026·上海松江·一模）如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 命题点一 正弦 ►题型01 求角的正弦值 核心方法 在直角三角形中，锐角的正弦值 = 对边长度／斜边长度（初中仅研究锐角， ）；特殊锐角（ 、 ）的正弦值记固定结论。 运算要点 1．找含目标锐角的直角三角形，明确对边、斜边； 2．计算＂对边／斜边＂得正弦值； 3．特殊角直接用： 。 易错混清点 1．混淆对边／邻边：误将邻边当作对边计算； 2．非直角三角形直接用公式：需先作高构造直角三角形； 3．记错特殊角值：混淆 的正弦值； 4．忽略范围：锐角正弦值应在 0 到 1 之间。 【典例1】（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）在中，，，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·期末）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则 ►题型02 已知正弦值求边长 核心方法 利用正弦定义 ，变形得:对边=斜边×sin a、斜边=对边÷sin a, 结合已知角的正弦值与一条 边，求目标边长。 运算要点 1．明确目标边是对边／斜边； 2．代入正弦公式变形计算； 3．特殊角（ ）直接用对应正弦值。 易错混清点 1．公式变形错：如误将对边算成＂斜边 ； 2．记错特殊角值：混淆 的正弦值； 3．对边找错：误将邻边当作对边代入公式。 【典例1】（25-26九年级上·上海·模拟）在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·上海虹口·一模）在中，，如果，那么的长是 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图，在中， (1)求边的长； (2)如果点E在边上，且，求的长． 命题点二 余弦 ►题型01 求角的余弦值 核心方法 在直角三角形中，锐角的余弦值 = 邻边长度／斜边长度（初中仅研究锐角， ）；特殊锐角的余弦值记固定结论。 运算要点 1．找含目标锐角的直角三角形，明确邻边、斜边； 2．计算＂邻边／斜边＂得余弦值； 3．特殊角直接用： 。 易错混清点 1．混淆邻边／对边：误将对边当作邻边计算； 2．非直角三角形直接用公式：需先作高构造直角三角形； 3．记错特殊角值：混淆 的余弦值。 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 已知余弦求边长 核心方法 利用余弦定义 ，变形得:邻边=斜边×cosa、斜边=邻边÷cosa，结合已知角的余弦值与一条 边，求目标边长。 运算要点 1．明确目标边是邻边／斜边； 2．代入余弦公式变形计算； 3．特殊角直接用对应余弦值（如 ）。 易错混清点 1．公式变形错：误将邻边算成＂斜边 ＂； 2．记错特殊角值：混淆 的余弦值； 3．邻边找错：误将对边当作邻边代入公式。 【典例1】（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 【变式1-1】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是 ． 【变式1-2】（2025·上海普陀·二模）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是 【变式1-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹： (1)判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） (2)如果，求的长． 命题点三 正切 ►题型01 求角的正切值 核心方法 在直角三角形中，锐角的正切值＝对边长度／邻边长度（ ）；特殊锐角的正切值记固定结论。 运算要点 1．找含目标锐角的直角三角形，明确对边、邻边； 2．计算＂对边／邻边＂得正切值； 3．特殊角直接用： 。 易错混清点 1．混淆对边／邻边：误将邻边当作对边计算； 2．非直角三角形直接用公式：需先作高构造直角三角形； 3．记错特殊角值：混淆 的正切值。 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接． (1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标； (2)求的正切值． 【变式1-1】（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． 【变式1-2】（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． ►题型02 已知正切值求边长 核心方法 利用正切定义 ，变形得：对边 = 邻边 、邻边 = 对边 ，结合已知角的正切值与一条边，求目标边长。 运算要点 1．明确目标边是对边／邻边； 2．代入正切公式变形计算； 3．特殊角直接用对应正切值（如 ）。 易错混清点 1．公式变形错：误将对边算成＂邻边 ； 2．记错特殊角值：混淆 的正切值； 3．对边／邻边找错：误将对边当作邻边代入公式。 【典例1】（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【变式2-1】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 命题点四 特殊角的三角函数 ►题型01 特殊角三角函数值的混合运算 核心方法 熟记 的正弦／余弦／正切值，按四则运算规则计算，最终化简结果。 运算要点 1．代入特殊角对应的三角函数值； 2．按＂先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号＂的顺序计算； 3．化简结果（如合并同类二次根式）。 易混易错点 1．记错函数值：如误将 记为 ，混淆 与 的函数值； 2．运算顺序错：如计算 时，先算＂ ； 3．化简不彻底：如结果留 ，未化简为 。 【典例1】（2026·上海虹口·一模）计算：． 【变式1-1】（2026·上海·一模）计算： 【变式1-2】（2026·上海金山·一模）计算：． ►题型02 特殊三角形的三角函数 核心方法 利用特殊直角三角形的边长比，结合三角函数定义，直接得出对应角的三角函数值（初中重点是等腰直角三角形、含 的直角三角形）。 运算要点 1．等腰直角三角形（ 角）：边长比 ，得 ； 2．含 的直角三角形：边长比 ，得 ， 。 易混易错点 1．边长比例记反：如含 的三角形中，误将短边当作斜边； 2．角与三角形对应错：如把等腰直角三角形的角错记为 ； 3．边长比用错：如将等腰直角三角形边长比写成 。 【典例1】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海徐汇·月考）如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持，），通过向下踩踏点A到（与地面接触点）使点B上升到点，与此同时传动杆运动到位置，点H绕固定点D旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图3，桶盖打开后，传动杆所在直线分别与水平直线、垂直，垂足为点M、C，设．测得，，，要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字，） 【变式2-2】（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 命题点五 解直角三角形 ►题型01 解直角三角形的相关计算 核心方法 已知直角三角形 2 个元素（至少 1 个是边），借助三角函数定义、勾股定理，求其余边、角。运算要点 1．已知一边一锐角：用三角函数求另两边，用 减已知角得另一锐角； 2．已知两边：用勾股定理求第三边，用三角函数求锐角； 3．优先用特殊角三角函数简化计算。 易混易错点 1．选错三角函数：如已知对边、斜边，误选正切； 2．忽略＂至少一个边＂：仅知两个角无法求解； 3．记错特殊角函数值：混淆 的函数值。 【典例1】（2026·上海松江·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是 ． 【变式1-1】（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是 ． 【变式1-2】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的值． 【变式1-3】（2026·上海松江·一模）如图，在中， ，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【变式1-4】（2026·上海徐汇·一模）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 【变式1-5】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，点在边上且，点是边上的动点，以为直角顶点；为腰在其右侧作等腰直角三角形，射线与边交于点． (1)当时，求的面积； (2)当点落在内部（不含边界）时，求的取值范围； (3)连接，如果是直角三角形，请直接写出的长． 命题点六 解直角三角形的应用 ►题型01 坡度坡比问题 核心方法 坡度（坡比）（ 为坡角），结合此关系与三角函数、勾股定理，计算坡高、坡宽或坡面长度。 运算要点 1．由坡度 ，已知 h （或 I ）求 I （或 h ）； 2．坡角 的正切值等于坡度，用三角函数关联角与边； 3．坡面长度用勾股定理：坡面长 。 易混易错点 1．混淆坡度与坡角：误将坡角当作坡度（坡度是比，坡角是角度）； 2．颠倒坡比的 h 与 I ：把坡度记成＂水平宽：垂直高＂； 3．坡面长计算错：直接用 代替勾股定理计算。 【典例1】（2025·上海静安·二模）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 【变式1-1】（2026·上海徐汇·一模）如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·期末）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为 ． 【变式1-3】（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【变式1-4】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． ►题型02 仰俯角 核心方法 仰俯角是视线与水平线的夹角（仰角向上、俯角向下），通过构造直角三角形，结合三角函数（正切/正弦/余弦）关联角与边，计算高度、距离等未知量。 运算要点 1. 画示意图，标出仰俯角、已知边； 2. 构造直角三角形，确定边对应的三角函数； 3. 代入三角函数公式计算，特殊角用对应值简化。 易混易错点 1. 混淆仰角/俯角：误将俯角当作视线向上的角； 2. 漏构造直角三角形：直接用已知边盲目计算； 3. 选错三角函数：如已知对边/邻边，误用正弦。 【典例1】（2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-1】（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【变式1-2】（2025·上海嘉定·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 【变式1-3】（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 突破一 解直角三角形 【典例1】（（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，点G是的重心，，，，则 ． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，． (1)求的长； (2)求、、的值． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在梯形中， ，连接，过点作交于点、． (1)设，试用的线性组合表示向量； (2)已知，，求的值． 突破二 解直角三角形的应用 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期末）小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了 【变式2-1】（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【变式2-2】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 1．（2026·上海长宁·一模）在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海徐汇·一模）在中，已知，那么的余切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为 ． 5．（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． 6．（25-26九年级上·上海青浦·期末）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 2．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 3．（2025·上海静安·二模）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 4．（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 2．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ． 3．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 4．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    2 / 97 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $null