第03讲 分式（复习讲义，4考点4题型1重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式的概念、性质、运算及化简求值等中考核心考点，构建“定义-性质-运算-应用”的知识网络。通过考情剖析明确命题方向，考点解析夯实基础，命题洞悉归纳题型，重难突破化解化简求值等难点，分层练习提升能力，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“考频导向+分层突破”，结合近3年真题归纳分式化简求值“先化简再验证”策略，培养运算能力与严谨思维。分层练习从基础到新趋势，配合典例变式训练，帮助学生突破符号处理等易错点，教师可借考情分析把控重点，助力学生高效提升应考能力。

分式的基本概念 3 分式的基本性质 3 分式 1. 零指 整数指数幂 2. 负整 1. 定义 分数指数幂 2.关键 般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子合叫做分式。 分式的定义 注意事项：分母不能为。 分式有意义：分母不等于零。 分式无意义：分母等于零。 分式有意义的条件 分式的值为正数：分子、分母同号。 分式的值为负数：分子、分母异号。 分子等于零。 分式的值为零的条件 分母不等于零。 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式的基本性质 分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。 定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 约分 寻找公因式方法：分为系数、字母、字母的指数来分别确定。 定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。 系数取各分母系数的最小公倍数。 通分 最简公分母的寻找方法： 字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积。 规律方法总结：通分时若各分式的分母能分解因式，必须先分解因式，再找最简公分母。 a0=1(a≠0) 数幂 C注意：00≠1 a-p= :(a≠0，p为正整数) 数指数幂 计算时避免错误，如(-3)一2≠(-3)×(-2) 注意： 当底数是分数时，可颠倒分子、分母将负指数变为正指数。 混合运算中注意顺序。 正分数指数幂：a光=Vam 与公式 负分数指数幂：a兴=a(m,n为正整数，n>1) 当根指数n为偶数时，底数a>0。 前提 当n为奇数时，底数a为任意实数。 负分数指数幂中，底数a≠0。 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一分式的概念及性质 题型01分式的概念及性质 命题点二 分式的运算 题型01分式乘除运算 题型02分式加减运算 题型03分式四则混合运算 05·重难突破·思维进阶 19 突破一 分式化简求值 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求 分式的概念 分式的定义、有意义/值为0的条件 2023T10 2024T2 2025T10 理解分式的定义，掌握分式有意义（分母≠0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件 分式的基本性质 约分、通分（分式基本性质的应用） 2024T8 2025T9 掌握分式的基本性质（分子分母同乘/除不为0的整式，值不变），能进行约分、通分 分式的运算 分式的乘除运算（含约分） 2024T8 掌握分式乘除运算的法则，能结合因式分解进行约分计算 分式的加减运算（含通分） 2025T9 掌握分式加减运算的法则，能通过通分进行异分母分式的加减计算 分式的化简求值 2023T21 2024T21 运用分式的运算规则，结合因式分解对分式进行化简，并代入使分式有意义的数值求值 命题预测 2026年上海中考分式模块命题将延续“题型以选择、填空、计算为主，考点聚焦分式有意义/值为0的条件、分式基本性质（约分通分）、分式的乘除/加减运算、化简求值”的特点，侧重概念理解与运算规范性，可能融入因式分解的综合化简，强调运算的准确性与分式有意义条件的验证 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 理解分式有意义/值为0的条件，标注分母不为0的隐含要求，训练T2、T10类基础题；2. 掌握分式基本性质，训练约分通分，结合因式分解辅助分式运算；3. 分层练习分式乘除、加减运算，总结化简步骤，练习化简求值题并验证代入值的合理性；4. 规避分式运算的符号、约分不彻底等陷阱，整理近3年真题归纳命题规律，强化基础题与计算题主得分率 考点一 分式的基本概念 1．分式的定义 类别 内容 分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 注意事项 分母不能为0 2．分式有意义的条件 情况 条件 分式有意义 分母不等于零 分式无意义 分母等于零 分式的值为正数 分子、分母同号 分式的值为负数 分子、分母异号 3．分式的值为零的条件 条件 说明 分子 等于零 分母 不等于零（此条件不能少） 1.（2025•青浦区校级期中）在代数式2x，1，，，，中，分式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义即可得． 【解答】解：代数式，，都是整式， 代数式，，的分母中都含有字母，都是分式，共有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的定义，“如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键． 2.（2026•崇明区校级期中）不论x取何值时，下列分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、x＝0时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误； B、x＝﹣2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误； C、x＝﹣2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误； D、x为任意实数，x2+2≥2，分式总有意义，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： 3.（2025·上海徐汇·二模）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】本题主要考查函数的定义域及分式有意义的条件．根据分式有意义的条件即可得出函数的定义域． 【详解】解：由得， 故答案为：． 4.（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】该题考查了求解函数定义域，根据二次根式有意义和分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 5.若分式的值为零，则x的值为 　2　 ． 【分析】根据x2﹣4＝0且x+2≠0即可求解． 【解答】解：依题意，x2﹣4＝0且x+2≠0 解得：x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式的值是0的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6.如果分式的值为0，那么x的值为　 　 ． 【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x+2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x2﹣4＝0，且x+2≠0， 解得：x＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 7.如果分式值为零，那么x的值为 　 　 ． 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【解答】解：根据题意得：， 解得：x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 8.（2025秋•宝山区校级期中）当x＝　 　 时，分式的值为0． 【分析】根据分式的值为零的条件解答即可． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x﹣8＝0，且x﹣3≠0，解得：x＝8， ∴当x＝8时，分式的值为0．故答案为：8． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 9.（2025秋•闵行区校级期中）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣4且x≠0 B．x≥﹣4 C．x≠0 D．x≥﹣4且x≠0 【分析】根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【解答】解：∵3x2+1≥1＞0，分式的值是非负数， ∴x+4≥0，即x≥﹣4． ∴x的取值范围是x≥﹣4． 故选：B． 【点评】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（b≠0）时，说明分子、分母同号；分式（b≠0）时，分子、分母异号．熟练掌握以上知识点是关键． 考点二 分式的基本性质 1．分式的基本性质 类别 内容 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式中的符号法则 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。 2．约分 类别 内容 约分定义 约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 确定公因式方法 分为系数、字母、字母的指数来分别确定 约分结果情况 ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式 （负号处理）②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面 （形式要求）③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式 规律方法总结 由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分 3．通分 事项 内容 通分的定义 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 通分的关键 确定最简公分母 最简公分母 的确定方法 系数取各分母系数的最小公倍数 字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积 规律方法总结 通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式 4．最简分式与最简公分母 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 最简公分母的定义： 定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 1．（2025•闵行区模拟）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来一半 D．无法确定 【分析】将x、y分别扩大2倍后再进行化简即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变， 故选：A． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．（2026•虹口区校级月考）下列等式中，成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行判断即可． 【解答】解：A．，c+d，选项计算错误，不符合题意； B．，选项计算正确，符合题意； C．，，选项计算错误，不符合题意； D．，1，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 3．（2026•黄浦区校级月考）以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】通过代入具体数值或代数变形检验每个分式的化简是否正确，发现所有四个分式化简均错误． 【解答】解：代入具体数值或代数变形逐项分析判断如下： ①∵当x＝1时，左边，右边，右边≠左边， ∴①错误，符合题意； ②∵当x＝1，a＝2，b＝3时，左边，右边，右边≠左边， ∴②错误，符合题意； ③∵当x＝1，y＝1时，左边，右边＝1+1＝2，右边≠左边， ∴③错误，符合题意； ④∵，但右边＝x+y，除非y＝0，否则不相等， ∴④错误．符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质和分式的约分．熟练掌握以上知识点是关键． 4.（2025•上海模拟预测）化简分式的结果为 　 ． 【分析】先将分式的分母分解因式，然后约分即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确因式分解的方法． 5.（2026•宝山区校级期中）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 6.（2026•虹口区校级月考）分式的最简公分母是　 　 ． 【分析】先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【解答】解：先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解可得： ， ∴最简公分母为2x（x+1）（x﹣1）， 故答案为：2x（x+1）（x﹣1）． 【点评】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 考点二 分式的运算法则 1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 1.（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的加减运算；式子变形后为同分母的分式相减，再把分子相减即可求解． 【详解】解：； 故答案为：0． 2.（2025·上海崇明·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．按照计算方法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3.（2026•浦东新区月考）化简： 　 　 ． 【分析】先根据分式乘方法则计算，得到；再按分式乘法法则，将x与相乘，约分后得出结果． 【解答】解：（， 原式＝x•， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘方与乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘方和乘法运算法则． 4．（2026•普陀区月考）计算：　 　 ． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可得． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 考点三 整数指数幂 1．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 2．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 1.（2025·上海松江·二模）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分数指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及分数指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 2.（2025·上海浦东新区·二模）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，零指数幂，解题的关键是熟练掌握相关运算法则；根据实数的混合运算，分母有理化，零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 3.（2025·上海嘉定·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值，再分母有理化，再计算加减即可． 【详解】解： ． 4.（2025·上海崇明·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的混合运算法则． 根据绝对值的性质、二次根式分母有理化、立方根、零次幂运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 5.（2025·上海虹口·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，涉及零指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，再分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 6．（2025·上海金山·二模）计算：． 【答案】 【分析】该题考查了分数指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质等知识点，根据绝对值的性质、分数指数幂、分母有理化、负整数指数幂化简化简每一部分，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 7．（2025·上海静安·一模）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化进行化简即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 考点四 分数指数幂 1．定义与公式 分数指数幂是根式的另一种表示形式，核心公式： 正分数指数幂： 负分数指数幂： 为正整数， 2．关键前提 当根指数 为偶数时，底数 ； 当 为奇数时，底数 为任意实数； 负分数指数幂中，底数 。 3．易错点 ①混淆分子、分母的意义：分子是数指数，分母是根指数； ②忽略底数的取值范围限制，导致运算错误。 1.（2025·上海浦东新区·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，分数指数幂，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：、是有理数，故本选项不符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 、是无理数，故本选项符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：． 2.（2025·上海·模拟预测）计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分数指数幂，掌握二次根式和分数指数幂的运算法则是解题的关键． 根据绝对值、分数指数幂、二次根式的性质化简，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 3.（2025·上海杨浦·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，分数指数幂，零指数幂及实数的绝对值等知识，正确进行计算是解题的关键；分母化，计算分数指数幂，实数的绝对值及零指数幂，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 4.（2025·上海·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分数指数运算，分母有理化，负指数幂运算等，先进行分数指数运算，分母有理化，负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解；掌握分数指数运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 6.（2025·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 7.（2025·上海黄浦·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂等．先化简绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 8.（2025·上海·模拟预测）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用零指数幂、分数指数幂的运算法则计算即可．做题关键要掌握零指数幂、分数指数幂的计算法则． 【详解】解：原式 ． 命题点一 分式的概念及性质 ►题型01分式的概念及性质 分式有意义的条件： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【典例1】若分式有意义，则x的取值范围是　 ． 【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0， 解得x． 故答案为：x． 【点评】本题考查了 【变式1-1】（2025·上海普陀·二模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据分式有意义分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 【变式1-2】（2025•徐汇区校级期末）如果当x＝﹣1时，分式M的值为0，那么M可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【解答】解：A．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当x＝﹣1时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 【变式1-3】（2026•虹口区校级月考）已知x为正整数，则当x为　 　 时，为整数． 【分析】将原分数化为整数与真分数的和，利用整除性求解． 【解答】解：将原分数化为整数与真分数的和可得： ， 因为x为正整数， 所以x+1≥2，且为整数， 故x+1是2的正约数， 即x+1＝2， ∴x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了数的整除，正确进行计算是解题关键． 命题点二 分式的运算 ►题型01分式乘除运算 分式乘除运算方法可总结为： 1.乘法：分子乘分子、分母乘分母，结果约简（建议先约分再相乘，简化计算）； 2.除法：转化为乘法（乘以除数的倒数），再按乘法规则运算。 核心关键：约分（分子分母有公因式时先约掉），避免冗余计算。 注意：整数视为分母为1的分式，负号可提至分式前统一处理。 【典例1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-1】计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解；， 故答案为：． 【变式1-2】在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． ►题型02分式加减运算 1. 同分母：分母不变，分子相加或相减（分子为多项式时需加括号，避免符号错误）； 注意：分子运算后需检查是否能与分母约分，结果要化为最简分式。 2. 异分母分式加减步骤： （1）找最简公分母： 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母（或因式）：取各分母中所有不同字母（或因式）的最高次幂； 多项式分母：先分解因式（如），再取各因式的最高次幂； （2）通分：将每个分式的分子、分母同乘最简公分母与原分母的商，使分母变为最简公分母； （3）计算：分母不变，分子相加或相减，再约分得到最简结果； 特殊情况：若分式分母互为相反数，可通过变号转化为同分母（如）。 【典例1】（2025·上海虹口·二模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查同分母的分式的加减法运算，分母不变，分子相减，再进行约分即可． 【详解】解：原式； 故答案为：2． 【变式1-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的加减运算；式子变形后为同分母的分式相减，再把分子相减即可求解． 【详解】解：； 故答案为：0． 【变式1-2】计算 ． 【答案】 【分析】根据同分母分式相加，分母不变，只把分子相加，进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题要考查了同分母分式的加法，解题的关键是掌握：同分母分式相加，分母不变，只把分子相加． 【变式1-3】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分，再根据同分母的分式的减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查异分母的分式加减法．解题的关键是通分，将异分母化为同分母，再进行计算． ►题型03分式四则混合运算 分式四则混合运算的核心方法：①运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右依次进行。 ②运算要点：乘除运算→转除法为乘法（乘倒数）后约分；加减运算→找最简公分母通分，再合并分子（结果化为最简分式）。 ③易错提醒：注意符号（分式前的负号），避免通分、约分的漏项或计算错误。 【典例1】化简：= 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先化简小括号内分式，再将除法转化为乘法计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1-1】计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的四则运算以及二次根式的化简求值，根据分式的加法法则，除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 突破一 分式化简求值 【典例1】（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，包括因式分解、通分、约分等操作． 先对分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乖法，通过约分进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 当时， ． 【变式1-1】（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值化简，再把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， 把代入，原式． 【变式1-3】（2025·上海静安·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内分式减法运算，再将除法化为乘法进行计算，最后再代入，分母有理化即可． 【详解】解：原式 ． 把代入，原式=． 【变式1-4】（2025·上海闵行·二模）先化简：，再求当时此代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-5】（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-6】（2025·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，先分解因式约分，再根据同分母分式加减法则把所求式子化简，最后把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-7】（2025·上海杨浦·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可打得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-8】（2025·上海闵行·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，对所给分式进行化简，并求值即可． 【详解】解：原式 . 当时， ； 1.（2025·上海·模拟预测）下列式子从左边至右边变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. ，正确，不符合题意； D. ，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 2.（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分数指数幂的运算，掌握运算法则是解题关键． 将化为进行计算． 【详解】解：， 故答案为：2． 3.（2025·上海·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可． 【详解】解：， 故答案为： 4.已知，求自变量取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负． 5.（2025·上海·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算等知识，熟练掌握分式的运算法则是关键．先计算括号内的分式的减法，再计算分式的除法得到化简结果，再把字母的值代入化简结果，利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 1.（2025·上海·模拟预测）如果分式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故，解得． 考点：分式有意义的条件． 2.（2025·上海闵行·二模）化简： ． 【答案】 【分析】先利用分式的基本性质进行通分，然后再进行同分母分式相减即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 3.（2025·上海·模拟预测）计算：2﹣1﹣20= ． 【答案】﹣ 【分析】根据负整数指数幂，零次幂，可得答案． 【详解】原式=﹣1=﹣. 故答案为- 4.（2025·上海虹口·二模）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、分数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式= ． 【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解题的关键是熟练掌握分数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 1.（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 2.（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 3.（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 4.（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $分式的基本概念 0 分式的基本性质 3 分式 1. 零指 整数指数幂 2. 负整 1. 定义 分数指数幂 2.关键 般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子合叫做分式。 分式的定义 注意事项：分母不能为。 分式有意义：分母不等于零。 分式无意义：分母等于零。 分式有意义的条件 分式的值为正数：分子、分母同号。 分式的值为负数：分子、分母异号。 分子等于零。 分式的值为零的条件 分母不等于零。 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式的基本性质 分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。 定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 约分 寻找公因式方法：分为系数、字母、字母的指数来分别确定。 定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。 系数取各分母系数的最小公倍数。 通分 最简公分母的寻找方法： 字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积。 规律方法总结：通分时若各分式的分母能分解因式，必须先分解因式，再找最简公分母。 a0=1(a≠0) 数幂 0注意：00≠1 ap= :(a≠0，p为正整数) 数指数幂 计算时避免错误，如(-3)一2≠(-3)×(-2) 注意： 当底数是分数时，可颠倒分子、分母将负指数变为正指数。 混合运算中注意顺序。 正分数指数幂：a咒=am 与公式 负分数指数幂：Q号=a(m,n为正整数，n>1) 当根指数m为偶数时，底数a>0。 前提 当n为奇数时，底数a为任意实数。 负分数指数幂中，底数a≠0。 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一分式的概念及性质 题型01分式的概念及性质 命题点二 分式的运算 题型01分式乘除运算 题型02分式加减运算 题型03分式四则混合运算 05·重难突破·思维进阶 11 突破一 分式化简求值 06·优题精选·练能提分 15 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求 分式的概念 分式的定义、有意义/值为0的条件 2023T10 2024T2 2025T10 理解分式的定义，掌握分式有意义（分母≠0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件 分式的基本性质 约分、通分（分式基本性质的应用） 2024T8 2025T9 掌握分式的基本性质（分子分母同乘/除不为0的整式，值不变），能进行约分、通分 分式的运算 分式的乘除运算（含约分） 2024T8 掌握分式乘除运算的法则，能结合因式分解进行约分计算 分式的加减运算（含通分） 2025T9 掌握分式加减运算的法则，能通过通分进行异分母分式的加减计算 分式的化简求值 2023T21 2024T21 运用分式的运算规则，结合因式分解对分式进行化简，并代入使分式有意义的数值求值 命题预测 2026年上海中考分式模块命题将延续“题型以选择、填空、计算为主，考点聚焦分式有意义/值为0的条件、分式基本性质（约分通分）、分式的乘除/加减运算、化简求值”的特点，侧重概念理解与运算规范性，可能融入因式分解的综合化简，强调运算的准确性与分式有意义条件的验证 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 理解分式有意义/值为0的条件，标注分母不为0的隐含要求，训练T2、T10类基础题；2. 掌握分式基本性质，训练约分通分，结合因式分解辅助分式运算；3. 分层练习分式乘除、加减运算，总结化简步骤，练习化简求值题并验证代入值的合理性；4. 规避分式运算的符号、约分不彻底等陷阱，整理近3年真题归纳命题规律，强化基础题与计算题主得分率 考点一 分式的基本概念 1．分式的定义 类别 内容 分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 注意事项 分母不能为0 2．分式有意义的条件 情况 条件 分式有意义 分母不等于零 分式无意义 分母等于零 分式的值为正数 分子、分母同号 分式的值为负数 分子、分母异号 3．分式的值为零的条件 条件 说明 分子 等于零 分母 不等于零（此条件不能少） 1.（2025•青浦区校级期中）在代数式2x，1，，，，中，分式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2026•崇明区校级期中）不论x取何值时，下列分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·上海徐汇·二模）函数的定义域是 . 4.（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 5.若分式的值为零，则x的值为 　2　 ． 6.如果分式的值为0，那么x的值为　 　 ． 7.如果分式值为零，那么x的值为 　 　 ． 8.（2025秋•宝山区校级期中）当x＝　 　 时，分式的值为0． 9.（2025秋•闵行区校级期中）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣4且x≠0 B．x≥﹣4 C．x≠0 D．x≥﹣4且x≠0 考点二 分式的基本性质 1．分式的基本性质 类别 内容 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式中的符号法则 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。 2．约分 类别 内容 约分定义 约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 确定公因式方法 分为系数、字母、字母的指数来分别确定 约分结果情况 ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式 （负号处理）②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面 （形式要求）③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式 规律方法总结 由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分 3．通分 事项 内容 通分的定义 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 通分的关键 确定最简公分母 最简公分母 的确定方法 系数取各分母系数的最小公倍数 字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积 规律方法总结 通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式 4．最简分式与最简公分母 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 最简公分母的定义： 定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 1．（2025•闵行区模拟）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来一半 D．无法确定 2．（2026•虹口区校级月考）下列等式中，成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•黄浦区校级月考）以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（2025•上海模拟预测）化简分式的结果为 　 ． 5.（2026•宝山区校级期中）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 6.（2026•虹口区校级月考）分式的最简公分母是　 　 ． 考点二 分式的运算法则 1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 1.（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 2.（2025·上海崇明·二模）计算： ． 3.（2026•浦东新区月考）化简： 　 　 ． 4．（2026•普陀区月考）计算：　 　 ． 考点三 整数指数幂 1．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 2．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 1.（2025·上海松江·二模）计算：． 2.（2025·上海浦东新区·二模）计算：． 3.（2025·上海嘉定·二模）计算：． 4.（2025·上海崇明·二模）计算：． 5.（2025·上海虹口·二模）计算：． 6．（2025·上海金山·二模）计算：． 7．（2025·上海静安·一模）计算：． 考点四 分数指数幂 1．定义与公式 分数指数幂是根式的另一种表示形式，核心公式： 正分数指数幂： 负分数指数幂： 为正整数， 2．关键前提 当根指数 为偶数时，底数 ； 当 为奇数时，底数 为任意实数； 负分数指数幂中，底数 。 3．易错点 ①混淆分子、分母的意义：分子是数指数，分母是根指数； ②忽略底数的取值范围限制，导致运算错误。 1.（2025·上海浦东新区·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·上海·模拟预测）计算的值． 3.（2025·上海杨浦·模拟预测）计算：． 4.（2025·上海·三模）计算：． 5．计算：． 6.（2025·上海·中考真题）计算：． 7.（2025·上海黄浦·二模）计算：． 8.（2025·上海·模拟预测）计算：． 命题点一 分式的概念及性质 ►题型01分式的概念及性质 分式有意义的条件： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【典例1】若分式有意义，则x的取值范围是　 ． 【变式1-1】（2025·上海普陀·二模）函数的定义域是 ． 【变式1-2】（2025•徐汇区校级期末）如果当x＝﹣1时，分式M的值为0，那么M可以是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026•虹口区校级月考）已知x为正整数，则当x为　 　 时，为整数． 命题点二 分式的运算 ►题型01分式乘除运算 分式乘除运算方法可总结为： 1.乘法：分子乘分子、分母乘分母，结果约简（建议先约分再相乘，简化计算）； 2.除法：转化为乘法（乘以除数的倒数），再按乘法规则运算。 核心关键：约分（分子分母有公因式时先约掉），避免冗余计算。 注意：整数视为分母为1的分式，负号可提至分式前统一处理。 【典例1】计算 ． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． ►题型02分式加减运算 1. 同分母：分母不变，分子相加或相减（分子为多项式时需加括号，避免符号错误）； 注意：分子运算后需检查是否能与分母约分，结果要化为最简分式。 2. 异分母分式加减步骤： （1）找最简公分母： 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母（或因式）：取各分母中所有不同字母（或因式）的最高次幂； 多项式分母：先分解因式（如），再取各因式的最高次幂； （2）通分：将每个分式的分子、分母同乘最简公分母与原分母的商，使分母变为最简公分母； （3）计算：分母不变，分子相加或相减，再约分得到最简结果； 特殊情况：若分式分母互为相反数，可通过变号转化为同分母（如）。 【典例1】（2025·上海虹口·二模）计算： ． 【变式1-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【变式1-2】计算 ． 【变式1-3】计算的结果是 ． ►题型03分式四则混合运算 分式四则混合运算的核心方法：①运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右依次进行。 ②运算要点：乘除运算→转除法为乘法（乘倒数）后约分；加减运算→找最简公分母通分，再合并分子（结果化为最简分式）。 ③易错提醒：注意符号（分式前的负号），避免通分、约分的漏项或计算错误。 【典例1】化简：= 【变式1-1】计算 ． 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）先化简再求值：，其中． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 突破一 分式化简求值 【典例1】（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1-1】（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1-3】（2025·上海静安·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1-4】（2025·上海闵行·二模）先化简：，再求当时此代数式的值． 【变式1-5】（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1-6】（2025·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1-7】（2025·上海杨浦·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1-8】（2025·上海闵行·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 1.（2025·上海·模拟预测）下列式子从左边至右边变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·上海·模拟预测）计算： ． 3.（2025·上海·二模）化简： ． 4.已知，求自变量取值范围 ． 5.（2025·上海·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 1.（2025·上海·模拟预测）如果分式有意义，那么的取值范围是 ． 2.（2025·上海闵行·二模）化简： ． 3.（2025·上海·模拟预测）计算：2﹣1﹣20= ． 4.（2025·上海虹口·二模）计算：． 1.（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 3.（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 4.（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $