精品解析：湖北随州市广水市2025-2026学年上学期期末质量监测八年级数学试题

2025-2026学年度上学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题纸上指定的位置． 2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生只需要上交答题纸，试题自己保留或听学校统一安排． 一、单选题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确答案） 1. 要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】分式有意义应满足分母不为0，即， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件（分母不等于零），正确把握定义是解题关键． 2. 如图，在中，D为上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，然后利用三角形内角和定理与三角形的外角性质求出，再根据已知条件列式计算即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和为与三角形的外角性质是解答此题的关键． 3. 如果是完全平方式，则的值为（ ）． A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方式的定义解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴k==． 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是完全平方式的定义，属于应知应会题型，熟练掌握完全平方式的概念是关键． 4. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗10升），若按照此“粟米之法”，设可以换得的粝米为升，则下列方程正确的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，本题首先要弄清题意，正确列出方程是解决本题的关键． 先将单位换成升，根据题意，列方程式即可． 【详解】解：根据题意得：3斗30升， 设可以换得的粝米为升， 根据题意得：， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，，如果存在点，使和全等，则下列选项中不符合题意的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况．先画出图形，再根据图形作答即可. 【详解】解：如图所示： ∴有3个点，当E在D、F处以及本身处时，和全等， 则点E的坐标是：，，， 故选：B． 6. 如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角 ，， 连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（　　） A. DB＝DC B. OA＝OD C. ∠BDA＝∠CDA D. ∠BAD＝∠CAD 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于点N， DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DM，DH=DN，则DM=DV，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到AD平分∠BAC，从而得到正确答案． 【详解】解：如图，过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于点N， DH⊥BC于H， ∵BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF， ∴DH=DM，DH=DN， ∴DM=DN， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质定理和逆定理是解题的关键． 7. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 二、填空题（共5题，共15分） 8. 当______时，分式的值为零． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可． 【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键． 9. 若，，则_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法与幂的乘方逆运算的性质，掌握同底数幂的除法与幂的乘方的逆运算是解此题的关键． 由，，利用同底数幂的除法的性质，即可求得的值，又由，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． 10. 如图，在中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．下列结论正确的是______（填所有正确答案的序号）． ①；②；③；④，分别表示和的面积，则． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质和等角的余角相等证得，，根据全等三角形的判定与性质可判断①和②；由是变化的，为定值可判断③；再根据等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短可判断④． 【详解】解：，，是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 是变化的，而为定值，故③错误； ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 时，最小，且，则最小为， 当点与或重合时，最大，则最大为， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分） 11. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 12. 如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据已知得出，根据证，即可； （2）根据，则可得，，则可求得的长． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， 在与中， , ∴， 【小问2详解】 解：∵ ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴对称的； （2）写出点，，的坐标(直接写答案)： （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，点的坐标，利用网格求三角形的面积．解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点、、关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）结合图形直接得出三个点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，，，； 【小问3详解】 解：的面积是． 14. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为30元 （2）“超超”的售价最低应该定为每件42元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 15. 【知识生成】通过第八章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： （1）写出图1中所表示的数学等式______； （2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______； （3）【知识应用】若，，求的值； （4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和12，则正方形A，B的面积之和______． 【答案】（1） （2） （3） （4）正方形A，B的面积之和为15 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）图1中大正方的边长为，因此面积为，图1中4个部分的面积和为，由此即可得解； （2）图2中阴影部分的面积可以表示为4个长方形的面积之和，还可以表示为大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得解； （3）利用（2）中得到的公式计算即可得解； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，求出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：图1中大正方的边长为，因此面积为， 图1中4个部分的面积和为， ∴； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分的面积可以表示为4个长方形的面积之和，即， 还可以表示为大正方形的面积减去小正方形的面积，即， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和12， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为． 16. 综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）结合（1）可知，再根据与同高即可求解； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； （3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 17. 综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题纸上指定的位置． 2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生只需要上交答题纸，试题自己保留或听学校统一安排． 一、单选题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确答案） 1. 要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，D为上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如果是完全平方式，则的值为（ ）． A. 2 B. C. 4 D. 4. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗10升），若按照此“粟米之法”，设可以换得的粝米为升，则下列方程正确的是：（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，，如果存在点，使和全等，则下列选项中不符合题意的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角 ，， 连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（　　） A. DB＝DC B. OA＝OD C. ∠BDA＝∠CDA D. ∠BAD＝∠CAD 7. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，共15分） 8. 当______时，分式的值为零． 9. 若，，则_______． 10. 如图，在中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．下列结论正确的是______（填所有正确答案的序号）． ①；②；③；④，分别表示和的面积，则． 三、解答题（共9题，共75分） 11. 因式分解： （1）； （2） 12. 如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为． （1）求证：． （2）求的长． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴对称的； （2）写出点，，的坐标(直接写答案)： （3）求的面积． 14. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 15. 【知识生成】通过第八章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： （1）写出图1中所表示的数学等式______； （2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______； （3）【知识应用】若，，求的值； （4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和12，则正方形A，B的面积之和______． 16. 综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 17. 综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $