第12讲 反比例函数及应用（复习讲义，14题型1重难）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“反比例函数及应用”，覆盖概念性质、k的几何意义、与一次函数综合、实际应用四大核心考点，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-真题训练-分层练习”系统复习框架，通过题型分类讲解和真题精析帮助学生突破图像判断、面积计算等难点。 亮点在于以“数形结合”为核心，结合k的几何意义和跨学科建模（如物理压强问题）培养几何直观与模型意识，设计“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习，配合5分钟限时真题训练，助力学生高效掌握解题策略，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第04讲 反比例函数及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 11 命题点一 反比例函数的图像与性质 题型01反比例函数的概念 题型02反比例函数图像的判断 题型03已知反比例函数图像，判断解析式 题型04求反比例函数解析式 题型05反比例函数的对称性 题型06判断反比例函数所在象限 题型07已知反比例函数所在象限求参数 题型08反比例函数值大小比较 命题点二 反比例函数与系数k的关系 题型01已知系数k求图形面积 题型02已知图形面积求反比例函数系数k 命题点三 反比例函数与一次函数关系 题型01反比例函数与一次函数图像判断 题型02一次函数与反比例函数图像交点问题 命题点四 反比例函数的应用 题型01一次函数与反比例函数的实际应用 题型02反比例函数的实际应用 05·重难突破·思维进阶 25 突破一 实数规律性运算探究 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的概念与性质 浙江卷 T5 浙江卷 T9 嘉兴卷T8 宁波卷T17 衢州卷T15 绍兴卷T15 理解反比例函数的意义；能根据实际问题列出表达式；掌握k 的几何意义；能画出图像，分析其增减性与对称性 反比例函数与一次函数综合 / / 杭州卷T20 湖州卷T10 温州卷T20 能求解一次函数与反比例函数的交点；能结合图像比较函数值大小、解决综合问题 反比例函数的应用 / / 温州卷 T15 能用反比例函数模型解决实际问题（如面积、工程、物理相关） 命题预测 从近三年的浙江中考数学真题来看，反比例函数常以“数形结合”为核心，分值约占6-10分，考点高度集中在k的几何意义、图象的增减性判断以及双曲线的对称性；基础题侧重考察k的正负与象限分布、点在曲线上的坐标特征，解答题则多将反比例函数与一次函数、几何图形（如矩形、三角形）综合，利用 k的绝对值等于相关几何图形面积的特性进行解析式逆推或最值求解。在趋势预测上，2026年浙江中考预计将加大对“跨学科建模”的考查，如结合物理学中的压力压强、杠杆原理或电路电流等真实情境建立反比例模型，同时，反比例函数与动态几何（如动点产生的面积问题）的结合将更具灵活性，侧重考查考生在图形运动中捕捉代数恒量的能力。备考策略方面，考生应深刻理解k的几何意义及其在面积转换中的应用，熟练掌握反比例函数的对称性以简化运算；加强对“函数图象上点的坐标特征”这一核心抓手的运用，提升处理双曲线与多边形交叠区域面积的能力；针对综合题，考生需专项训练“双函数图象交点”类题型，学会通过解方程组与观察图象位置关系，协同解决相关的不等式或参数范围问题。 考点一 反比例函数的基本概念与图像性质 1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 2.反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 3.反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1.（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2.（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 3.（2023·浙江·中考真题）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 4.（2020·浙江舟山·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 5.9 2 6.5 7.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 考点二 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 1.（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 2.（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3.（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 4.（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求一次函数与轴的交点坐标； (3)利用图象直接写出不等式的解集． 考点三 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1.（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 2.（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    3.（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 4.（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 5.（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 6.（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 7.（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的概念 【典例1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下表中和两个量成反比例关系，则的值是（    ） x a y 2 A． B． C． D． 【变式1-2】（2026八年级下·全国·专题练习）若函数是反比例函数，试求的值． ►题型02 反比例函数图像判断 【典例2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知反比例函数的图像如图所示，则在同一直角坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． ►题型03 已知反比例函数图像，判断解析式 【典例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 ►题型04 求反比例函数解析式 【典例4】（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为一次函数上横坐标为2的点．反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，且点平分． (1)求该反比例函数的表达式； (2)过点且平行于轴的直线交反比例函数图象于点，求的面积． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知与成反比例函数关系，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时，的值． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． ►题型05 反比例函数的对称性 【典例5】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建福州·月考）直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 ►题型06 判断反比例函数所在象限 【典例6】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【变式6-1】（25-26九年级上·广东清远·期末）小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 ►题型07 已知反比例函数所在象限求参数 【典例7】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限，则m的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式7-2】（25-26九年级上·山东日照·期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·云南红河·月考）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型08 反比例函数值大小比较 【典例8】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知、均在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025九年级下·天津·专题练习）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【变式8-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则 ．（填“”“”或“”） 命题点二 反比例函数与系数k的关系 ►题型01 已知系数k求图形面积 【典例1】（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ．（用含k的式子表示） 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，延长交轴于点，则四边形的面积为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为坐标原点，是反比例函数的图象上任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设的面积为的面积为，则与之间的大小关系为： ．（填“”“”或“”） ►题型02 已知图形面积求反比例函数系数k 【典例2】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D．不能确定 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，过反比例函数的图象上任意一点P作轴于点M，若的面积等于4，则该反比例函数的表达式是 ． 【变式2-3】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为 ． 命题点三 反比例函数与一次函数的关系 ►题型01 反比例函数与一次函数图像判断 【典例1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数与反比例函数图像交点问题 【典例2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于，两点，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数图像，直接写出关于的不等式的解集： (3)已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 命题点四 反比例函数的应用 ►题型01 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例1】（25-26九年级上·山东德州·月考）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长． 【变式1-2】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． ►题型02 反比例函数的实际应用 【典例2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【变式2-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式； (2)若汽缸内气体压强不超过，则气体的体积范围是多少？ 【变式2-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）植树造林是面对日益严重的土地沙漠化问题的主要解决方案，已知当计划造林面积一定时，造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数关系如图所示． (1)求造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数解析式； (2)如果造林天数为天，那么每天的造林面积为多少公顷？ 【变式2-4】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在并联电路中，电源电压为，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：（，），已知为定值电阻，当变化时，干路电流也会发生变化，且干路电流与之间满足如下关系：． (1)定值电阻的阻值为______Ω； (2)小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：如表列出与的几组对应值，请写出m，n的值： ______， ______； … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 n … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①随的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是的图象向______平移______个单位而得到． 突破一 反比例函数与解析几何综合 【典例1】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，，分别与反比例函数的图象相交于点C，D，且，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为 ． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，若，则的值为 【变式1-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，，点在反比例函数的图象上．将绕点逆时针旋转，若点的对应点也在函数的图象上，则点坐标为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，连接． （1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则 ． （2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【变式1-5】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点，过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)分别求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点是一次函数上的一点，是坐标平面内的点，且与位似，且位似比为，求点的坐标； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的任意两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．图像在二、四象限 B．图像是轴对称图形 C．随增大而减小 D．图像经过点 2.（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知点，均在反比例函数（）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3.（21-22九年级上·山东烟台·月考）如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4.（2025九年级·浙江舟山·专题练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 6.（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7.（25-26九年级上·浙江台州·期末）直线与双曲线交于，两点，已知点坐标，则点坐标为 ． 8.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 9.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知的图象上有两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， 则 D．若，则 2.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 3.（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（　　） A． B． C． D． 4.（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 5.（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，已知点A在反比例函数（）的图象上，过点作轴于点B，点C是x轴上一点，连接为中点，连接并延长，交y轴于点E，连接．若的面积为5，则的值为 ． 6.（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的面积为 ． 7.（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 9.（25-26九年级上·浙江台州·期末）阅读与思考 下面是小天同学学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：__________． 问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器变阻器的阻值应控制在什么范围？ 方法 分析问题 解答过程 解法一 中，电流，可以得到关于的不等式并求解． 解：_____，且， _____， ， ，（依据： ★ ） ● ． 解法二 由，可以求出当电流时相应的值，再通过反比例函数的增减性求的取值范围． 提示：解答在答题卷上． 任务： (1)问题一中反比例函数的表达式为__________； (2)问题二中■表示：__________，★表示：__________；●表示：__________； (3)完成问题二中解法二的解答过程． 1.（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3.（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 4.（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 5.（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 6.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 7.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第04讲 反比例函数及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 19 命题点一 反比例函数的图像与性质 题型01反比例函数的概念 题型02反比例函数图像的判断 题型03已知反比例函数图像，判断解析式 题型04求反比例函数解析式 题型05反比例函数的对称性 题型06判断反比例函数所在象限 题型07已知反比例函数所在象限求参数 题型08反比例函数值大小比较 命题点二 反比例函数与系数k的关系 题型01已知系数k求图形面积 题型02已知图形面积求反比例函数系数k 命题点三 反比例函数与一次函数关系 题型01反比例函数与一次函数图像判断 题型02一次函数与反比例函数图像交点问题 命题点四 反比例函数的应用 题型01一次函数与反比例函数的实际应用 题型02反比例函数的实际应用 05·重难突破·思维进阶 56 突破一 实数规律性运算探究 06·优题精选·练能提分 66 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的概念与性质 浙江卷 T5 浙江卷 T9 嘉兴卷T8 宁波卷T17 衢州卷T15 绍兴卷T15 理解反比例函数的意义；能根据实际问题列出表达式；掌握k 的几何意义；能画出图像，分析其增减性与对称性 反比例函数与一次函数综合 / / 杭州卷T20 湖州卷T10 温州卷T20 能求解一次函数与反比例函数的交点；能结合图像比较函数值大小、解决综合问题 反比例函数的应用 / / 温州卷 T15 能用反比例函数模型解决实际问题（如面积、工程、物理相关） 命题预测 从近三年的浙江中考数学真题来看，反比例函数常以“数形结合”为核心，分值约占6-10分，考点高度集中在k的几何意义、图象的增减性判断以及双曲线的对称性；基础题侧重考察k的正负与象限分布、点在曲线上的坐标特征，解答题则多将反比例函数与一次函数、几何图形（如矩形、三角形）综合，利用 k的绝对值等于相关几何图形面积的特性进行解析式逆推或最值求解。在趋势预测上，2026年浙江中考预计将加大对“跨学科建模”的考查，如结合物理学中的压力压强、杠杆原理或电路电流等真实情境建立反比例模型，同时，反比例函数与动态几何（如动点产生的面积问题）的结合将更具灵活性，侧重考查考生在图形运动中捕捉代数恒量的能力。备考策略方面，考生应深刻理解k的几何意义及其在面积转换中的应用，熟练掌握反比例函数的对称性以简化运算；加强对“函数图象上点的坐标特征”这一核心抓手的运用，提升处理双曲线与多边形交叠区域面积的能力；针对综合题，考生需专项训练“双函数图象交点”类题型，学会通过解方程组与观察图象位置关系，协同解决相关的不等式或参数范围问题。 考点一 反比例函数的基本概念与图像性质 1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 2.反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 3.反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1.（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 2.（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 3.（2023·浙江·中考真题）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】A 【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案. 【详解】解：假设为， 为， . ， . 故选：A. 【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小 4.（2020·浙江舟山·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 5.9 2 6.5 7.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析． 【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为， 把x＝1，y＝6代入，得k＝6， ∴函数表达式为()； （2）∵k＝6＞0， ∴在第一象限，y随x的增大而减小， ∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点． 考点二 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 1.（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 2.（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是依据函数图象的上下关系解不等式，解决该题型题目时，根据函数图象位置的上下关系结合交点的坐标，找出不等式的解集是关键．根据函数图象的上下关系，结合交点的横坐标找出不等式的解集，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，发现： 当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方， 当时，x的取值范围是或 故选C 3.（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可． 【详解】（1）∵点的横坐标是2， ∴将代入 ∴， ∴将代入得，， ∴， ∵点的纵坐标是， ∴将代入得，， ∴， ∴将代入得，， ∴解得， ∴； （2）如图所示，    由题意可得，，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴直线经过原点． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4.（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求一次函数与轴的交点坐标； (3)利用图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点A的坐标，然后得出一次函数的解析式，进而利用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）令代入一次函数解析式进行求解即可； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：，点A在第三象限， ， 点坐标为． 把点代入， 得， 解得， 一次函数表达式为． 把代入，得． 反比例函数表达式为． （2）解：令，则，解得， 一次函数与轴交点坐标为． （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 考点三 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1.（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 2.（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 3.（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象及性质见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． （2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）由，，解不等式即可求解． 【详解】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画出图象如下：    性质：当时，随的增大而减小； （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 4.（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 5.（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时， ， 此时 ， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为： ， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 6.（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 7.（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】(1)． (2)该液体的密度为． 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． （2）解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的概念 【典例1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（为常数，，）的函数是反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数； B．符合反比例函数的形式，是反比例函数； C．由变形得，是正比例函数，不是反比例函数； D．是一次函数，不是反比例函数． 故选B． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下表中和两个量成反比例关系，则的值是（    ） x a y 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的运算，熟练掌握反比例函数式子是解题的关键． 反比例关系中，与的乘积为常数，利用已知数据求，再求即可． 【详解】∵与成反比例， ∴， 当，时，， 当时，， ∴，即， 故选：B． 【变式1-2】（2026八年级下·全国·专题练习）若函数是反比例函数，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的两种形式：和，由此需同时满足两个条件：自变量的指数为，且系数不为，据此列式求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解，得； 当时，，满足系数不为的条件； 当时，； 故答案为：． ►题型02 反比例函数图像判断 【典例2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知反比例函数的图像如图所示，则在同一直角坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，对系数、的符号进行判断是解题关键． 先由反比例函数图像判断出，再逐一验证每个选项中一次函数和二次函数的、符号是否一致且满足． 【详解】解：据题可知，， 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，符合要求； 故选：． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由二次函数图象可得到，由此可判断反比例函数和一次函数的图象所过象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 由二次函数图象知， ∴， 令得， 图象与轴交于， 由二次函数图象知抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：B． ►题型03 已知反比例函数图像，判断解析式 【典例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. ►题型04 求反比例函数解析式 【典例4】（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键； 利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于和的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：将点代入得，即， 将点代入得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为一次函数上横坐标为2的点．反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，且点平分． (1)求该反比例函数的表达式； (2)过点且平行于轴的直线交反比例函数图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键． （1）先求得点A、B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先求得点C坐标，再利用三角形的面积公式和坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， ∴， ∵点平分． ∴， 将代入中，得， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：∵过点且平行于轴的直线交反比例函数图象于点， ∴点C的纵坐标为4， 由得，则， ∴的面积为． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知与成反比例函数关系，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键； （1）与的函数关系式为，将，，代入计算即可； （2）将代入函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴的值为． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在该反比例函数的图象上， ∴ ∴； （2）解：反比例函数（为常数），当时，的值随值的增大而减小， ． ． ►题型05 反比例函数的对称性 【典例5】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建福州·月考）直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又 ，在双曲线上， ，， ． 故选：B． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． ►题型06 判断反比例函数所在象限 【典例6】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东清远·期末）小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合实际问题中变量的取值范围判断函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵ 受力面积， 由可得， ∵ 自变量，函数值， ∴ 该函数图象位于第一象限． 故选：A． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．先通过已知点求出k的值，再根据k的正负判断函数图象所在象限． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将点代入函数表达式得， ， 当时，函数图象位于第二、四象限． 故选：B． ►题型07 已知反比例函数所在象限求参数 【典例7】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数图象在第二、第四象限的条件，得出比例系数小于0，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限，则m的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 反比例函数图象在第一、三象限时，比例系数大于零，转化为关于待定字母的不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：A． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东日照·期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的分布，熟练掌握分布特点是解题的关键．反比例函数的图象在第一、三象限时，比例系数大于0． 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象经过第一、三象限， ∴ 比例系数 ， ∴ ， 故选：B． 【变式7-3】（25-26九年级上·云南红河·月考）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 根据反比例函数中，时图象的两支分布在第二、四象限，时图象的两支分布在第一、三象限，进行求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象的两支分布在第二、四象限， ∴ 比例系数，即， ∴， 故选：D． ►题型08 反比例函数值大小比较 【典例8】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知、均在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 首先判断出反比例函数图象在第二，四象限，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵点，是反比例函数的图像上的两点， ∵ ∴反比例函数图象在第二，四象限 ∵ ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴的值不确定，． 故选：D． 【变式8-1】（2025九年级下·天津·专题练习）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及非负数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与象限分布，并结合点的坐标范围比较函数值大小是解题的关键．先确定反比例函数比例系数的符号，明确函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的范围，结合函数性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ∴点在第二象限， ∴． ∵， ∴点、在第四象限，结合第四象限内函数的增减性， ∴． ∴， 故选：D． 【变式8-2】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小．将各点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的纵坐标，再比较大小．即可作答． 【详解】解：对于点，有； 对于点，有； 对于点，有． 比较得，即． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 由点在反比例函数图象上，求得，再根据反比例函数的增减性求解． 【详解】解：将点代入反比例函数， 得， 解得：， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：>． 命题点二 反比例函数与系数k的关系 ►题型01 已知系数k求图形面积 【典例1】（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，延长交轴于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化．关键是通过全等三角形将四边形的面积转化为规则图形面积的差，利用反比例函数的几何意义简化计算． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则． ∵四边形是平行四边形， ∴且，，， ，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 又， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，且， ∴． ∵点在上，点在上， ∴，； ∴； 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为坐标原点，是反比例函数的图象上任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设的面积为的面积为，则与之间的大小关系为： ．（填“”“”或“”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，熟练掌握的几何意义是解题的关键． 根据反比例图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积即可得出结论． 【详解】解：根据反比例函数的系数的几何意义可得：． 故答案是：=． ►题型02 已知图形面积求反比例函数系数k 【典例2】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，再根据反比例函数的图象经过第一象限，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，且， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，过反比例函数的图象上任意一点P作轴于点M，若的面积等于4，则该反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据图形面积求比例系数． 根据值的几何意义得到的面积，结合反比例函数图象所在象限进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知的面积， ∴， ∵图象过第二象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式是． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，连接，设反比例函数的解析式为，先得到，再根据求出k的值解答即可． 【详解】解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 命题点三 反比例函数与一次函数的关系 ►题型01 反比例函数与一次函数图像判断 【典例1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意； 反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象性质，熟练掌握一次函数中、的符号对图象的影响，以及反比例函数中的符号对图象所在象限的影响是解题的关键． 根据一次函数的图象，判断出、的符号，进而判断的符号，再与反比例函数的图象特征进行比对，逐一排除矛盾选项． 【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴一致，成立． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． ►题型02 一次函数与反比例函数图像交点问题 【典例2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2) 【分析】本题考查求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个解析式，可得点的坐标，用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：两函数图象相交于点， ， 解得， 反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：联立， 解得（舍去），， ∴点的坐标为． 当时，，， ∴． ∴的面积为． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． （2）解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于，两点，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数图像，直接写出关于的不等式的解集： (3)已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】(1)． (2)或． (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、利用函数图像解不等式、三角形面积计算等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）先根据反比例函数解析式和、两点的纵坐标，求出、两点的坐标；再将、两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和，得到一次函数解析式． （2）将不等式变形为；结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方（含交点）时的取值范围． （3）先求出直线AB与轴交点的坐标，再求出点（关于轴的对称点）的坐标；利用（或）计算三角形面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴． ∵点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴． ∵一次函数过、， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵， ∴， ∵，． ∴由图像可知，解集为或． （3）解：如图， ∵直线：与轴交于， ∴当时，， ∴． ∵是关于轴的对称点， ∴， ∴． ． 命题点四 反比例函数的应用 ►题型01 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例1】（25-26九年级上·山东德州·月考）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 【变式1-1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 【变式1-2】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． ►题型02 反比例函数的实际应用 【典例2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】(1)变量与满足反比例函数关系， (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式； (2)若汽缸内气体压强不超过，则气体的体积范围是多少？ 【答案】(1) (2)气体的体积范围是 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）求解当时，，再结合函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为． （2）解：在中， ∵汽缸内气体压强不超过，即， 当时，， ∴， ∴若汽缸内气体压强不超过，则气体的体积范围是． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可． 【详解】（1）由题可知，时，， ，解得， 答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为； （2）证明：时，即， 时，即， 则，， ， ， 又 与的相似比为， 与的“视觉比”为． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）植树造林是面对日益严重的土地沙漠化问题的主要解决方案，已知当计划造林面积一定时，造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数关系如图所示． (1)求造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数解析式； (2)如果造林天数为天，那么每天的造林面积为多少公顷？ 【答案】(1)； (2)公顷 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，核心是根据“造林总面积=每天造林面积×造林天数”确定函数类型，结合图象上的已知点求解解析式，再利用解析式解决实际问题． （1）首先根据题意判断与是反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式，将图象上的已知点代入解析式，求出比例系数，即可得到函数解析式； （2）将造林天数代入所求的反比例函数解析式，通过解方程求出对应的每天造林面积的值． 【详解】（1）解：根据题意，造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间是反比例函数关系，设函数解析式为． 由函数图象可知，当时，，将其代入解析式得：， 解得， ∴造林天数与每天造林面积之间的函数解析式为； （2）解：当时，代入得：， 解得：， 答：每天的造林面积为公顷． 【变式2-4】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在并联电路中，电源电压为，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：（，），已知为定值电阻，当变化时，干路电流也会发生变化，且干路电流与之间满足如下关系：． (1)定值电阻的阻值为______Ω； (2)小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：如表列出与的几组对应值，请写出m，n的值： ______， ______； … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 n … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①随的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是的图象向______平移______个单位而得到． 【答案】(1)6； (2)①2.5，2；②作图见解析 (3)①减小；②上，1． 【分析】本题考查函数图象，涉及到画函数图象、函数的性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连线画函数图象，再利用数形结合的思想理解函数的性质． （1）根据，，关联两个等式计算即可求解； （2）①将，分别代入计算即可求解；②根据题（2）①表格数据，先描出各点，顺次连接各点即可画出所求函数图象； （3）①根据题（2）②所求图象特征即可得到结论；②根据反比例函数平移规律即可求解． 【详解】（1）解：∵并联电路，， ∴，即， 故答案为：6； （2）①当时，，即， 当时，，即， 故答案为：2.5，2； ②如图所示： 先描出点,再顺次连接这些点即可画出所求函数图象， （3）解：①由题（2）②所求图象可知，随的增大而减小， 故答案为：减小； ②根据反比例函数平移规律可得：向上平移1个单位可得：， 故答案为：上，1． 突破一 反比例函数与解析几何综合 【典例1】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，，分别与反比例函数的图象相交于点C，D，且，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴点D的纵坐标为 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，若，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，覆盖代数、函数、几何三大板块．先联立直线与双曲线方程，结合韦达定理和双曲线性质推得、，从而证明；再联立与直线确定为中点，结合得平分，进而推出等角并证明三角形全等；最后将的面积转化为与的面积和，计算得面积． 【详解】解：设，，因为在双曲线上，所以，． 联立，得到， ∴， 可得，同理． ∵， ∴． 如图，作直线与直线相交于点，则， 联立，解得， ∴， 而中点的横坐标为， ∴是的中点， ∵， ∴． ∴． 在和中：， 所以． 同理可证， ∴． ∵点、在双曲线上，轴于，轴于， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，，点在反比例函数的图象上．将绕点逆时针旋转，若点的对应点也在函数的图象上，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形的旋转和勾股定理等内容； 过点作交于点，过点作交于点，先求出点，得到反比例函数为，在中，由勾股定理得，，代入得到，解得的值，即可解决． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， ∵将绕点逆时针旋转，点的对应点也在函数的图象上， ∴，设点， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ， 令，则，整理得， 解得，， 当时，，，即； 当时，，，即， ∵点在点的左方， ∴点坐标为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，连接． （1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则 ． （2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质并添加合适的辅助线是关键． （1）分别过点作轴于点轴于点，根据题意，可得点根据即可得到答案； （2）点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为．设点，则得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，分别过点作轴于点轴于点， 则． ． 根据题意，可得点 （2）如图2，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为． 根据旋转的性质得到 ∵点， 设点，则 ， 点 ∵点在反比例函数的图象上， ， 解得（舍去）， 点． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 【变式1-5】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点，过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)分别求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点是一次函数上的一点，是坐标平面内的点，且与位似，且位似比为，求点的坐标； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的任意两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点坐标为， 【分析】（1）先计算出点坐标，根据，计算出点坐标，使用待定系数法求出函数的解析式； （2）分点在点上方和下方两种情况讨论，根据位似的性质计算出和，从而得到点的坐标； （3）设点R的坐标为，根据勾股定理表示出、、，分为和两种情况，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，轴， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， 对于，当时，， ∴点坐标为，即， ∴， ∴点坐标为， 把点分别代入和，得： ，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解： ①当点P在点B的下方时，如图， 由位似的性质可知，，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的上方时，如图， 同理①可得，，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：设点R的坐标为， 由勾股定理可得， ，，， ①当时，则， ∴， 化简，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，或， 当时，点与点重合，故舍去， 当时，点与点在一条直线上，不能构成三角形， ∴点坐标为，； ②当时，则， ∴ 化简，得， 判别式， ∴该方程无实数根，故舍去； 综上所述，点坐标为，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，位似的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． 1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．图像在二、四象限 B．图像是轴对称图形 C．随增大而减小 D．图像经过点 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的性质，图像位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小，图像关于原点中心对称且关于直线和轴对称，并可通过代入点验证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵函数是反比例函数，， ∴图像位于第一、三象限，故该选项错误，不符合题意； 、∵图像关于直线和轴对称， ∴是轴对称图形，该选项正确，符合题意； 、∵在每个象限内随增大而减小，故该选项错误，不符合题意； 、∵当时，， ∴图像不经过点，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 2.（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知点，均在反比例函数（）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关系． 根据，可知该反比例函数的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，均在反比例函数（）的图象上，且， ∴ ． 故选：C． 3.（21-22九年级上·山东烟台·月考）如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 4.（2025九年级·浙江舟山·专题练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点，利用函数图象表示的意义即可解不等式，表示一次函数的图象在反比例函数图象的下方，数形结合即可得到x的范围． 【详解】解：表示一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 由图可知，或， 故选：B． 5.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．凡是反比例函数图象上的点，横纵坐标之积进行分析即可． 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、当时，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 6.（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限以及增减性是解题的关键． 根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数中，， 图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小， 当时，点在第一象限、在第三象限，，故A选项错误，不符合题意； 当时，则，点、均在第三象限，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则，点、均在第三象限，，故C选项正确，符合题意； 当时，则，点在第三象限、在第一象限，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 7.（25-26九年级上·浙江台州·期末）直线与双曲线交于，两点，已知点坐标，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数，熟练掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． 将点代入双曲线方程求，再代入直线方程求，再联立直线与双曲线方程求解交点，得到点坐标． 【详解】解：将点代入双曲线得 ， 解得， 则双曲线方程为 将点代入直线得 ， 解得， 则直线方程为， 联立方程：， 解得或， 对应点， 则为点的横坐标，代入得 故点坐标为 故答案为：． 8.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 9.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为6，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，则， ， ∵的面积为6， ∴， ． 故答案为：． 1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知的图象上有两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， 则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数性质，由点A和点B在函数图象上，可得与关于t的表达式，再通过t的取值范围判断和的符号及大小关系． 【详解】解：∵点和在的图象上， ∴，， ∴，. 对于选项B：若，则， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴，故选项B正确； 其他选项均可通过反例排除：选项A，当时，，，不满足；选项C，当时，，不满足；选项D，当时，，，，不满足， 故选：B． 2.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数值的计算与比较，关键是根据函数解析式求值并排序． 通过计算各函数在给定x值处的y值，并比较大小，判断是否满足． 【详解】解：选项A：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项B：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项C：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项D：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，满足； ∴这个函数可能是． 故选：D． 3.（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，位似图形的性质，相似多边形的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算，相似多边形的性质是解题的关键． 根据题意，四边形，是矩形，，，由相似多边形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数 的图象上， ∴四边形也是矩形，， ∴相似比为， 故选：A ． 4.（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 5.（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，已知点A在反比例函数（）的图象上，过点作轴于点B，点C是x轴上一点，连接为中点，连接并延长，交y轴于点E，连接．若的面积为5，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，正确理解的几何意义是解题的关键． 连接，，可得，根据的几何意义可得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵反比例函数图象在第三象限， ∴． 故答案为：10． 6.（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，求出的面积，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴轴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ， 故答案为：． 7.（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1)0.8，1.4 (2) 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，准确求出反比例函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数． ∴设反比例函数解析式为 把代入，得 ∴ 反比例函数解析式为 ∴当时，， 当时，， 故答案为：0.8，1.4 （2）解；当时，； 当时， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴ 9.（25-26九年级上·浙江台州·期末）阅读与思考 下面是小天同学学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：__________． 问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器变阻器的阻值应控制在什么范围？ 方法 分析问题 解答过程 解法一 中，电流，可以得到关于的不等式并求解． 解：_____，且， _____， ， ，（依据： ★ ） ● ． 解法二 由，可以求出当电流时相应的值，再通过反比例函数的增减性求的取值范围． 提示：解答在答题卷上． 任务： (1)问题一中反比例函数的表达式为__________； (2)问题二中■表示：__________，★表示：__________；●表示：__________； (3)完成问题二中解法二的解答过程． 【答案】(1) (2)60，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变， (3)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是正确求出函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据不等式的性质结合解不等式即可； （3）根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得的图象经过点， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，且， ， ， ，（依据：不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） ． 故答案为：60，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，； （3）解：当时，则， 解得， ∵，， ∴在第一象限内随着的增大而减小， ∴当时，． 1.（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 2.（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 3.（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 4.（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 5.（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 6.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 7.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 8.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $