寒假精准练：用一元二次方程解决问题2025-2026学年苏科版九年级数学 上册

2026年苏科版九年级上册数学寒假精准练：用一元二次方程解决问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某种花卉每盆的盈利与每盆植的株数有一定的关系当每盆植株时，平均每株盈利元若每盆增加株，则平均每株盈利减少元若要使每盆的盈利达到元，则每盆应多植多少株设每盆应多植株，则可以列出的方程是(    ) A. B. C. D. 2.为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神某校决定举行排球比赛，计划安排天，每天安排场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场，设有个球队参加比赛，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 3.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式每两班之间都赛一场，共需安排场比赛，则八年级班级的个数为(    ) A. B. C. D. 4.我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中记录了有关“直田矩形面积与其长、阔宽”的问题，今有一块矩形面积是平方步，其中宽与长的和为步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 5.深度求索是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为风景画四周的金色纸边宽度相同，则列出的方程为(    ) A. B. C. D. 7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 9.九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系“折竹抵地”问题源自九章算术中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，尺，尺，求的长如果设，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.我国古代数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图所示的大正方形，其面积是，同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中网格中每个小正方形的边长均为，能正确说明方程解法的构图是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 11.电影我和我的祖国讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程不能列为(    ) A. B. C. D. 12.某商场将进货价为元的玩具以元售出，平均每天可售出件经调查发现，该玩具的单价每上涨元，平均每天就少售出件若商场要想平均每天获得元利润，则每件玩具应涨价多少元设每件玩具应涨价元，则下列说法正确的是(    ) A. 涨价后每件玩具的售价是元 B. 涨价后平均每天销售玩具件 C. 涨价后平均每天少售出玩具件 D. 根据题意可列方程为 13.如图所示，在一边靠墙墙足够长空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为米的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，不符合题意的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 14.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为          ． 15.任意给定一个矩形，若存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半，则称矩形是矩形的“减半矩形”已知某矩形的周长为，面积为，则它的减半矩形的长和宽分别为        ；原矩形的长为，宽为，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则满足的取值范围是        ． 16.古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法．以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得根据此法，图中正方形的面积为          ，方程可化为          ． 17.某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了张照片，这个班的学生人数是           18.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为已知这种药品原来每盒的价格是元，则第一次降价后每盒的价格是          元，第二次降价后每盒的价格是          元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是元，则可列出方程：          ． 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为元，平均每天可售出件． 求平均每次降价盈利减少的百分率． 为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件若商场每天要盈利元，每件应降价多少元 20.本小题分 某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：信息：年计划将亩的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜的种植面积不少于亩，乙种蔬菜的种植面积不少于亩． 信息：甲种蔬菜每亩的种植成本元与其种植面积亩之间满足的函数关系为，乙种蔬菜每亩的种植成本为元． 根据以上信息，解答下面的问题： 若甲种蔬菜每亩的种植成本为元，求乙种蔬菜的总种植成本； 如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元？ 21.本小题分 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量件与每件售价元满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价元 日销售量件 求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围； 该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 22.本小题分 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分图中种上草坪，使草坪面积为，求图中的值． 23.本小题分 某天李老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后的数据如下表与第一次锻炼相比，李老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的倍设李老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数步            平均步长米步            距离米 注：步数平均步长距离． 根据题意完成表格填空用含的代数式表示 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数步            平均步长米步            距离米 (2) 求的值． 24.本小题分 在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像． 将雕像抽象成线段如图，雕像的上部为，则、、的数量关系是______； 求该雕像的下部设计高度． 25.本小题分 列方程解决实际问题： 为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图，在生态大棚中有一块矩形空地，其中边的长比边的倍少，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． 直接写出正方形区域的边长是________； 在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键．根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可．【解答】 解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选A． 2.【答案】  【解析】解：设有个球队参加比赛，由题意可得： ． 故选：． 设有个球队参加比赛，根据计划安排天，每天安排场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场，可得方程即可． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确列出方程是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：设八年级共有个班， 依题意得：， 整理得：， 解得：不合题意，舍去，， 八年级共有个班． 故选：． 设八年级共有个班，利用比赛的总场数八年级的班级数八年级的班级数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4.【答案】  【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设长为步，列方程为， 故选：． 5.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为根据首日在某平台的下载量为万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为． 根据题意，得， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键． 设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据题目条件列出方程． 【详解】解：设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：设月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 故选：． 月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，根据某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆，列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出了一元二次方程，找准等量关系，正确列出了一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：设彩条的宽度是，则 ， 故选：． 设彩条的宽为，根据要设计一幅宽、长的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题． 9.【答案】  【解析】解：设，则尺，  根据勾股定理得：  故选：． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设，则尺，利用勾股定理解题即可． 此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程． 【解答】 解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 所以选项A、、所列方程都错误，符合题意． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出单件利润和总的销售量，从而表示出总利润．设涨价元，然后分别表示出销量和涨价后的单价即可列出方程求解． 【解答】 解：设涨价元，根据题意可得： A、表示涨价后玩具的单价，选项正确，符合题意； B、表示涨价后销售玩具的数量，选项正确，符合题意； C、表示涨价后少售出玩具的数量，选项正确，符合题意； D、可列方程，故D选项错误，不符合题意， 故选：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题目，找到题目中的等量关系，列方程即可． 设栅栏的长为，根据题意分别用表示或的长，再根据面积公式列出方程即可． 【解答】 解：设栅栏的长为， 依题意得：， 而矩形面积， ， 不符合题意的方程有． 故选：． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】，   【解析】解：设它的减半矩形的长为，则宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 它的减半矩形的长和宽分别为，； 原矩形的长为，宽为， 设它的减半矩形的长为，则它的减半矩形的宽为， 根据题意得：， 整理得：， 原矩形存在“减半矩形”， 有实数根， ， 解得：或， 又， ， 满足的取值范围是． 故答案为：，，． 设它的减半矩形的长为，则宽为，根据减半矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合长不短于宽，即可确定结论，由原矩形的长、宽，可得出设它的减半矩形的长为，则它的减半矩形的宽为，根据减半矩形的面积是原矩形面积的一半，可列出关于的一元二次方程，由该方程有实数根，可求出的取值范围，再结合，即可确定的取值范围． 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16.【答案】    【解析】略 17.【答案】  【解析】解：设学生人数为， 由题意得，， 整理得，， 解得，舍， 这个班的学生人数是人， 故答案为：． 18.【答案】   【解析】略 19.【答案】【小题】 设盈利减少的平均百分率为根据题意，得，解得舍或答：平均每次降价盈利减少的百分率为． 【小题】 设每件应降价元根据题意，得，解得，．尽快减少库存，答：若商场每天要盈利元，每件应降价元．   【解析】 见答案  见答案 20.【答案】【小题】 由题意，在中，令，即，解得．．元．乙种蔬菜的总种植成本为元．  【小题】 由题意可知，甲种蔬菜的种植面积为亩，则乙种蔬菜的种植面积为亩．由题意，得整理，得解得，又．．．当甲种蔬菜的种植面积为亩，乙种蔬菜的种植面积为亩时，甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元．   【解析】 略  略 21.【答案】【小题】 设与之间的函数表达式为，将，代入得解得 与之间的函数表达式为． 【小题】 该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，整理得，，方程无解，该商品日销售额不能达到元．   【解析】 略  略 22.【答案】根据题意，得整理，得，解得，不合题意，舍去．题图中的值为  【解析】略 23.【答案】【小题】 【小题】 由题意： 解得：舍去，． 则， 答：的值为．   【解析】 略  略 24.【答案】；   该雕像的下部设计高度为．  【解析】解：由题意得：， ， 故答案为：； 设，则， 由得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该雕像的下部设计高度为． 根据雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案； 设，则，根据的结论，列出一元二次方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25.【答案】解：设正方形区域的边长为，则，， 边的长比边的倍少 ， 解得：， 故答案为：； 设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：小道的宽度为．   【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设正方形区域的边长为，则，，根据“边的长比边的倍少”，列出元方程，解之即可； 设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 根据“栽种鲜花区域的面积为”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $