专题09 图形的相似-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题09 图形的相似 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 比例的性质及成比例线段 1 题型二 黄金分割 2 题型三 相似图形及性质 4 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 6 题型五 证明两个三角形相似 8 题型六 利用相似三角形的性质求解 10 题型七 相似三角形的判定与性质综合 11 题型八 图形的位似 14 题型九 用相似三角形解决问题 16 ☛第二层 能力提升练 题型一 比例的性质及成比例线段 ⭐技巧积累与运用 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段 例题：（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（   ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 巩固训练 1．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如果，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏常州·模拟预测）已知，则 ． 题型二 黄金分割 ⭐技巧积累与运用 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 例题：（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若四个数，，，成比例，即若，，，则为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，若等腰三角形底与腰的比等于，则称等腰三角形为“黄金等腰三角形”，若一个黄金等腰三角形的腰长为2，则底为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 题型三 相似图形及性质 ⭐技巧积累与运用 相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 例题：（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（   ） A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，将矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到矩形，若矩形矩形，，则 ． 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 题型五 证明两个三角形相似 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 题型六 利用相似三角形的性质求解 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 例题：（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，若以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为 ． 题型七 相似三角形的判定与性质综合 ⭐技巧积累与运用 例题：（2021·浙江金华·一模）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，点，分别在边和对角线上，，，，则的长为 ． 2．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 题型八 图形的位似 ⭐技巧积累与运用 位似的概念及性质 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 例题：（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ． 题型九 用相似三角形解决问题 ⭐技巧积累与运用 利用相似三角形测高 1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 例题：（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 米． 一、单选题 1．（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（    ） A．米 B．9米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·广西·专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，是边上的一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，且交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·四川广元·模拟预测）如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，则的长为 ． 9．（23-24九年级下·全国·期中）如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知△，延长到，使．取的中点，连接交于点．，，则的长是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)若，，的面积为2，求的面积． 12．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，中，，D为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长； (3)若，且的面积为4，则四边形的面积为______． 14．（15-16九年级上·安徽亳州·期末）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 15．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 图形的相似 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 比例的性质及成比例线段 1 题型二 黄金分割 2 题型三 相似图形及性质 4 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 6 题型五 证明两个三角形相似 8 题型六 利用相似三角形的性质求解 10 题型七 相似三角形的判定与性质综合 11 题型八 图形的位似 14 题型九 用相似三角形解决问题 16 ☛第二层 能力提升练 题型一 比例的性质及成比例线段 ⭐技巧积累与运用 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段 例题：（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（   ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例线段的定义，对题目各选项中的四条线段逐个分析并判断是否成比例即可． 【详解】解：由于，故不成比例，故A选项错误； 由于，故不成比例，故B选项错误； 由于，故不成比例，故C选项错误； 由于，故成比例，故D选项正确． 故选：D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如果，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可． 【详解】A、，变形为：，不符合题意； B、，变形为：，符合题意； C、，变形为：，不符合题意； D、，变形为：，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换． 2．（2023·江苏常州·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是求出． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 题型二 黄金分割 ⭐技巧积累与运用 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 例题：（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若四个数，，，成比例，即若，，，则为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例的意义是解题的关键． 将，，代入计算即可． 【详解】∵若，，， ∴， ∴． 故答案为：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，若等腰三角形底与腰的比等于，则称等腰三角形为“黄金等腰三角形”，若一个黄金等腰三角形的腰长为2，则底为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例的基本性质与方程思想，黄金三角形的底与腰之比等于黄金比；解题时要注意方程思想的应用；根据黄金三角形的定义即可得到方程．首先要理解题目中的黄金三角形的定义是底与腰之比等于黄金比的等腰三角形，又已知了黄金三角形的腰长为2，即可得到等式． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为， 根据题意可得， 解得， 所以其底边长为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求出，再利用线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 相似图形及性质 ⭐技巧积累与运用 相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 例题：（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（   ） A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转 【答案】C 【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论． 【详解】解∶∵，，，， ∴， 则B选项不符合标准， 故选∶B． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，将矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到矩形，若矩形矩形，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查相似图形的性质，用含a，b的式子表示出形的长和宽，根据相似矩形的对应边成比例得，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， 矩形矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合所给条件及隐含条件逐一进行判断即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解∶∵，， ∴，故选项A错误，符合题意； ∵，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，能判定，故A不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故B不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故C不符合要求； ，，不能判定，故D符合要求； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：． 题型五 证明两个三角形相似 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，先根据，，求出的长，再根据，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证． 【详解】证明：根据旋转的性质，得， ， ， ． 由， 得， ． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型六 利用相似三角形的性质求解 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 例题：（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 根据题意可得相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比得出答案． 【详解】∵， ∴这两个三角形的相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的知识，三角形的内角和定理．根据，则，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，若以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和，两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵， D是的中点， ∴； ①当时，则：， ∴； ②当时，则：，即：， ∴； 故答案为：或． 题型七 相似三角形的判定与性质综合 ⭐技巧积累与运用 例题：（2021·浙江金华·一模）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题． 根据题意可以得到，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， ， ，故A说法正确，不符合题意； ，故D说法错误，符合题意； ，故B说法正确，不符合题意； ， ∴，故C说法正确，不符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，点，分别在边和对角线上，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行判定相似，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：在中，点，分别在边和对角线上，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据“两角相等的两个三角形相似”即可求证； （）由相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 题型八 图形的位似 ⭐技巧积累与运用 位似的概念及性质 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 例题：（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得位似比为，将点的横纵坐标都乘以，即可求解． 【详解】解：和是位似三角形，且，则位似比为，点， ∴点B的坐标为， 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，进而可证得，于是可得，设，则，，据此即可得出答案． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 的面积与的面积之比是， 与的相似比是， 即：， ， ， ， 设，则，， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 根据题意可得位似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型九 用相似三角形解决问题 ⭐技巧积累与运用 利用相似三角形测高 1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 例题：（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该古城墙的高度为． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，如图， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴光源与小明的距离应减少米． 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行投影、相似三角形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键． 如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，然后代入求出即可． 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形，是矩形， 则米，，米，米． ∵米，米 ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 一、单选题 1．（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（    ） A．米 B．9米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题侧重考查相似三角形的应用，相似三角形对应边成比例、两角分别相等的两个三角形相似． 由镜面反射原理可知，可证明．可得，根据已知条件解决问题． 【详解】解：由题意可知， 又， ． ． ． ． (米) 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】根据题意可知，矩形与矩形相似， ， 设,， 则， ，即， ，， 原矩形长与宽的比为， 故选：C． 3．（2024九年级上·广西·专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 若添加，可证明，故A选项不符合题意； 若添加，可证明，故B选项不符合题意； 若添加，可证明，故C选项不符合题意； 若添加，不能证明，故D选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，得到，利用相似性质，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C错误； ∴， ∴， 故选项A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故选项D正确． 故选：D． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，是边上的一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，且交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形得出，根据旋转可得，证明，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 二、填空题 6．（2023·四川广元·模拟预测）如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴与的位似比为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为:． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：18． 9．（23-24九年级下·全国·期中）如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 【答案】12或16或21 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论． 先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， 当时，， 即， 解得：或； 当时，时， 即， 解得：． ∴或16或21． 故答案为：12或16或21． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知△，延长到，使．取的中点，连接交于点．，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 取的中点，连接由为中位线，即可得到，根据对应边成比例即得，再由进行求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 为的中点，为的中点，， ∴， ，， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)若，，的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据可得，再根据一组相等的直角，即可求证； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ∴． 12．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，可知，由此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）由（1）得， ， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，中，，D为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长； (3)若，且的面积为4，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题主要考查平行线的性质，菱形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识： （1）由平行线的性质可证明，从而可证明； （2）设菱形的边长为x，得由列方程，求出x的值即可； （3）由得，证明，得出的面积为25，再证明得出的面积为9，从而可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又 ∴； （2）解：四边形为菱形， ∴ 设菱形的边长为x，得 ∵， ∴， ∴， 解得，， 即菱形的边长为； （3）解：∵， ∴，, ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴菱形的面积， 故答案为：12． 14．（15-16九年级上·安徽亳州·期末）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标是，的坐标是． 【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用位似变换的性质得出对应点的位置即可； （2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：延长到，使得，延长到，使得，再连接，如图： ∴就是所求的三角形． （2）解：∴点的对应点的坐标是， 点的对应点的坐标是． 15．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度； ②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． ，即； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， 解得：（舍去负值）， ； ②， ， ， ， ， ， ，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$