专题10 锐角三角函数-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题10 锐角三角函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 正切 正弦 余弦的概念辨析 1 题型二 特殊角的三角函数 3 题型三 由三角函数值求锐角 4 题型四 解直角三角形 6 题型五 解非直角三角形 8 题型六 仰角俯角问题 11 题型七 方位角问题 14 题型八 坡度坡比问题 18 ☛第二层 能力提升练 题型一 正切 正弦 余弦的概念辨析 ⭐技巧积累与运用 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在中，已知，，，那么边的长是（   ） A．6 B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，则 ． 题型二 特殊角的三角函数 ⭐技巧积累与运用 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 例题：（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河北·阶段练习）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）在中，若，为锐角，且，的形状是 三角形． 题型三 由三角函数值求锐角 ⭐技巧积累与运用 例题：（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 题型四 解直角三角形 ⭐技巧积累与运用 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 例题：（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 2．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）已知：如图，是的高，，．求． 题型五 解非直角三角形 ⭐技巧积累与运用 作垂线构造直角三角形 例题：（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 巩固训练 1．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型六 仰角俯角问题 ⭐技巧积累与运用 仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 例题：（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取） 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面距离80米，测得点的俯角；控制无人机水平移动至点，测得米，楼顶点的俯角．点、、、在同一平面内，求大楼的高度． 题型七 方位角问题 ⭐技巧积累与运用 方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 例题：（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为 km． 2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离． 题型八 坡度坡比问题 ⭐技巧积累与运用 坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 例题：（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图是拦水坝的横断面，坝高为米，斜坡的坡度为，则斜坡的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 巩固训练 1．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面AB的坡度为，则的长度为 m． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为（参考数据：，，） (1)求小明从点走到点的过程中，他上升的高度； (2)大树的高度约为多少米？ 一、单选题 1．（24-25九年级下·全国·期末）某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中， ，以为直径作交于点，作直径，连接，．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 二、填空题 6．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，则的值是 ． 10．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）计算：． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的高线，是上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 14．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）晋祠位于山西省太原市西南25公里的晋水发源处，是集中中国古代祠祀建筑、园林、雕塑、壁画、碑刻艺术为一体的珍贵的历史文化遗产，也是世界建筑、园林、雕刻艺术中心．如图，，，，分别是晋祠的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，千米，求的长度（参考数据：，，）． ∵， ∴， ∴， ∴（千米），（千米）． 15．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 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【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）在中，若，为锐角，且，的形状是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ，， ， 的形状是等边三角形， 故答案为：等边． 题型三 由三角函数值求锐角 ⭐技巧积累与运用 例题：（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义，解题关键是利用三角函数值推出角的度数．根据，，，可以求出的正弦值，利用的正弦值求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， ． 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解直角三角形，先由矩形的性质和已知条件证明，然后解直角三角形推出，据此可求出的度数，最后求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等，再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 题型四 解直角三角形 ⭐技巧积累与运用 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 例题：（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据，设，勾股定理得到，再利用与余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴，设， ∴， ∴； 故选B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆中求线段长问题，涉及到垂径定理、圆周角定理、特殊角的直角三角形三边关系，熟练掌握利用垂径定理构造直角三角形是解决问题的关键．利用垂径定理求出，根据圆周角定理求求出，得出，再利用特殊直角三角形三边关系求线段长即可． 【详解】解：是的直径，弦于点E， 根据垂径定理可得， ，， ， ∴， ∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）已知：如图，是的高，，．求． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．在直角三角形中，利用30度角的正切求得，然后利用45度角的余弦，求出的长即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ， ． 题型五 解非直角三角形 ⭐技巧积累与运用 作垂线构造直角三角形 例题：（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 巩固训练 1．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型六 仰角俯角问题 ⭐技巧积累与运用 仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 例题：（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点D作于F， 由题意知：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，然后设，在中，利用正切的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则塔的高度为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面距离80米，测得点的俯角；控制无人机水平移动至点，测得米，楼顶点的俯角．点、、、在同一平面内，求大楼的高度． 【答案】大楼的高度为71米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点E，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点， 根据题意，得米，， 在中，， 在中，， ，解得， （米）， （米），即大楼的高度为71米． 题型七 方位角问题 ⭐技巧积累与运用 方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 例题：（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 巩固训练 1．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为 km． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点A作于点D，分别在和中解直角三角形求出边长即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 由题意得，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离． 【答案】(1)，两地的距离为339.4米 (2)，两地的距离为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质， （1）作，根据三角形的外角的性质得，根据直角三角形的性质可得，即可得，，再根据特殊角的三角函数值求出，进而得出答案； （2）作，根据特殊角的三角函数求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵，， ∴，， ∴，， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）． 答：，两地的距离为339.4米． （2）解：如图，过点作于点，则． 由（1）知米． ∵，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴（米）． 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 答：，两地的距离为米． 题型八 坡度坡比问题 ⭐技巧积累与运用 坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 例题：（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图是拦水坝的横断面，坝高为米，斜坡的坡度为，则斜坡的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，先根据坡度比求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴米， ∴米， 故选C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面AB的坡度为，则的长度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高度与水平距离的比，得到，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 在中，； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为（参考数据：，，） (1)求小明从点走到点的过程中，他上升的高度； (2)大树的高度约为多少米？ 【答案】(1)他上升的高度为米； (2)大树的高度约为米． 【分析】（）作于，由斜坡的坡比为，则，在中，由勾股定理即可求出； （）过点作于点，设，由题意得，，，则，在中，，然后代入列出方程并检验即可； 本题考查了解直角三角形的应用——坡度，仰角俯角，勾股定理，解分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：作于，如图， 在中，斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴他上升的高度为米； （2）解：如图，过点作于点，设， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：大树的高度约为米． 一、单选题 1．（24-25九年级下·全国·期末）某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案． 本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵背水坡坡面的长度为，坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵背水坡坡面的坡度为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值，根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做角A的余弦．根据余弦函数的定义计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 在中，， 故选：B． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中， ，以为直径作交于点，作直径，连接，．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，设，，解得，，从而求出，因为为的切线，所以，所以，所以求出，进而可求得的长度． 【详解】解：在中，，， 设，， ， ， ， ， 为的直径，， 为的切线， ， 为的直径， ，， ， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据正切值求边长，锐角三角函数，直径所对的圆周角是，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 二、填空题 6．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，先化简二次根式，代入三角函数值，再约分，计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，根据题意得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∵是的中线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、线段中点的定义，根据三角函数求出，从而由线段中点的定义求出，再由三角函数求出即可，掌握三角函数、线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：由题可知：， ∵是的中点， ， 故答案为： 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解三角形，勾股定理等知识点，如图，过点作，交延长线于点，则，求出，进而得到，再利用勾股定理求出，利用正弦的定义，即即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点D， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 证明是等边三角形，得出，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 将各特殊角的三角函数值代入原式，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，先解得出，根据是的中点，得出，进而根据，设，，可得，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， 在中， 设，， ∴，即 解得， ∴ 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的高线，是上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】首先过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； 根据可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是的高线， ， ， ， 又， ， 可得：， 解得：， 在中，， ， 解得： ； （2）解：由可得：，， ，， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． 14．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）晋祠位于山西省太原市西南25公里的晋水发源处，是集中中国古代祠祀建筑、园林、雕塑、壁画、碑刻艺术为一体的珍贵的历史文化遗产，也是世界建筑、园林、雕刻艺术中心．如图，，，，分别是晋祠的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，千米，求的长度（参考数据：，，）． 【答案】的长度为3.75千米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含角的直角三角形三边的关系．过B作于点E，先求出，，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过B作于点E，由题意得． ∵， ∴， ∴， ∴（千米），（千米）． ∵C在B的北偏西方向， ∴． ∵， ∴， ∴（千米）． 答：的长度为3.75千米． 15．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$