寒假作业精练：一元二次方程专练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2026年人教版数学九年级上册寒假作业精练：一元二次方程专练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.已知方程的两个根分别为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.是下列哪个一元二次方程的根  (    ) A. B. C. D. 7.下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是(    ) A. B. C. D. 8.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 9.已知，，是等腰三角形的三边长，且，是关于的方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门由其他材料制成，则的长为  (    ) A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是            。 12.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 化二次项系数为          ，并将含有未知数的项移到方程的          边，常数项移到方程的          边 配方，方程两边同时加上          ，使左边配成一个完全平方式，写成的形式 若          ，则可直接开平方求出方程的根若          ，则方程无实数根． 13.哪吒之魔童闹海登顶中国电影票房总榜榜首，同时引来周边产品的热销，某店销售一款哪吒闹海手办，已知每个手办的成本为元，当售价为元时，平均每天能售出个，经过一段时间销售发现，售价每降低元，平均每天能多售出个设每个手办降价元． 每个手办的利润为          元，每天售出手办的数量为          个，每天可获得的总利润为          元用含的式子表示 若要使每天的利润为元，则可列方程为          ． 14.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为已知这种药品原来每盒的价格是元，则第一次降价后每盒的价格是          元，第二次降价后每盒的价格是          元若经过两次降价后这种药品每盒的价格是元，则可列出方程：          ． 15.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 16.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，求方程的解为          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 或，第四步 ，．第五步 小颖同学解一元二次方程的方法是          ，用到的一个数学公式是          用字母，表示 第四步变形的依据是           请选择不同于小颖同学的方法解该一元二次方程． 18.本小题分 下面是某同学解方程的过程． 解：移项，得，第一步 两边开平方，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 该同学的解答从第          步开始出错，错误的原因是           请写出正确的解答过程． 19.本小题分 可以用正方形巧妙解出方程的根如图，利用大正方形的面积不变，得，即，所以这个方程的正整数解为． 上述求解过程中所用的方法与          法是一致的 运用上述方法求方程的正整数解，请画出图形并写出过程． 20.本小题分 关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一个根小于，求的取值范围． 21.本小题分 已知实数，，，且． 若，，分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证： 若，，求的最小值． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围 若实数根，之间满足，求的值． 23.本小题分 已知，是一元二次方程的两个实数根，不解方程，求下列式子的值． ． 24.本小题分 如何制定销售方案？ 素材一 某村在加入乡村振兴助农直播间个月期间，累计观看直播人次万，其中第一个月收获的直播粉丝约为人，第三个月收获的直播粉丝为人． 素材二 销售礼盒装信阳毛尖的平均利润为元时，每天可销售盒，为了回馈粉丝，决定降价销售，已知礼盒装信阳毛尖平均利润每下调元，每天可多售出盒． 素材三 每月直播间还会准备价值万元的奖品用于粉丝抽奖． 【问题解决】 任务一 求第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率； 任务二 若想要销售礼盒装信阳毛尖的月总利润达到万元按天计算，在让利于直播间粉丝的前提下平均利润应下调多少元？ 25.本小题分 洛阳汉服在传统汉服的基础上，从牡丹、禹贡等文化元素中汲取灵感，打造具有洛阳特色的汉服品牌已知某类型汉服的成本为元，当售价为元时，平均每月可售出套，经过调查，该汉服售价每增加元，平均每月少售出套若商家计划上涨价格以使月销售利润达到元，求每套汉服的售价． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的一次项系数是，常数项是． 故选：． 一元二次方程的一般形式是：是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【解答】 解：把代入方程得：， 解得：． 故选：． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解： ， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 计算方程根的判别式进行判断即可． 本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 故选：． 根据关于的一元二次方程有实数根知且，解之即可． 本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的两个实数根； 当时，方程有两个相等的两个实数根； 当时，方程无实数根． 9.【答案】  【解析】解：当腰长为时，把代入，得， ， 原方程变为，解得，，能构成三角形； 当底边长为时，关于的方程的两根是相等的， ，， 原方程变为，解得，能构成三角形． 综上，的值是或． 故选D． 10.【答案】  【解析】设的长为，则的长为根据题意，得，解得，不合题意，舍去的长为． 11.【答案】  【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 根据根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 12.【答案】【小题】 左 右 【小题】 一次项系数一半的平方 【小题】   【解析】 略  略  略 13.【答案】【小题】 【小题】   【解析】 略  略 14.【答案】        【解析】略 15.【答案】且  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且， 的取值范围是：且． 故答案为：且． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围． 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 16.【答案】，  【解析】【分析】 本题考查学生读题做题的能力．正确理解这种运算的规则是解题的关键．直接根据定义的这种运算的规则求解． 【解答】 解：， ， 解方程， ， ，． 故答案为，． 17.【答案】【小题】 因式分解法 如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零 如果，那么或 【小题】 ． ， 即或， ，．   【解析】 略  略 18.【答案】【小题】 二 开方时未考虑到正负两种情况 【小题】 正确的解答过程如下： 移项，得， 两边开平方，得或， 去括号，得或， 解得，．   【解析】 略  略 19.【答案】【小题】 配方 【小题】 整理，得， 如图，是由边长为的正方形和边长为的正方形， 外加两个长为，宽为的长方形所拼成， 拼合在一起的大正方形的面积为， 即， 这个方程的正整数解为．   【解析】 略  略 20.【答案】证明：  ， 无论取何值时，  ， 此方程总有两个实数根． 解：  ，  ．  ． 此方程有一个根小于，且  ．  ．  ．   【解析】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用公式法求出一元二次方程的根． 直接利用根的判别式，判断即可； 利用求根公式求得两个根，根据有一个根小于列出不等式求解即可． 21.【答案】【小题】 证明：一元二次方程的求根公式为：，一元二次方程的根为， ，，， ，，， 此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为：，，， ． 【小题】 解：设，，则，， 有解， ， ． ， ， ， 的最小值为．   【解析】 略  略 22.【答案】【小题】 【小题】 的值为．   【解析】 略  略 23.【答案】【小题】 解：，，， ，， 【小题】 【小题】 ．   【解析】 略  略  略 24.【答案】解：任务一设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得，不符合题意，舍去， 第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率为 任务二设礼盒装信阳毛尖平均利润应下调元，则每盒信阳毛尖的利润为元，每月的销量为盒， 当销售礼盒装信阳毛尖的月总利润为万元时， 可列方程， 整理得， 解得，， ， 若想要销售礼盒装信阳毛尖的月总利润达到万元，在让利于直播间粉丝的前提下平均利润应下调元．   【解析】略 25.【答案】解：设每套汉服涨价元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 又， ，元，元， 每套汉服的售价应定为元或元．   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $