精品解析：重庆市第一中学校2026届高三下学期周考（3）数学试题

重庆一中高2026届高三下数学周考3 （满分：150分；时间：120分钟） 2026年2月10日 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知为虚数单位，（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，进而可求模长. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：B. 2. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】由题知集合， 故 . 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解. 【详解】令，则， 所以，所以. 故选：D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】应用已知定义计算求解. 【详解】因为满足，则. 故选：A. 5. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由点在抛物线上得的方程为，再根据，得，进而得，即可得. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以 故选：B 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 7. 若实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数利用其单调性结合条件等式得出结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意实数，满足， ， 而函数在R上单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立． 故选：B 8. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值. 【详解】因为 ， ， 所以， 即，解得， 故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知正方体棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 10. 已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若、为相互独立事件，则 B. 若、为互斥事件，则 C. 若、为互斥事件，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式结合并事件的概率公式可判断A选项；利用互斥事件的概率公式可判断B选项；数形结合可判断C选项；利用事件的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、为相互独立事件，则， 故，A对； 对于B选项，若、为互斥事件，则，B对； 对于C选项，如下图所示： 因为、为互斥事件，则，结合图形可知，故，C错； 对于D选项，若发生时一定发生，则，故， 故，D对. 故选：ABD. 11. 已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（ ） A. 椭圆 的离心率为 B. C. 直线 的斜率为 2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断. 【详解】对于A，由题意知，所以，所以， 所以离心率，故A错误； 对于B，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，故B正确； 对于C，由得， 因为点和点关于原点的对称，所以， 又为椭圆上一点，所以，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线 的渐近线方程 ，则其离心率为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】要解决这个问题，需先将双曲线化为标准形式，再结合渐近线方程求参数，最后计算离心率求解. 【详解】双曲线的标准形式要满足与系数异号，所以. 那么焦点在轴上的双曲线标准式为,所以：实半轴长， 虚半轴长. 又因渐近线为，所以 ，代入，得，解得. 又因，所以，因此，. 故答案为：2. 13. 已知为等比数列，对于任意正整数，则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列通项公式基本量的计算，判断数列为常数列，即可求解. 【详解】设公比，则， 代入,(与无关的常数) 即为一个常数列且为等比数列， 所以得. 当时，可得. 所以， 故答案为： 14. 函数的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先对函数分两段讨论求出各段上的最小值，两个值比较最终得到函数的最小值.当时，， 在上单调递减，在第一段上，最小值在处取得，；当时，，时单调递减；时单调递增；因此，是第二段的最小值点，计算得，所以函数的最小值为1. 【详解】函数定义域为 ； 令，解得 ， 当时，，求导得到， 所以函数在上单调递减， 在第一段上，最小值在处取得，. 当时，，求导得到， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，是第二段最小值点，计算得； 因为，所以函数的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. 【小问2详解】 ①， ②， ，得 ， 所以. 16. 甲､乙､丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏，每局中每人独立随机出石头、剪刀、布，概率均为.每局的游戏规则如下：如果出现一人胜两人（比如甲出石头，同时乙和丙都出剪刀，则甲胜），赢者向前走两步，其他人不动；如果出现两人胜一人（比如甲和乙同出剪刀，同时丙出布，则甲和乙胜），赢者向前各走一步，输者不动；如果三人出相同手势或三人全不同手势（循环胜），视为平局，所有人都不走步.用表示甲在一局游戏中前进的步数. （1）求的分布列和期望； （2）若游戏独立地进行三局，求甲一共向前走了两步的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）用事件表示三局游戏后甲向前走了两步，分别用、和表示第局中甲分别向前走了一步、两步和零步，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可知的可能取值为、、. ，，. 所以，随机变量的分布列为 所以. 【小问2详解】 用事件表示三局游戏后甲向前走了两步， 分别用、和表示第局中甲分别向前走了一步､两步和零步， 则. 17. 在中，为上的中点，满足. （1）判断的形状； （2）若角为锐角，为边上一点，，，，求的面积. 【答案】（1）等腰三角形或直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简得出，最后再应用二倍角正弦公式结合角的范围判断求解； （2）先设，则，再应用余弦定理化简计算得出， 最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 由题， 设，，则，， 在中，由正弦定理可得，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，即， 又，，所以或，即或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形； 【小问2详解】 因为角为锐角，由（1）可得，所以， 设，则，因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，，所以， 解得，，所以， 所以的面积 18. 已知函数，圆：，设与的图像交于，两点. （1）求在处的切线方程； （2）试判断线段AB的中点在第几象限，并证明： （3）证明：随着的变化，直线AB的斜率始终小于1. 【答案】（1） （2）第二象限，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）设由题意可得，设，则有，利用导数确定函数的单调区间，从而可得，即可得线段AB的中点所在象限； （3）结合（2）即证，，，结合，可得只需证明，令，则只需证明，利用导数证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以函数在处切线方程为, 即； 【小问2详解】 第二象限，证明如下： 设 则有， 设， 则有， 又因为， 所以， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 不妨设， 则， 令 ， 因为， 所以， 所以，即恒成立， 又因为， 所以，，， 所以线段AB的中点的横坐标为， 又因为， 所以线段AB的中点的纵坐标为， 所以线段AB的中点在第二象限； 【小问3详解】 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 证明：由(2)知， 即只需证明， 即只需证明， 只需证明，又， 只需证明， 又因为， ， 只需证明， 令， 即需证明， 因为， 令， 则， 所以当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 所以， 所以在上单调递减， 又因为， 所以, 所以随着的变化，直线AB的斜率始终小于1. 19. 已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，． （1）如图，当时， ①求的长； ②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由； （2）当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值． 【答案】（1）① ；②不存在，理由见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用空间向量基本定理，所以，所以．②设，，，所以，由共面定理，得，记棱长为1的正四面体的体积为，所以，由均值不等式得到当，，取得最小值，此时是的重心，对空间中任意点，有，同理，， 所以，故不存在空间中一点，使得． （2）因为，，，化简得到，， 因为，所以（设）， 设，当，时，所以. 【小问1详解】 ① 所以 ，所以． ②设，，，则，，， 所以，由共面定理，得， 记棱长为1的正四面体的体积为，所以， 由均值不等式，此时当，即，，取得最小值， 则此时，即，故是的重心， 对空间中任意点，则，， 同理，， 所以 ， 故不存在空间中一点，使得． 【小问2详解】 ，，， 由勾股定理，，，， 由余弦定理，，所以， 所以，所以， 所以，，， 所以（设）， 设，， 当时，； 当时，令，即， 解得，所以，所以（当时取等） 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三下数学周考3 （满分：150分；时间：120分钟） 2026年2月10日 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知为虚数单位，（ ） A. B. C. 1 D. 2. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 4. 已知数列满足，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 5. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7. 若实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 若且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 10. 已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若、为相互独立事件，则 B. 若、为互斥事件，则 C. 若、为互斥事件，则 D 若发生时一定发生，则 11. 已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（ ） A. 椭圆 的离心率为 B. C. 直线 的斜率为 2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线 渐近线方程 ，则其离心率为_____. 13. 已知等比数列，对于任意正整数，则 ______. 14. 函数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 甲､乙､丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏，每局中每人独立随机出石头、剪刀、布，概率均为.每局的游戏规则如下：如果出现一人胜两人（比如甲出石头，同时乙和丙都出剪刀，则甲胜），赢者向前走两步，其他人不动；如果出现两人胜一人（比如甲和乙同出剪刀，同时丙出布，则甲和乙胜），赢者向前各走一步，输者不动；如果三人出相同手势或三人全不同手势（循环胜），视为平局，所有人都不走步.用表示甲在一局游戏中前进的步数. （1）求的分布列和期望； （2）若游戏独立地进行三局，求甲一共向前走了两步概率. 17. 在中，为上的中点，满足. （1）判断的形状； （2）若角为锐角，为边上一点，，，，求的面积. 18. 已知函数，圆：，设与的图像交于，两点. （1）求在处的切线方程； （2）试判断线段AB的中点在第几象限，并证明： （3）证明：随着的变化，直线AB的斜率始终小于1. 19. 已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，． （1）如图，当时， ①求的长； ②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由； （2）当时，记四面体内切球半径为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $