精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县育才学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季学期期末素质测试 八年级数学科 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 把分解因式的结果是( ) A. B. C. D. 5. 如图，中边的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 若a，b为有理数，要使分式的值是非负数，则a，b的取值是（ ） A. a≥0，b≠0； B. a≥0，b>O； C. a≤0，b<0； D. a≥0，b>0或a≤0，b<0. 10. 已知，则常数，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有___________性． 14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 15. 当时，代数式的值是______． 16. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：其中． 19. 如图，中，，，点D在上，连接．作，交于点E．当时，求证：为直角三角形． 20. 如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 21. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等． （1）“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？ （2）某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？ 22. 如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 23. 如图，在中，O为，的平分线的交点，，，垂足分别为D，E，F． （1）求证：平分； （2）若的周长是30，的面积为45，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末素质测试 八年级数学科 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误； 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 3. 下列式子是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的关键是理解因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，由此结合选项以及因式分解的方法即可作出判断． 【详解】解：． 是整式的乘法，故该选项不符合题意； ． ，原因式分解错误，故该选项不符合题意； ． ，是因式分解且正确，故该选项符合题意； ．，原因式分解错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 把分解因式的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，需注意因式分解要分解到不能再分解为止 【详解】解： 故选：D． 5. 如图，中边的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由是中边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得，，又由的周长为，即可得，继而求得的周长． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， 即， ∴的周长：． 故选：B． 6. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D． 7. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 8. 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】 = = = 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解． 9. 若a，b为有理数，要使分式的值是非负数，则a，b的取值是（ ） A. a≥0，b≠0； B. a≥0，b>O； C. a≤0，b<0； D. a≥0，b>0或a≤0，b<0. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的值为非负数，即分子等于0．或分子分母同号． 【详解】解：∵a，b为有理数， ∴要使分式的值为非负数即≥0， ①当a≥0时，b＞0； ②当a≤0时，b＜0． 故选D． 【点睛】解答此题，需要注意两点：①分式的值为非负数，应该包括分子值为0的情况；②分式的分母不能为0． 10. 已知，则常数，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 故选A． 11. 如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据用大长方形的面积减去小长方形的面积列式计算即可． 【详解】解：由题意得 即余下的阴影部分面积是． 故选：A 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，熟练掌握多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 12. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则为所求的最小值，根据是的平分线可知，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N． 是的平分线， ， ， 是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， 是的最小值， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题、角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有___________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性是解题的关键． 14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 15. 当时，代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值．利用已知方程表示，再代入代数式进行化简，即可求解． 【详解】解：由可得， 将代入代数式中，得， 故答案为：． 16. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意最后要检验； （1）方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程即可； （2）方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验，把代入得， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘得：， 解得：， 检验，把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 19. 如图，中，，，点D在上，连接．作，交于点E．当时，求证：为直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】证明：∵中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20. 如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 21. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等． （1）“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？ （2）某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？ 【答案】（1）“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元 （2）最多可以购进“妮妮”纪念品6个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等关系是解题关键． （1）一个“滨滨”纪念品的价格为元，利用一个“妮妮”纪念品的价格比“一个“滨滨”纪念品价格多30元”得“妮妮”的单价为“”元，利用“用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等．”列出方程求解即可． （2）设购进设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．根据此次进货的总资金不超过2000元，可列出不等式求解． 【小问1详解】 设“滨滨”纪念品单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元． 根据题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元． 【小问2详解】 设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个． 根据题意得： 解得：． 因为为整数 所以的最大值为6． 答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式求最大值问题的运用，正确不等关系是解题关键． 22. 如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，O为，的平分线的交点，，，垂足分别为D，E，F． （1）求证：平分； （2）若的周长是30，的面积为45，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质证，然后利用定理证，即可得出结论； （2）由（1）知，然后由求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的平分线，， ， ∴， ∵为的平分线的交点，， ∴， ∴ 在与中， ， ∴ ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $