以双曲线为背景的定点、定值、定直线问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以双曲线为背景的定点问题 以双曲线为背景的定值问题 以双曲线为背景的定直线问题 考点一 以双曲线为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知：， 又因为，代入得：， 将点代入双曲线方程：，将代入： ，则， 所以双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）设直线：，与双曲线联立： 代入得：， 即， 方程的判别式 设，， 则，. ，则：，，由条件可得： 代入前面表达式： ， 代入：，两边同除以， 得：， 因此，直线：，即恒过定点. （ⅱ）设定直线：，与双曲线联立， 代入： ， 两边同乘以：， 方程的判别式， 设根为，则：，， 则，. 对应点：，， ，求直线与双曲线另一个交点，与双曲线另一个交点， 设直线：，其中， 代入双曲线： ，，， 所以可得. 直线：，其中，同理可得. ，， 直线表示为：，将各项代入可得恒过 故直线恒过点. 例2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，得解得 因为， 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，所以， 当直线l的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则， 所以设直线的方程为． 因为直线与双曲线的左支有两个交点，所以． 由消去，整理得． ， 设，，因为点，都在双曲线的左支上，所以，． 所以，解得或， 所以的取值范围为． （3）由题意，得直线的方程为， 代入双曲线的方程， 得． 设，则， 所以，则， 所以． 同理，． 因为，所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点． 例3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求的方程； (2)设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②9 【详解】（1）由题知，解得， 所以的方程为. （2）如图： ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 变式1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）抛物线的准线为， 因为准线经过，所以，即， 设双曲线的一条渐近线为，则， 则，， 所以，即， 因为，解得， 所以双曲线的方程为①； （2）（i）由（1）可知双曲线的右顶点， 显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设，则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得，解得． 满足③④式，则直线的方程为． （ii）由题意得，则，， 则两个交点均在双曲线的右支上， 设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则；同理． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得，所以的中点为定点． 变式2．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析；（ii） 【详解】（1）的两渐近线方程为， 由题意得，故， ，中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； （2）由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线的斜率为，直线方程为， 由对称性分析可知直线过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线过定点； （ii），由于直线过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 变式3．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． （i）求的取值范围； （ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)（ii）证明见解析 【详解】（1）根据题意可得且，解出， 故标准方程为：； （2）设直线，，， 由，消去可得，， 则，，， （i）因为直线与双曲线交于两支，所以且，即， 解得：； （ii）设， 当时，令， ， 即直线过定点； 当时，直线也过定点． 综上所述，直线过定点． 考点二 以双曲线为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，渐近线方程为． (1)求的离心率； (2)若点在上，且异于，求证：直线与的斜率之积为定值； (3)若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 渐近线方程为，，即， ， ． （2）设点，在双曲线上，代入双曲线方程得，即， 直线的斜率，直线的斜率， ，故斜率之积是定值． （3）联立直线与双曲线的方程，代入得： ， 当时，直线与双曲线相切，判别式， 即，则切点， 设，直线与轴交点，则， 即，故， ，解得，故，， 故双曲线方程为． 例2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程为，可设双曲线C的方程为. 代入点的坐标，有，可得. 则双曲线C的方程为，即. （2）设A，B两点的坐标分别为，可得点D的坐标为， 依题意，可设的外接圆的圆心坐标为 ，则该圆的方程为. 联立方程消去x后整理为， 则，解得或，且. 因直线AB的斜率不为0，可设其直线方程为， 联立，消去x后整理为， 则，且. 则有，可得. 则原点O到直线AB的距离为， 故原点O到直线AB的距离为定值. 例3．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1) (2)①是，；②是 【详解】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    变式1．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线上一动点，圆上一动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)若双曲线上存在异于点的两点，直线与轴分别交于点，且关于原点对称，点在直线上，且.证明：存在点，使得为定值. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【详解】（1）∵双曲线的渐近线方程为且点在双曲线上 解得 ∴双曲线方程为 （2）圆的圆心，半径为1 是圆上的动点，直线与圆相切 设因为点是双曲线上动点 ∴当时，取得最小值. （3） 由题意知，直线斜率存在，设直线方程为 联立方程组，得 则且 且① 设 则 ∴直线的方程为 令，得，即 同理可得 为中点 将代入得 整理得 即 或 当时，①式有解 直线方程为 此时直线过定点，不合题意 当时，①式有解，直线方程为恒过定点 为定值 为直角三角形且为斜边 ∴点在以为直径的圆上 ∴当为的中点时，. 变式2．（2026·贵州毕节·一模）已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为. (1)求的值； (2)若点为上一点，且在第一象限，是等腰三角形，求点的坐标； (3)设点在直线上，过作直线交的右支于，两点，作直线交的右支于两点，若，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析. 【详解】（1）由题已知，则，离心率，解得， 又，所以， 又，故. （2）    由上分析，可得双曲线方程为，整理得， 由，得. 设，因是等腰三角形 当时，由双曲线的对称性知在轴上，与在第一象限矛盾； 当时，易得两点重合，无法构成三角形； 当时，，则， 由消去可得，解得或（舍去）， 将代入，得，因，则， 综上，点的坐标为. （3）设过点且斜率为的直线的参数方程，则， 将其代入双曲线方程中，可得， 即， 设方程的两根为，则， 由韦达定理得，，且， 则， 令常数，则(*)； 同理对于直线，则有(**)， 由得， 所以， 由（*）（**）相等及两直线不重合，可得， 因此，得证. 变式3．（25-26高二上·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，若的斜率存在，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得， 所以双曲线的渐近线方程： （2）当 时，双曲线方程为 ，焦点 . 设直线 ，不妨设，联立直线和双曲线方程， 消去 得 . 由韦达定理： ，计算可得 ， 代入韦达定理结果化简得： 因此： 即 为定值 . 考点三 以双曲线为背景的定直线问题 例1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知直线过原点且倾斜角分别为和，平面内动点到距离之积为． (1)求点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为（在左侧），过点的直线交曲线于两点（点位于第一象限，位于第二象限），直线与相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意得，直线的方程为的方程为． 设点，到的距离分别为. 由题意， 代入距离公式得，. 所以， 所以轨迹的方程为； （2）（i）令，代入，得，故，，显然与轴无交点， 所以曲线的方程为， 设过的直线方程为，，如下图： 与轨迹联立得，整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以，即， 因为直线的方程为，直线的方程为， 联立， 解得 可得， 所以点在定直线上． （ii）证明：由（i）知， ， 则， 即，又，所以． 可知射线平分． 例2．（25-26高三上·山西运城·月考）已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）由（1）得，， 如图，设，，    联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 例3．（24-25高三下·贵州·月考）已知双曲线（，）的焦距为，曲线C的一条渐近线与直线垂直． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点（）在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C的右支于A，B两点，在线段上取异于A，B的点R，且满足，证明点R在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析． 【详解】（1）由已知，则，所以， 一条渐近线与直线垂直，则渐近线的斜率为2，所以， 由，解得（负值舍去）， 所以曲线C方程为； （2）由题意点都在第一象限， ，作差整理得， 而，所以， 设的中点为，所以， 而双曲线的渐近线为，所以， 所以； （3）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，且， 由，得， 由，所以，， 又，同理，，， 由得，化简得， 所以，整理得， 代入并化简得， 所以点在直线上．    变式1．（23-24高三上·云南·月考）已知过点的双曲线的渐近线方程为. (1)求C的方程； (2)已知A，B是C的实轴端点，过点的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，证明：点P在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为C的渐近线方程为，所以， 又点在C上，所以， 解得，，故C的方程为. （2）由题意可得直线l的斜率不为0，设l的方程为，（）， 设，， 联立得， 则，，， 根据双曲线的对称性，不妨设A是左顶点，, 则直线， 同理得， 联立与，得 ， 即，故，得 解得，故点P在定直线上. 变式2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）证明：如图所示， 由题意知，，， 由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ， 联立， ， 则，， 又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内， 所以，，，， 所以，即，解得， 设直线方程为， 直线方程为， 联立， 即， 又， 所以， 所以点Q在直线上. 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，实轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设A，分别是双曲线的上，下顶点，是下焦点，过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于，求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，，所以， 因为双曲线的焦点在y轴上，且一条渐近线为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由图可知，直线MN斜率存在，设方程为，， 易知，， 联立消去y得， ，， 因为， 所以直线方程为①，直线的方程为②， 联立①②消去x得， 将代入上式整理得， 即， 所以， 整理得，所以，即点Q在定直线.    2 学科网（北京）股份有限公司 $以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以双曲线为背景的定点问题 以双曲线为背景的定值问题 以双曲线为背景的定直线问题 考点一 以双曲线为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 例2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点． 例3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求的方程； (2)设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 变式1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 变式2．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 变式3．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． （i）求的取值范围； （ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 考点二 以双曲线为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，渐近线方程为． (1)求的离心率； (2)若点在上，且异于，求证：直线与的斜率之积为定值； (3)若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程． 例2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 例3．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 变式1．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线上一动点，圆上一动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)若双曲线上存在异于点的两点，直线与轴分别交于点，且关于原点对称，点在直线上，且.证明：存在点，使得为定值. 变式2．（2026·贵州毕节·一模）已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为. (1)求的值； (2)若点为上一点，且在第一象限，是等腰三角形，求点的坐标； (3)设点在直线上，过作直线交的右支于，两点，作直线交的右支于两点，若，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为. 变式3．（25-26高二上·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，若的斜率存在，求证：为定值. 考点三 以双曲线为背景的定直线问题 例1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知直线过原点且倾斜角分别为和，平面内动点到距离之积为． (1)求点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为（在左侧），过点的直线交曲线于两点（点位于第一象限，位于第二象限），直线与相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分． 例2．（25-26高三上·山西运城·月考）已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 例3．（24-25高三下·贵州·月考）已知双曲线（，）的焦距为，曲线C的一条渐近线与直线垂直． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点（）在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C的右支于A，B两点，在线段上取异于A，B的点R，且满足，证明点R在定直线上． 变式1．（23-24高三上·云南·月考）已知过点的双曲线的渐近线方程为. (1)求C的方程； (2)已知A，B是C的实轴端点，过点的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，证明：点P在一条定直线上. 变式2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，实轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设A，分别是双曲线的上，下顶点，是下焦点，过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于，求证：点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $