以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的定点问题 以椭圆为背景的定值问题 以椭圆为背景的定直线问题 考点一 以椭圆为背景的定点问题 例1．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点. (1)求的标准方程； (2)求证：直线过定点； (3)求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题意，知，所以直线方程为， 即． 内切圆的圆心（即原点）到直线的距离为， 即圆的半径．所以圆的标准方程为． （2）设直线方程为，由直线与圆相切， 可知原点到直线距离，整理得． 将直线的方程代入椭圆，可得 ，整理得. 所以，即，所以． 同理，故、、三点共线，所以直线过定点． （3）由（2）知、、三点共线，所以 设，代入椭圆方程得，则． 所以． 同理． 所以． 因为． 所以． 所以． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 例2．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知矩形在如图所示的平面直角坐标系中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，且四点均在坐标轴上，直线，上的动点，满足，，直线与的交点为. (1)证明：点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； (2)设，是椭圆的左右顶点，若直线与椭圆交于、，且（，分别表示直线，的斜率），过作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）证明见解析（ii） 【详解】（1）由题意可知：，，由 可得，当时，直线的方程为：， 又，，由，     所以，可得， 所以直线的方程为：， 上面两直线方程相乘可得： 所以可得点在椭圆上. （2）（i）设，，又由（1）知，， 所以，，， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且，即，     ， 所以，所以直线过定点.     （ii）由（i）可知      因为，所以 故的取值范围为. 例3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意： ，解得， 所以方程是 . （2）设，，联立， 消可得， 由，得， ， ， 则， 因为，所以， 又因为，所以，， 所以，即， 所以，即， 解得或，均满足， 当时，，直线过点，与已知矛盾， 当时，，直线过点， 综上，直线过定点，定点坐标为. 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知为坐标原点，直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），是椭圆在第二象限上的一动点（不同于）． (1)若，直线和直线的斜率分别记为，求的值； (2)若，是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由； (3)若为线段上的一点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，直线方程为 (3)过定点，证明见详解 【详解】（1）由题意得直线，易得直线过原点，根据椭圆的对称性，可设 ，，其中， 因为点在椭圆上，则有，即， 由点，有，则有， 则。 联立，整理得， 故. （2）由题意得，设直线与椭圆的交点为， 联立得，则有， ， 若四边形为平行四边形，则有， 且，则， 即点，代入椭圆方程，解得， 因为点在第二象限，则有， 验证根的个数，即， 因此直线与椭圆有两个交点，使四边形为平行四边形， 故直线方程. （3）由题意得直线，联立，整理得， 由点在椭圆上，则有，将之代入到， 整理得，即， 由题意得在右侧，故取正号，则有点， 因为点在线段上，则设，其中， 则有点， 因为，则有， 则有， 由上知，即有，， 代入上式后得有关的二次方程， 解得，因为，故取， 设直线的方程为，其中， 代入后得，结合，整理得， 即，令，解得，故直线过定点. 变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意知，， 令，则，得，则， 由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为， 所以， 则，即， 又，得， 故的方程为； （2）（i）由题意可知，直线的斜率存在， 设，， 联立，得， 则， ，得， 则 ， 因为，所以，则， 则， 故的取值范围为； （ii）因为，所以， 若，即，则直线的方程为， 即， 因为，所以， 因为， 所以， 即，恒过点， 若，即，则，则，也过点， 故直线过定点. 变式3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）设椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）． ①若直线过点，求面积的最大值； ②若是的角平分线，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①;② 【详解】（1）因为上顶点为，右焦点为，且， 所以，由，解得， 可得， 则椭圆的方程为. （2）①显然直线的斜率不为0， 设直线方程为，， 则，消去化简可得， 所以， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离， 则的面积 ， 由于，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，， 则面积的最大值为， ②设，则， 因为直线的斜率必存在，所以直线，即， 设到直线与的距离均是，从而 平方得， 又由于，故， 整理得即点在直线 同理点也在直线上 故直线的方程为 将其按照参数进行整理： 令，解得，从而定点坐标为. 考点二 以椭圆为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，且满足.以的中点为原点，所在直线为轴，过点的垂线为轴建立坐标系（如图所示）. (1)证明直线与的交点在某椭圆上.并求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限的交点为，直线l与椭圆交于M、N两点，平分. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求的中点到点F的最小距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）证明见解析（ii） 【详解】（1）证明：设直线与的交点的坐标为， 则易得点的坐标为，点的坐标为，. 由三点共线知：；. 由三点共线知：；② 两式相乘得：，即有，. 从而证得直线与的交点的坐标满足方程， 即其落在椭圆上； （2）解：由（1）知椭圆的方程为， 因而其右焦点坐标为（1，0）， 易求得点坐标为， 设， 联立， 消元得到：， ，即， ， 因为平分， 所以， 即， 所以， 化简得，所以或， 当时，直线过点，不合题意； 所以，即证得直线的斜率为定值. 又直线在点下方，所以， 中点的坐标满足：， 又由得，， 中点的轨迹为线段（不含端点）：， 中点到点的最小距离即为点到直线的距离. （验证：中点的轨迹：与其过点的垂线的交点是否在轨迹范围内： 联立，解得， 因此，中点的轨迹：与其过点的垂线的交点确在轨迹上， 即最小距离可以点到直线的距离求得．） 例2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知动圆经过点，且与圆相切.记动圆圆心的轨迹为曲线，经过点，斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点. (1)求曲线的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)设，延长，分别与曲线交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析； 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为， 因为动圆经过点，且在圆内，因此两圆只能内切； 设切点为，如下图所示： 因此， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易知，即，则， 所以曲线的标准方程为. （2）设经过点，斜率为的直线方程为，； 当时，该直线方程为， 联立，整理可得，显然， 因此 则的面积为 因此的面积为. （3）依题意，设，如下图： 设，则； 又因为点在椭圆上，故， 两式作差可得， 因此可得； 联立，解得； 同理可设，可得; 因此 ； 所以可得，即为定值. 例3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆过点，. (1)求C的离心率； (2)过C上的点作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，过作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，…，重复上述操作. （ⅰ）若，，且，重合（在此之前，与不重合），求直线的方程； （ⅱ）当时，若，，，，探究：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）为定值. 【详解】（1）解：因为椭圆过点，， 所以，解得，， 故椭圆方程为，离心率为 （2）（i）由题，将代入得，，设直线的方程为， 联立方程得， 判别式 因为方程的一个根为，另一个根为点的横坐标， 所以，由韦达定理得，即， 将代入得，即， 因为，重合（在此之前，与不重合） 所以，的坐标为， 所以，根据椭圆的对称性，与关于原点对称， 所以，与关于原点对称，即直线过坐标原点， 所以，点的横坐标为，即 所以，即，解得， 所以直线的方程为. （ii）根据题意，设，则，即 过斜率为的直线方程为，即， 联立方程得， 整理得， 判别式 ， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 因为，，，，等号取不到， 所以，即， 因为方程的两个实数根为与点的横坐标， 所以，即 把代入得， 所以， 所以的坐标满足，即 所以根据以上递推关系得：，即 ，即；，即， 所以与坐标相同，即点列是以4为周期的周期点列. 对于，顶点坐标为：，，， 易知，关于原点对称， 直线的斜率为，直线的方程为，即， ， 点到直线的距离为， 所以， 因为在椭圆，即，， 所以，即为定值. 变式1．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； (3)试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为． （2）    由（1）得，设，直线． 由，得，显然， 所以 则， 设，则，（当且仅当时取等号，此时）， 所以的面积的最大值为． （3）设，则，， 由（2）可得 ， 所以 ， 依题意可得，解得，所以存在定点，使得为定值. 变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为． (1)求的方程； (2)设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则，① 在中，由余弦定理可得， 即， 即代入①式，得． 所以， 所以，椭圆的方程是． （2）当B，C之一为点时，不妨设，此时 AC斜率为0，N点为坐标原点，直线方程为． 代入，求得，所以AB方程为， 所以，所以MN中点为． 所以． 当AB，AC斜率都不为0时，设， 由得， 所以，代入中，得， 所以， 同理， 由Q，B，C共线，得， 所以，整理得②， 直线AB与轴交点为，直线AC与轴交点为， 所以MN中点，即，由②得， 所以． 综合以上可得为定值． 变式3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析，定值为. 【详解】（1）由题知，， 设，则， 由题意知，均不为0，即， 再由，得， 即 所以的方程为. （2）（i）因为椭圆的离心率为， 故， 所以椭圆的方程为， 如图， 设，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 而面积， 所以面积的最大值为. （ii）设，，则三点共线， 所以，即，解得， 则， 所以，为定值. 考点三 以椭圆为背景的定直线问题 例1．（25-26高三上·河南周口·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. (1)求的方程. (2)过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）或；（ii）在一条定直线上，定直线方程为. 【详解】（1）因为，所以，则直线与没有公共点． 由题可知外接圆的圆心在轴上，且当的外接圆与直线相切时， 外接圆的半径最小． 因为外接圆面积的最小值为，所以，得， 则， 则的方程为． （2）（i）设的方程为． 由得，， 则． 因为的斜率为1，所以. 设，则点到的距离． 因为的面积为，所以， 解得或，则点的坐标为或． （ii）在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，则，， 则直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得． 若的斜率存在，则由， 可得，则， 则， 即，解得. 若的斜率不存在，令，则，解得， 则设，而， ，， 则直线与的方程分别为和， 联立，解得，则两直线交点， 故在一条定直线上，且该直线的方程为． 例2．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于D，C两点，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，记动点的轨迹为． (1)证明：直线与椭圆相切． (2)求动点的轨迹的方程． (3)过点作斜率不为0的直线与相交于点R，S，直线AR与BS的交点为，判断点是否在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在定直线上 【详解】（1）由消去整理得， 即，整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即直线与椭圆相切． （2）在方程中，令，得，令，得，. 因为，所以直线①， 因为，所以直线②， 由①×②得． 因为，所以， 所以， 所以动点的轨迹的方程为．    （3）设直线的方程为， 由得， 则，所以． 因为直线AR的方程为，直线BS的方程为， 所以， 所以， 解得，即点在定直线上．    例3．（25-26高二上·广西·月考）已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T. (1)当，求的面积； (2)求动点T的轨迹C的方程； (3)若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)在， 【详解】（1）当OP方程为，代入得，，， ，同理当OP方程为时，， ∴的面积为：. （2）如图：设，由三角函数的定义得，，， ∵，∴轨迹C的方程为：. （3）设过F的动直线方程为：，代入， 整理得，. 设，， 由韦达定理有，，则. 的方程为：①；的方程为：②； ∵代入①可得：，同理由②可得：， ∴， 解得. 所以交点M在直线上. 变式1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能在一条定直线上运动，. 【详解】（1）因为右焦点的坐标为，可设直线的方程为，代入，得， 所以，， 设中点的坐标为，则， 的垂直平分线方程为， 令，可得 所以，即的取值范围是. （2）因为，，，， 则直线的方程为，直线的方程为 联立方程，消去，可得 所以 因为，所以，即 所以. 由（1）可知，， 代入整理可得，解得. 所以能在一条定直线上运动，. 变式2．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点在C上， 所以, 所以, 所以椭圆C的方程为. （2）设过点且斜率为的直线为：,即, 联立方程组, 所以, 因为，，所以, 所以 （3）设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M， 所以,又因为， 的中点， 于是,    所以，，即． 则有， 又因为， 所以， 于是， 即， 即，即， 即点在直线上． 变式3．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）斜率为的直线倾斜角为， 到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，故 连接椭圆的四个顶点得到的四边形为对角线互相垂直的四边形， 故面积，则，结合 解得，故椭圆的方程为：. （2）由题意知，直线的斜率不为0， 故设过点的直线的方程为：，， 联立得：， 故，， 易知，故， 所以直线的方程为：， 同理可得，直线的方程为：， 联立得：， 即，化简得：， 因为， 故，即，故， 所以直线的交点在垂直于轴的定直线上.    2 学科网（北京）股份有限公司 $以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的定点问题 以椭圆为背景的定值问题 以椭圆为背景的定直线问题 考点一 以椭圆为背景的定点问题 例1．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点. (1)求的标准方程； (2)求证：直线过定点； (3)求的最小值. 例2．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知矩形在如图所示的平面直角坐标系中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，且四点均在坐标轴上，直线，上的动点，满足，，直线与的交点为. (1)证明：点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； (2)设，是椭圆的左右顶点，若直线与椭圆交于、，且（，分别表示直线，的斜率），过作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）求的取值范围. 例3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知为坐标原点，直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），是椭圆在第二象限上的一动点（不同于）． (1)若，直线和直线的斜率分别记为，求的值； (2)若，是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由； (3)若为线段上的一点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 变式3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）设椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）． ①若直线过点，求面积的最大值； ②若是的角平分线，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 考点二 以椭圆为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，且满足.以的中点为原点，所在直线为轴，过点的垂线为轴建立坐标系（如图所示）. (1)证明直线与的交点在某椭圆上.并求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限的交点为，直线l与椭圆交于M、N两点，平分. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求的中点到点F的最小距离. 例2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知动圆经过点，且与圆相切.记动圆圆心的轨迹为曲线，经过点，斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点. (1)求曲线的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)设，延长，分别与曲线交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值. 例3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆过点，. (1)求C的离心率； (2)过C上的点作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，过作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，…，重复上述操作. （ⅰ）若，，且，重合（在此之前，与不重合），求直线的方程； （ⅱ）当时，若，，，，探究：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； (3)试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为． (1)求的方程； (2)设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值． 变式3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 考点三 以椭圆为背景的定直线问题 例1．（25-26高三上·河南周口·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. (1)求的方程. (2)过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 例2．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于D，C两点，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，记动点的轨迹为． (1)证明：直线与椭圆相切． (2)求动点的轨迹的方程． (3)过点作斜率不为0的直线与相交于点R，S，直线AR与BS的交点为，判断点是否在定直线上． 例3．（25-26高二上·广西·月考）已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T. (1)当，求的面积； (2)求动点T的轨迹C的方程； (3)若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程. 变式1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 变式2．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 变式3．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $