高频考点专练02 代数式及整式的运算（讲义+练习+ 测试）2026年中考数学一轮复习(广东专用)

该初中数学中考复习讲义聚焦“代数式及整式运算”核心考点，涵盖代数式、整式、整式加减与乘除4大知识点，通过“知识点梳理-7大题型分类-真题精析-分层专练-验收检测”的系统流程，帮助学生构建知识网络，突破同类项合并、公式应用等难点。 亮点在于以真题为载体培养核心素养，如通过规律探究题发展抽象能力，用实际问题中的代数式强化模型意识，设“概念专练+运算专练”分层训练。特设化简求值“整体代入”技巧指导，配合验收卷即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应试能力。

高频考点专练02 代数式及整式运算 （4个知识点+7个题型+2个专练+验收卷） 1．代数式 （1）定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． （2）代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值． 2.整式 （1）单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如是6次单项式 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式与多项式统称整式． （3）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． （4）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 3.整式的加减 （1）定义：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项． （2）去括号法则：同号得正，异号得负．即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 4.整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an＝am＋n．同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ②幂的乘方：（am）n＝amn．幂的乘方，底数不变，指数相乘． ③积的乘方：（ab）n＝anbn．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ⑤单项式与多项式的乘法：p（a＋b＋c）＝pa＋pb＋pc．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． ⑥多项式与多项式的乘法：（a＋b）（p＋q）＝ap＋aq＋bp＋bq．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做平方差公式． 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2．两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍．这两个公式叫做完全平方公式． ⑦同底数幂的除法：am÷an＝am－n．同底数幂相除，底数不变，指数相减． 任何不等于0的数的0次幂都等于1. ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 类型1 实际问题中的代数式 【例题】 1．（2025·广东佛山·一模）如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为a，中间的方孔周长为b．当时，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，能用代数式正确表示圆的半径及方孔的边长是关键．根据外圆周长可求得外圆的半径，从而可求得圆的面积；根据中间方孔的周长可求得方孔的边长，从而求得方孔的面积，则两者面积的差即为阴影部分的面积． 【详解】解：当时， 外圆半径为，中间方孔边长为， 图中阴影部分面积， 故选：C． 【变式】 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 类型2 求代数式的值 【例题】 3．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 【变式】 4．（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是将转化为． 根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 5．（2025·广东深圳·二模）若，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型2 与代数式有关的规律探究 【例题】 6．（2025·广东东莞·三模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是最上面的数字加2再乘以左下的数，据此即可求解． 【详解】解：由，，， 得． 故答案为：． 【变式】 7．（2023·广东广州·三模）观察下列一组数：，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则 ， ． 【答案】 /0.2 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】由题意推导可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键． 8．（2024·广东东莞·一模）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加，若纹饰需要8个圆形图案，，此时纹饰的长度y为 ．    【答案】212 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，根据题意得到，第一个图形的直径为，以后每增加一个图形就增加，所以增加了，再加上30便是答案． 【详解】解：根据题意：， 当时，， 故答案为：212． 类型4 整式的相关概念 【例题】 9．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、单项式的系数、次数 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 【变式】 10．（2025·广东茂名·模拟预测）单项式的次数是 ． 【答案】4 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，根据定义解答即可． 【详解】解：根据单项式次数的定义，单项式的次数是， 故答案为：4 11．（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 【答案】4 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了多项式的次数，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 类型5 整式的运算 【例题】 12．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 【变式】 13．（2025·广东佛山·一模），，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 14．（2025·广东深圳·三模）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逐一验证各选项的运算是否正确，结合合并同类项、同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方等法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 类型6 化简求值 【例题】 15．（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 . ；. 当时 ． 【变式】 16．（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先由乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 17．（2025·广东珠海·二模）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，涉及完全平方公式、平方差公式和合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是关键； 先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 18．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 19．（2025·广东江门·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、多项式除以单项式、实数的混合运算 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．首先运用平方差公式，多项式除以单项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把、值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 类型7 乘法公式与几何图形面积 【例题】 20．（2025·广东汕头·一模）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】根据剪拼的过程可知矩形的面积大正方形的面积小正方形的面积，由此列式，然后化简即可． 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】由题意得，该矩形的面积为： ． 故选：C． 【变式】 21．（2023·广东潮州·一模）图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，设每个白色长方形的长为a，宽为b，根据图①得出①，由图②可得，联立①②求出即可．关键是根据图形之间的面积关系进行解答． 【详解】解：设每个白色长方形的长为a，宽为b， 由图①可得， 即①， 由图②可得， 即②， 由①②得， ∴， 即每个白色长方形的面积为8． 故答案为：8． 22．（2023·广东汕尾·一模）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 23．（2024·广东深圳·三模）a，b，c是三个连续的正偶数，以b为边长的正方形面积的为，分别以a，c为长和宽的长方形的面积为，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式，整式的运算等知识点，根据a，b，c是三个连续的正偶数，可设，则，，进而求出，即可，解决本题的关键是用含b的式子表示a和c． 【详解】∵a，b，c是三个连续的正偶数， ∴可设，则，， ∴，， ∴， 故选：D． 专练1 代数式及整式的概念 满分：60分 得分：_____ 一、单选题（每小题3,分，共24分） 1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 3．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 4．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 6．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 8．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共36分） 9．（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的倍出售，据此求解即可． 【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是元， 故答案为；． 10．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 11．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 12．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 13．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 16．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 17．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 18．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 19．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 20．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 专练2 整式的加减乘除 满分：80分 得分：_____ 一、单选题（每小题3,分，共15分） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 2．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 5．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 6．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8．（2025·河北·中考真题）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 10．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 11．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 12．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 15．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共35分） 16．（2025·浙江·中考真题，7分）化简求值：，其中． 【答案】，13 【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（2025·江苏盐城·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 18．（2025·四川乐山·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（2025·江苏常州·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（2025·宁夏·中考真题，7分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 代数式及整式运算验收卷 满分：120分 得分：____ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 2．若，则“□”中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算法则．根据单项式乘法法则逆推即可判断出正确选项． 【详解】解：， ∴与的积为， 故选C． 3．计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】运用同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可． 【详解】，则“？”是2， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的除法；注意． 4．下面选取了四份作业中对整式“”的计算过程，其中计算过程和结果均正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方运算规则．熟练掌握这两个运算法则，是解题的关键． 先依据积的乘方法则，将原式中因数分别乘方，再根据幂的乘方法则对字母部分进行运算，最后得出正确结果，通过与各选项对比，选出计算过程和结果均正确的选项． 【详解】 故选D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 6．如图，若，在给出的四个运算中，结果为的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐个计算判断即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④ ； 所以结果为的对应运算④ ． 故选：D． 7．结果等于的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符题意； 故选：C ． 8．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 9．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具． 【答案】 【分析】根据总共配发的数量年级数量每个年级配发的套数，列代数式． 【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：套， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式． 12．写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键． 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 【详解】解：∵二次三项式满足：只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列， ∴这个多项式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 13．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是 个． 【答案】28 【分析】本题考查了图形类规律题，找出规律是解题的关键． 根据氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷有4个氢原子，， 乙烷有6个氢原子，， 丙烷有8个氢原子， ， 以此类推，则十三烷的分子结构模型中氢原子的个数：， 故答案为：28． 15．在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式的加减．通过观察分析，得出图中数的规律为：下一行数比同列上一行数大7，右列的数比同行左列的数大1，据此列式即可． 【详解】解：由图可知：这四个数分别为：x，，，， ∴这四个数的和． 故答案为：． 16．如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，掌握平方差公式是解题关键．用矩形的面积减去小正方形的面积列式，再化简即可． 【详解】解：这个舞台的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（9分）已知，求代数式的值． 【答案】５ 【分析】先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键． 18．（9分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解． 【详解】解：原式＝ 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键． 19．（9分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可； （2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示． 【详解】（1） （2） 所以． 【点睛】本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键． 20．（9分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例先去括号，再合并同类项：（）． 解：（） ． 【答案】，解答过程补充完整为 【分析】利用除以可得，再根据合并同类项法则补充解答过程即可． 【详解】解：观察第一步可知，， 解得， 将该例题的解答过程补充完整如下： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 21．（9分）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）把看成整体，先合并，再代入计算即可； （2）把看成整体，先合并，再代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 22．（9分）如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 【答案】(1)画图见解析，该正方形的面积为； (2)，绿地的面积为． 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图、单项式乘多项式、多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题意结合正方形的判定画图即可，然后根据正方形的面积公式计算即可； （）用大矩形的面积减去正方形围栏的面积求出多项式表示绿地的面积，然后将，的值代入计算即可. 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； 该正方形的面积为； （2）解：绿地的面积为： ， 当，时，绿地的面积为， ∴绿地的面积为． 23．（9分）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【答案】验证：；论证见解析 【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明． 【详解】证明：验证：10的一半为5，； 设“发现”中的两个已知正整数为m，n， ∴，其中为偶数， 且其一半正好是两个正整数m和n的平方和， ∴“发现”中的结论正确． 【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键． 24．（9分）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握作差比较法是解题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点专练02 代数式及整式运算 （4个知识点+7个题型+2个专练+验收卷） 1．代数式 （1）定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． （2）代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值． 2.整式 （1）单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如是6次单项式 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式与多项式统称整式． （3）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． （4）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 3.整式的加减 （1）定义：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项． （2）去括号法则：同号得正，异号得负．即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 4.整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an＝am＋n．同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ②幂的乘方：（am）n＝amn．幂的乘方，底数不变，指数相乘． ③积的乘方：（ab）n＝anbn．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ⑤单项式与多项式的乘法：p（a＋b＋c）＝pa＋pb＋pc．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． ⑥多项式与多项式的乘法：（a＋b）（p＋q）＝ap＋aq＋bp＋bq．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做平方差公式． 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2．两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍．这两个公式叫做完全平方公式． ⑦同底数幂的除法：am÷an＝am－n．同底数幂相除，底数不变，指数相减． 任何不等于0的数的0次幂都等于1. ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 类型1 实际问题中的代数式 【例题】 1．（2025·广东佛山·一模）如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为a，中间的方孔周长为b．当时，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式】 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ． 类型2 求代数式的值 【例题】 3．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【变式】 4．（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是 ． 5．（2025·广东深圳·二模）若，则 ． 类型2 与代数式有关的规律探究 【例题】 6．（2025·广东东莞·三模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ． 【变式】 7．（2023·广东广州·三模）观察下列一组数：，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则 ， ． 8．（2024·广东东莞·一模）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加，若纹饰需要8个圆形图案，，此时纹饰的长度y为 ． 类型4 整式的相关概念 【例题】 9．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 【变式】 10．（2025·广东茂名·模拟预测）单项式的次数是 ． 11．（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 类型5 整式的运算 【例题】 12．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】 13．（2025·广东佛山·一模），，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 14．（2025·广东深圳·三模）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 类型6 化简求值 【例题】 15．（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式】 16．（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 17．（2025·广东珠海·二模）先化简，再求值： ，其中，． 18．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 19．（2025·广东江门·一模）先化简，再求值：，其中，． 类型7 乘法公式与几何图形面积 【例题】 20．（2025·广东汕头·一模）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式】 21．（2023·广东潮州·一模）图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ． 22．（2023·广东汕尾·一模）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 23．（2024·广东深圳·三模）a，b，c是三个连续的正偶数，以b为边长的正方形面积的为，分别以a，c为长和宽的长方形的面积为，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 专练1 代数式及整式的概念 满分：60分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 4．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 8．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 二、填空题（每题3分，共36分） 9．（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 10．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 11．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 12．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 13．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ． 14．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 16．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 17．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 18．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 19．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 20．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 专练2 整式的加减乘除 满分：80分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共15分） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共30分） 6．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 7．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 8．（2025·河北·中考真题）计算： ． 9．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 10．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 11．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 12．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则 ． 13．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 15．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则m的值为 三、解答题（共35分） 16．（2025·浙江·中考真题，7分）化简求值：，其中． 17．（2025·江苏盐城·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中． 18．（2025·四川乐山·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中． 19．（2025·江苏常州·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中． 20．（2025·宁夏·中考真题，7分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 代数式及整式运算验收卷 满分：120分 得分：____ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．若，则“□”中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 3．计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下面选取了四份作业中对整式“”的计算过程，其中计算过程和结果均正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，若，在给出的四个运算中，结果为的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．结果等于的有（　　） A． B． C． D． 8．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 二、填空题（每题3分，共18分） 11．某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具． 12．写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 13．已知，则的值是 ． 14．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是 个． 15．在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为 ． 16．如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 三、解答题（共72分） 17．（9分）已知，求代数式的值． 18．（9分）先化简，再求值：，其中． 19．（9分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 20．（9分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例先去括号，再合并同类项：（）． 解：（） ． 21．（9分）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 22．（9分）如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 23．（9分）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 24．（9分）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $