精品解析：甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期学业学情调研卷高三数学

临潭一中2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，利用交集定义计算即可． 【详解】由题意可得，则 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解. 【详解】点对应的复数， 则， 所以. 故选：D 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则与相交 C. 若，没有公共点，则，是异面直线 D. 若，，，则，不可能相交 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例，D选项，或异面，，不可能相交，D正确. 【详解】对于AD选项，若，，，则或异面，，不可能相交，A错误，D正确； 对于B选项，若，，，则与平行或与相交，B错误； 对于C选项，若，没有公共点，则，是异面直线或平行直线，C错误. 故选：D 4. 盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 5. 已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案. 【详解】设与平行的单位向量为，则. 则与平行的单位向量为或. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式得到，再利用诱导公式求解即可。 【详解】，即， 故选：B 7. 已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，延长ON交于A，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 详解】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：A. 8. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解. 【详解】设， 所以， 因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立， 所以， 所以在上是增函数， 又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数 所以也是定义在R上的奇函数 所以在上是增函数， 又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为 所以函数f（x）是连续函数 所以在R上是增函数， 又因为， 所以， 又因为 x2f（x）＜2， 即. 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（ ） A. 该市14天空气质量指数的平均值大于100 B. 此人到达当日空气质量优良的概率为 C. 此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 D. 每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 【答案】ABCD 【解析】 【分析】A.利用平均数公式求得空气质量指数的平均值比较即可；B.从空气质量指数趋势观察即可；C.利用古典概型，先得到从6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件数，再得到此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件数，代入公式求解；D.空气质量指数趋势图观察即可. 【详解】A.，故正确； B.在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故正确； C.6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故正确； D. 空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确. 故选：ABCD 【点睛】本题主要考查平均数，古典概型的概率以及方差，还考查了数形结合的方法，属于基础题. 10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 直线与抛物线相切 C. 已知点，则的周长最小值为 D. 若，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，将方程化成标准方程得解；对B，将直线与抛物线方程联立，由判别式等于0，判断；对C，过点向准线作垂线，垂足为，结合抛物线定义可得当三点共线时，最小，此时的周长最小，得解；对D，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，即可得到，再由，得，即可求出，再由面积公式计算即可判断D. 【详解】对于A，由，得抛物线的标准方程为，所以焦点为，故A错误； 对于B，由，得，代入化简得，， 所以直线与抛物线相切，故B正确； 对于C，如图，，所以当最小时，的周长最小， 过点向准线作垂线，垂足为，则，当三点共线时，最小，最小值为5， 所以的周长的最小值为，故C正确； 对于D，由题直线的斜率一定存在，设直线， 代入，整理得，， 设，，则， 由，得，解得或，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，棱长为2正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（ ） A. B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 当变化时，平面截正方体所得的截面周长为定值 D. 点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由结合空间向量的数量积即可判断A；由线面夹角的向量公式即可判断B；作出平面截正方体所得的截面，结合，，即可判断；根据球的表面积公式即可判断D． 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设， 则，所以， ，所以， ，，，，， 因为，所以， 所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面，所以平面的法向量为， 则直线与平面所成的角的正弦值为， 所以直线与平面所成的角的余弦值为，故B错误； 取上一点，满足，则， 因为，且有公共点， 所以平面，又平面，平面平面， 所以共线，作出平面截正方体所得的截面， 由，得为等腰直角三角形， 同理可得均为等腰直角三角形， ， 所以截面周长为为定值，故C正确； 当点为中点时，，所以，，， 则，所以， 所以三棱锥的外接球的球心在过中点，垂直于平面的直线上， 连接， 因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 则共面，设交点为，则， 设球心为，，则， 则，即， 解得，半径为，表面积为，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解． 【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题． 13. 已知数列的前项和，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先令得到，再结合前项和与通项公式的关系得到，再构造等比数列求出，最后得到. 【详解】令，得到，解得， 因为，所以， 当时，， 则， 得到，即， 故，设， 则，即， 得到，解得，故， 而，则是公比为的等比数列，且首项为， 可得，故. 故答案为： 14. 在的展开式中，有理项的系数之和为______.（用数字作答） 【答案】128 【解析】 【分析】先根据二项式展开式通项公式确定有理项，再求对应系数和. 【详解】展开式的通项为，. 所以当时，为有理项，对应系数和为. 故答案为：128 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出等差数列的公差和首项，即可得答案； （2）由题设可得时，，即可推出，求得的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意等差数列的公差为，且，， 即，解得， 故， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为①， 则时，， 故当时，②， ①②可得，而也适合该式， 故，又，所以， 则数列是以为首项，公比为的等比数列， 故. 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上. （1）若面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先证明,再求比值；（2）建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积公式求解. 【详解】（1）法一：过作交于，连接，连接交于，连接. ∵，面，面， ∴面，又，面，面， ∴面面， 又面，∴面， 又面面，面， ∴. 又为中点，∴为中点，∴, ∴为中点，. 法二： 取中点，连接，∵是的菱形， ∴，又面，∴分别以为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示. 则, ∴,, 设面的一个法向量， 则由可得，不妨令，则解得，， ∴. 设，则， ∵面，∴，即，解得. ∴. （2）法一：过点作直线交延长线于，过点作直线交于， ∵面,∴面面，∴面，由三垂线定理可得, ∴是二面角的平面角. 由题意得，，且，∴, ∴，∴二面角的余弦值为. 法二：接（1）法二，显然面的一个法向量， ∴，∴二面角的余弦值为. 【点睛】 立体几何是高中数学重要内容之一,也理解高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的平行的逆向型问题,解答时充分借助已知条件与判定定理进行合理分析推证,从而使本题获解.值得提出的是在证明直线与平面平行时,一定要注意判定定理中的面外的线和面内的线的表达,这是解答这类问题最容易出错的地方.本题是运用线面平行的性质定理推出线线平行,二面角的计算是运用几何定义法和空间向量法这两种方法进行求解的. 17. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 【答案】（1）84 （2）96人； （3）平均数和方差分别为72.5和148． 【解析】 【分析】（1）求出第80百分位数一定位内，利用百分位数的公式计算出答案； （2）求出成绩不低于80分的频率，估计处高二年级男生中成绩优秀人数； （3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案. 【小问1详解】 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此第80百分位数一定位内． 因为，所以估计第80百分位数约是84． 【小问2详解】 成绩不低于80分的频率为， 所以高二年级男生中成绩优秀人数估计：， 所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人； 【小问3详解】 设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148． 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，分别为其左、右顶点，为椭圆上的一个动点，，面积的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于异于点的两点，，求证：直线过定点，并求此定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析 ，定点． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定关系式，求椭圆的方程； （2）分斜率存在不存在两种情况探究，联立直线与圆锥曲线方程，利用根与系数关系，结合，求得直线所过定点. 【小问1详解】 因为面积最大值为，且当为短轴的端点时，的面积最大， 所以. 设，易知，则， 又，所以．所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由可得， 即， ，所以； 当直线的斜率不存在时， 设，联立，得，解得， 所以或． 又， 所以或，， 所以，解得或（舍去）， 此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，易知直线的斜率不为0，设， 联立方程，得， 消去得． 由，得，设， 由根与系数的关系，知． 因为， 所以， 将代入上式，整理得， 即，所以或． 当时，直线，此时直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，此时直线过定点． 又直线过点，所以直线过定点 19. 已知函数 的极值为 （1）求实数b的值； （2）当 时，讨论函数的单调性； （3）当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得在处取得极大值，据此可得答案. （2）由题可得，然后分，，三种情况解不等式可得单调区间； （3）将问题转化为函数与直线在上有2个交点，然后通过导数研究函数，可得大致图像，据此可得答案. 【小问1详解】 由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； 【小问2详解】 由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭一中2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，点对应复数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则与相交 C. 若，没有公共点，则，是异面直线 D. 若，，，则，不可能相交 4. 盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（ ） A. 该市14天空气质量指数的平均值大于100 B. 此人到达当日空气质量优良的概率为 C. 此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 D. 每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 直线与抛物线相切 C. 已知点，则的周长最小值为 D. 若，则面积为 11. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（ ） A. B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 当变化时，平面截正方体所得截面周长为定值 D. 点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最大值为_________ 13. 已知数列的前项和，且满足，则______． 14. 在的展开式中，有理项的系数之和为______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上. （1）若面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 17. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； （3）已知男生成绩样本数据平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，分别为其左、右顶点，为椭圆上的一个动点，，面积的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于异于点的两点，，求证：直线过定点，并求此定点的坐标． 19. 已知函数 极值为 （1）求实数b的值； （2）当 时，讨论函数的单调性； （3）当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $