甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期学业学情调研卷高三数学

临潭一中2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，点对应的复数为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与相交 C．若，没有公共点，则，是异面直线 D．若，，，则，不可能相交 4．盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（    ） A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 B．此人到达当日空气质量优良的概率为 C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 10．已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．直线与抛物线相切 C．已知点，则的周长最小值为 D．若，则的面积为 11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（    ） A． B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．当变化时，平面截正方体所得的截面周长为定值 D．点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则的最大值为 13．已知数列的前项和，且满足，则 ． 14．在的展开式中，有理项的系数之和为 .（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设等差数列的公差为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上. （1）若面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 17．（15分）用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数； (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 18．（17分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，分别为其左、右顶点，为椭圆上的一个动点，，面积的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于异于点的两点，，求证：直线过定点，并求此定点的坐标． 19．（17分）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭一中2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 命题人：李文元 (（考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.设集合A={x|x2+2x-3<0},B={x0<x<2},则A∩B=() A.{x|0<x<2}B.{x0<x<} C.{x|-3<x<1}D.{x-1<x<2} 【答案】B 【分析】解一元二次不等式化简集合A,利用交集定义计算即可. 【详解】由题意可得A={x|-3<x<1},则A⌒B={x0<x<1},故选：B 2.在复平面内，点z3,4)对应的复数为z,则二=（) 4否 B. C. 2 5 D. 2 5 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出复数z,再利用复数除法及模的运算求解 【详解】点Z(3,4)对应的复数==3+4i, :488”高石，所生+云-9 故选：D 3.已知a,b是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列结论正确的是() A.若aca,bcB,∥B,则a∥b B.若aCa,bCB,a∥b,则a与B相交 C.若a,b没有公共点，则a,b是异面直线 D.若aca,bcB,a∥B,则a,b不可能相交 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例，D选项，a∥b或a,b异面，a,b不可能相交，D正确 【详解】对于AD选项，若aCa,bcB,alIB,则a∥b或a,b异面，a,b不可能相交， A错误，D正确： 对于B选项，若aCa,bcB,a∥b,则a与B平行或a与B相交，B错误： 对于C选项，若a,b没有公共点，则a,b是异面直线或平行直线，C错误故选：D 4.盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球若从中一次随机取出2 个球，则取到的都是白球的概率为() A.3 B. 2 C. 5 3 D. 6 【答案】A 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数， 根据古典概型的概率公式即可求得答案， 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有C?=3种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有C=1种，故取出的两个球都是白球的概率为} 故选：A 5.已知向量ā=(-1,1)，则下列向量中与ā平行的单位向量是() √2 2√ A. 2’ c.1-1 D.(1,1) 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案 【详解】设与ā平行的单位向量为6=(mm),则（←m+-Lm=± 2 则与ā平行的单位向量为 √2√2 故选：A 22 6.已知ma-csa-则cosa+)() 3 1 A.3 B.-V② c.3 D. 6 6 【答案】B 【分析】首先根据箱助角公式得到$m。白 再利用诱导公式求解即可。 ra+}ws气e升引-ma-} 2。故选：B y 乙、己知点M是椭圆C+Q>b>0上的一点，A,乃分别是C的左、右焦点，且 ∠PM=60°，点N在∠FM的平分线上，O为原点，ONI/M,ON=b,则C的离心率 为() A.2万 B. 7 C. D. 7 4 【答案】A 【分析】设M=m,M=n,延长ON交MF2于A,由题意得出△NAM是等腰三角形 在△MF中由余弦定理得到含a,c的齐次方程即可求解离心率 【详解】设M=m,M=n,延长ON交M于A,如图所示 由题意知ON1/瓜，O为FE的中点，.点A为M中点 又∠FMF,=60°，点N在∠FM的平分线上， ÷2MA=AM=30,÷△MM是等腰三角形，AM-M=R-a. 则o4-=号M=u=oN+hN=b+,所以m-a=20.又m+n=2a,所以 m=a+b n=a-b 又在△MRF,中，由余弦定理得M+M,-2 F MF cos60°E,2, 即m2+2-n=4c2,即(a+b)2+(a-b)2-(a+b)(a-b)=4c2,化简得：ad2+3b2=4c2 又=-e所r=G,所以e-分号e2板选：A 7 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f'(x),若对任意的正实数x,都 有xf(x)+2f(x)>0恒成立，且f(W②)=1，则使xf(x)<2成立的实数x的集合为() A.（-m,-2)U(V2+0) B.（-V2,V2) C.（-mN2) D.（2,+m 【答案】C 【分析】根据xf(x)+2f(x)>0的特征，构造h(x)=x2f(x),研究其单性，又fV2)=1, 得到h(2)=2f2)=2,将x2f(x)<2,转化为h(x)<h(V②)，利用单调性定义求解 【详解】设h(x)=x2f(x),所以h(x)=xf'(x)+2.yf(x)=x(xf'(x)+2f(x), 因为x>0时，都有xf'(x)+2f(x)>0恒成立，所以H(x)>0, 所以h(x)=xf(x)在(0，+∞)上是增函数，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数 所以h(x)=x2f(x)也是定义在R上的奇函数，所以h(x)=x2f(x)在(-o,0)上是增函数， 又因为函数f(x)是定义在R上，其导函数为f'(x),所以函数f(x)是连续函数 所以h(x)=xf(x)在R上是增函数，又因为f(2)=1,所以(N②)=2f(2)=2, 又因为xf(x)<2,即h(x)<h(V2)所以x<√故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质 量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中 的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有() 个空气质量指数 250 217 200 150 160 160 158 143 121 100 86 86 .79 40 537 1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日日期 A.该市14天空气质量指数的平均值大于100 B.此人到达当日空气质量优良的概率为3 6 C.此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为3 4 D.每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 【答案】ABCD 【分析】A利用平均数公式求得空气质量指数的平均值比较即可：B.从空气质量指数趋势观 察即可；C.利用古典概型，先得到从6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件数，再 得到此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件数，代入公式求解：D.空气质量 指数趋势图观察即可 样解】A486+25+57+143+220+160+40+217+160+121+158+86+79+37)≈15 故正确： B.在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气 质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为3，故正确： C.6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空 气重度污染的基本事件是{4,5}，{5,6？，{7,8,8，}共4个，所以此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率是4 关13·故正确； D.空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故 正确.故选：ABCD 10.已知抛物线C:y= 的焦点为F,M,N是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） 4 A.点F的坐标为 1,0 16 B.直线1：y-x+1=0与抛物线C相切 C.已知点A(1,4),则△MAF的周长最小值为√10+5 D.若M派=2丽，则△MON的面积为32 【答案】BCD 【分析】对A,将方程化成标准方程得解；对B,将直线1与抛物线C方程联立，由判别式 等于0，判断：对C,过点M向准线y=-1作垂线，垂足为B,结合抛物线定义可得当A,M,B 三点共线时，M4+MB最小，此时△MAF的周长最小，得解；对D,设直线MN的方程 为y=c+1,联立直线与抛物线方程，即可得到xx2=-4,再由MF=2FN,得x1=-2x2, 即可求出x-x,=3W2,再由面积公式计算即可判断D 【详解】对于A,由y=工，得抛物线C的标准方程为x2=4y,所以焦点为F(0,1),故A 4 错误；对于B,由y-x+1=0,得y=x-1,代入x2=4y化简得x2-4x+4=0,△=0， 所以直线l与抛物线C相切，故B正确： 对于C,如图，AF=V1-0)+(4-1)2=0,所以当MA+M最小时，△MAF的周长 最小，过点M向准线y=-1作垂线，垂足为B,则MF=MB,当A,M,B三点共线时， MA+MB最小，最小值为5，所以△MAF的周长的最小值为√10+5，故C正确： 对于D,由题直线MN的斜率一定存在，设直线MN:y=r+1, 代入x2=4y,整理得x2-4-4=0,△=16k2+16>0,设M(6,),N(x2,y),则xx2=-4, x=-22∫x,=2W2 由MF=2FN,得x=-2x2,解得 或 =-V2'所以5-=3W5. 所以8ewpk子3=3，故D正确 2 故选：BCD. 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别在棱D,C,AD上，且 DE=DC,AF=AD,其中元∈(0，)，点P是平面ABCD内的一个动点（异于点F), 且AC⊥EP,则() D E B D A.FP⊥AC B.直线A8与平面EFP所成的角的余弦值为5 C.当1变化时，平面EFP截正方体所得的截面周长为定值 D.点P为AB中点时，三棱锥C-BP的外接球的表面积为25π 【答案】ACD 【分析】以D为原点，DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由AC⊥EP 结合空间向量的数量积即可判断A;由线面夹角的向量公式即可判断B;作出平面EFP截 正方体所得的截面，结合DE=D,C，AF=1AD,即可判断：根据球的表面积公式即可 判断D 【详解】以D为原点，DADC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),D(0,0,2),A(2,0,2),设P(m,,0)(,n∈[0,2]）， 则DE=DC=1(0,2,0)=(0,21,0),所以E(0,21,2), DF=DA+AF=(2,0,0)H（210,0)上=(2-21,0,0)，所以F(2-2元，0,0)， AC=(-2,2,-2),PF=(2-21-m,-,0),EF=(2-2元，-2,0)，EP=(m,n-2元-2)， AB=(0,2,0), 因为AC⊥EP,所以ACEP=-2m+21-42+4=0, 所以P℉.AC=2(2-2元-m）2(n)=4-4元-21+21=0，故A正确： 因为AC⊥EP,FP⊥AC,EPC FP=P,EP,FP1平面EFP, 所以AC⊥平面EFP,所以平面EFP的法向量为AC=（-2,2,-2), AC.AB 4 则直线AB与平面EFP所成的角的正弦值为 5 AC AB 2×2W53 所以直线AB与平面EP所成的角的余弦值为 ,故B错误： 3 取AB上一点9，满足A⊙=AB,则F0=(2,2元，0)， 因为FQAC=-41+41=0,且℉0，FP有公共点F, 所以FQ1平面EFP,又FO,FP1平面ABCD,平面ABCD∩平面EFP=FQ, 所以FO,FP共线，作出平面EFP截正方体所得的截面FOGHEI, 由DE=DC,AO=1AB得△AFQ为等腰直角三角形，FQ=2N21 同理可得△BG2,△B,GH,△EHC,AEID,△DIF均为等腰直角三角形， 0G=EH=IF=V2(2-2),GH=EI=251, 所以截面周长为3×√2(2-22)+3×2迈1=6迈为定值，故C正确： 当点2为AB中点时，片所以E01,2,P100,P210), 则BF+Pm=6+28-Pa,所以DPRE= 所以三棱锥C-EFP的外接球的球心在过PE中点，垂直于平面PEF的直线上， 连接AP,PC,CB,AE, 因为PA=(0,-1,2),CE=(0,-1,2, 所以PA=CE,所以四边形APCE为平行四边形， 则AC,PE共面，设交点为O,则O∈AC, 设球心为O,AO=kAC=（-2k,2k,-2k),则O(2-2k,2k,2-2k), 则OC=OF,即(2-2k)2+(2k-2)+(2-2k)2=1-2k)2+(2k)+(2-2k)2, 2 解得k 半径为5V ,表面积为4π× 53 6 6 25π，故D正确：故选：ACD, D D P(O) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知a>0,b>0,且a+3b=1,则ab的最大值为 【案】吉 【分析】直接由基本不等式求解。 【详解】a>0,b>0,∴a+30=1≥25ad,即0≤位，当且仅当a=3动，即a=5b=若 12 时等号成立，所以b的最大值为日故答案为：2 13.己知数列{an}的前n项和Sn,且满足Sn+2an=n-1,n∈N+,则a.= 【答案】1-令 【分析】先令m1得到a=0,再结合前加项和与通公式的关系得到a红兮再构 1 造等比数列求出a,-1=-1x(孕，最后得到a=1-孕 【详解】令n=1,得到S1+2a1=1-1=0,解得a=0,因为Sn+2a,=n-1,所以Sn=n-1-2a, 当n≥2时，Sn-1=n-1-1-2a-1=n-2-2a,-,则。-Sn-1=n-1-2a-1-2-2a-1), 得到a以：2双1，则刘2：1，故风=+兮设a+=a+9 3 则2+学，即a=子，得到-兮解得=1，煎a1--)。 2 2 2 而4-1-1≠0，则a-1以是公比为号的等比数列，且首项为4-1=-1， 可得a-1=-1k孕，故a-1-孕故答案为：1-令 14.在1+√的展开式中，有理项的系数之和为 ·(用数字作答) 【答案】128 【分析】先根据二项式展开式通项公式确定有理项，再求对应系数和. 1+扩 【详解】+V展开式的通项为71=F,C51()=Csx,r=0,12,8。 所以当r=13,57时，为有理项，对应系数和为C%+C+C+C=×2°=128 2 故答案为：128 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设等差数列{an}的公差为d,且d=2a,4=9 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设数列物，}满足a4+a,b,+…+a,b,=3- 2n+3 2 ,求b}的前n项和Sn 【答案】(1)a,=21-1 (2)S.=1 2 【分析】(1)根据题意可求出等差数列{a}的公差和首项，即可得答案： ②)由题设可得n≥2时，a4+a4+中a=3-,即可推出a4.-2 2,求得 b,}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案 【详解】(1)由题意等差数列{a}的公差为d,且d=2a,4=9, 即d=24,4+4d=9,解得a1=1,d=2, 故a.=1+2(n-1)=21-1, 即数列{a}的通项公式为a.=21-1 2因为a4+4++a助-3-2产0. 则=1时，44 故当m22时，4A+44++a=3牛@， ①-@可得ad2,面44号也适合该式 临潭一中2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式化简集合，利用交集定义计算即可． 【详解】由题意可得，则，故选：B 2．在复平面内，点对应的复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解. 【详解】点对应的复数， 则，所以. 故选：D 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与相交 C．若，没有公共点，则，是异面直线 D．若，，，则，不可能相交 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例，D选项，或异面，，不可能相交，D正确. 【详解】对于AD选项，若，，，则或异面，，不可能相交，A错误，D正确； 对于B选项，若，，，则与平行或与相交，B错误； 对于C选项，若，没有公共点，则，是异面直线或平行直线，C错误.故选：D 4．盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种，故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 5．已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案. 【详解】设与平行的单位向量为，则. 则与平行的单位向量为或.故选：A 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据辅助角公式得到，再利用诱导公式求解即可。 【详解】，即， 。故选：B 7．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，延长ON交于A，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示.   由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形，∴， 则，所以.又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即，化简得：. 又，所以，所以，即故选：A. 8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解. 【详解】设，所以， 因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以， 所以在上是增函数，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数 所以也是定义在R上的奇函数，所以在上是增函数， 又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为，所以函数f（x）是连续函数 所以在R上是增函数，又因为，所以， 又因为 x2f（x）＜2，即.所以故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（    ） A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 B．此人到达当日空气质量优良的概率为 C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 【答案】ABCD 【分析】A.利用平均数公式求得空气质量指数的平均值比较即可；B.从空气质量指数趋势观察即可；C.利用古典概型，先得到从6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件数，再得到此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件数，代入公式求解；D.空气质量指数趋势图观察即可. 【详解】A.，故正确； B.在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故正确； C.6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故正确； D. 空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确. 故选：ABCD 10．已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．直线与抛物线相切 C．已知点，则的周长最小值为 D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】对A，将方程化成标准方程得解；对B，将直线与抛物线方程联立，由判别式等于0，判断；对C，过点向准线作垂线，垂足为，结合抛物线定义可得当三点共线时，最小，此时的周长最小，得解；对D，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，即可得到，再由，得，即可求出，再由面积公式计算即可判断D. 【详解】对于A，由，得抛物线的标准方程为，所以焦点为，故A错误；对于B，由，得，代入化简得，， 所以直线与抛物线相切，故B正确； 对于C，如图，，所以当最小时，的周长最小，过点向准线作垂线，垂足为，则，当三点共线时，最小，最小值为5，所以的周长的最小值为，故C正确； 对于D，由题直线的斜率一定存在，设直线， 代入，整理得，，设，，则， 由，得，解得或，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（    ） A． B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．当变化时，平面截正方体所得的截面周长为定值 D．点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由结合空间向量的数量积即可判断A；由线面夹角的向量公式即可判断B；作出平面截正方体所得的截面，结合，，即可判断；根据球的表面积公式即可判断D． 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设， 则，所以， ，所以， ，，，，， 因为，所以， 所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面，所以平面的法向量为， 则直线与平面所成的角的正弦值为， 所以直线与平面所成的角的余弦值为，故B错误； 取上一点，满足，则， 因为，且有公共点， 所以平面，又平面，平面平面， 所以共线，作出平面截正方体所得的截面， 由，得为等腰直角三角形， 同理可得均为等腰直角三角形， ， 所以截面周长为为定值，故C正确； 当点为中点时，，所以，，， 则，所以， 所以三棱锥的外接球的球心在过中点，垂直于平面的直线上， 连接， 因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 则共面，设交点为，则， 设球心为，，则， 则，即， 解得，半径为，表面积为，故D正确；故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则的最大值为 【答案】 【分析】直接由基本不等式求解． 【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为．故答案为：． 13．已知数列的前项和，且满足，则 ． 【答案】 【分析】先令得到，再结合前项和与通项公式的关系得到，再构造等比数列求出，最后得到. 【详解】令，得到，解得，因为，所以， 当时，，则， 得到，即，故，设， 则，即，得到，解得，故， 而，则是公比为的等比数列，且首项为， 可得，故.故答案为： 14．在的展开式中，有理项的系数之和为 .（用数字作答） 【答案】128 【分析】先根据二项式展开式通项公式确定有理项，再求对应系数和. 【详解】展开式的通项为，. 所以当时，为有理项，对应系数和为. 故答案为：128 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设等差数列的公差为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可求出等差数列的公差和首项，即可得答案； （2）由题设可得时，，即可推出，求得的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意等差数列的公差为，且，， 即，解得， 故， 即数列的通项公式为. （2）因为①， 则时，， 故当时，②， ①②可得，而也适合该式， 故，又，所以，则数列是以为首项，公比为的等比数列，故. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上. （1）若面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先证明,再求比值；（2）建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积公式求解. 【详解】（1）法一：过作交于，连接，连接交于，连接. ∵，面，面， ∴面，又，面，面， ∴面面， 又面，∴面， 又面面，面， ∴. 又为中点，∴为中点，∴, ∴为中点，. 法二： 取中点，连接，∵是的菱形， ∴，又面，∴分别以为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示. 则, ∴,, 设面的一个法向量， 则由可得，不妨令，则解得，， ∴. 设，则， ∵面，∴，即，解得. ∴. （2）法一：过点作直线交延长线于，过点作直线交于， ∵面,∴面面，∴面，由三垂线定理可得, ∴是二面角的平面角. 由题意得，，且，∴, ∴，∴二面角的余弦值为. 法二：接（1）法二，显然面的一个法向量， ∴，∴二面角的余弦值为. 17．（15分）用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数； (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 【答案】(1)84 (2)96人； (3)平均数和方差分别为72.5和148． 【分析】（1）求出第80百分位数一定位内，利用百分位数的公式计算出答案； （2）求出成绩不低于80分的频率，估计处高二年级男生中成绩优秀人数； （3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案. 【详解】（1）在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此第80百分位数一定位内． 因为，所以估计第80百分位数约是84． （2）成绩不低于80分的频率为， 所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：， 所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人； （3）设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148． 18．（17分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，分别为其左、右顶点，为椭圆上的一个动点，，面积的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于异于点的两点，，求证：直线过定点，并求此定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 ，定点． 【分析】（1）根据已知条件确定关系式，求椭圆的方程； （2）分斜率存在不存在两种情况探究，联立直线与圆锥曲线方程，利用根与系数关系，结合，求得直线所过定点. 【详解】（1） 因为面积的最大值为，且当为短轴的端点时，的面积最大，所以. 设，易知，则， 又，所以．所以椭圆的标准方程为． （2）由可得， 即， ，所以； 当直线的斜率不存在时， 设，联立，得，解得， 所以或． 又，所以或，，所以，解得或（舍去），此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，易知直线的斜率不为0，设， 联立方程，得，消去得． 由，得，设， 由根与系数的关系，知． 因为， 所以， 将代入上式，整理得， 即，所以或． 当时，直线，此时直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，此时直线过定点． 又直线过点，所以直线过定点 19．（17分）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）由题可得在处取得极大值，据此可得答案. （2）由题可得，然后分，，三种情况解不等式可得单调区间； （3）将问题转化为函数与直线在上有2个交点，然后通过导数研究函数，可得大致图像，据此可得答案. 【详解】（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭一中2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 命题人：李文元 (（考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.设集合A={x|x2+2x-3<0},B={x0<x<2},则A∩B=() A.{x|0<x<2}B.{x0<x<} C.{x|-3<x<1}D.{x|-1<x<2} 2.在复平面内，点Z3,4对应的复数为2，则1二=() A启 B青 c.2 D. 3.己知a,b是两条不同的直线，&，B是两个不同的平面，下列结论正确的是() A.若aca,bcB,a∥B,则a∥b B.若aCa,bCB,a∥b,则a与B相交 C.若a,b没有公共点，则a,b是异面直线 D.若aCa,bcB,al∥B,则a,b不可能相交 4.盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球若从中一次随机取出2 个球，则取到的都是白球的概率为() B.? c D. 5 5.已知向量=(-1,1)，则下列向量中与a平行的单位向量是() c.1-1 D.(1,1) 6已知sa-cs则cosa+-) 1 A.-3 B.、V2 6 c.3 D.② 6 7.已知店M是能圆C若+若-1a>b0上的点，耳，及分别是C的左、右焦点，且 ,y2 ∠FM=60°，点N在∠FM的平分线上，O为原点，ON1/M,ON=b,则C的离心率 为() A.2万 7 B c.6 D.V6 4 4 8.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f'(x),若对任意的正实数x,都 有xf'(x)+2f(x)>0恒成立，且f(V2)=1,则使xf(x)<2成立的实数x的集合为() A.（-m,-2)U(V2,+m) B.（-V2V2) c.（-0W2) D.（V2,+m） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质 量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中 的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有() 个产气质量指数 250 200 150 100 86 .79 5 25 --537- 0 1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日曰期 A,该市14天空气质量指数的平均值大于100 B。此人到达当日空气颅量优良的概率为号 C.此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为13 D.每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 10.己知抛物线C:y= 二的焦点为F,M,N是抛物线上两点，则下列结论正确的是(） 4 A.点F的坐标为 B.直线：y-x+1=0与抛物线C相切 C.已知点A(1,4),则△MAF的周长最小值为√10+5 D.若M派=2丽，则△MON的面积为3 2 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别在棱DC,AD上，且 DE=DC,AF=2AD,其中1∈(0，)，点P是平面ABCD内的一个动点（异于点F), 且AC⊥EP,则() E C A 6 B A.FP⊥AC B.直线，AB与平面BFP所成的角的余弦值为5 C.当1变化时，平面EFP截正方体所得的截面周长为定值 25π D,点P为AB中点时，三棱锥C-EFP的外接球的表面积为 3 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a>0,b>0,且a+3b=1,则ab的最大值为 13.已知数列{a}的前n项和Sn,且满足Sn+2a.=n-1,n∈N+,则a.=一 14.在√1+√的展开式中，有理项的系数之和为一·（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设等差数列{a}的公差为d,且d=2a,4=9 (1)求数列{a}的通项公式： 2)设数列地，满足a地+a.6,+…+ab=3-中3，求秒}的前n项和S 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥ 面ABCD,且PA=3,F在棱PA上，且AF=1,E在棱PD上. D B (1)若CE/面BDF,求PE:ED的值： (2)求二面角B-DF-A的余弦值 17.(15分)用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩 都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60 个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)， 绘制得到如图所示的频率分布直方图 频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩/分 (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数： (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中 成绩优秀人数： (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数 和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差. 1恩17分)已知R,分别为圆C手+号=1a>办>0)的法、布焦点4，分别为状 左、右顶点，P为椭圆C上的个动点，灰。点，-京K面积的最大值为5， (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1交椭圆C于异于点B的两点M，,N,M+@=远-@求证：直线I过定点， 并求此定点的坐标 19.(17分)己知函数f(9)号式-ax+(a-1hg()-b-xlnx的极值为 1 e (1)求实数b的值： (2)当a>1时，讨论函数∫(x)的单调性； (3)当a=1时，若F(x)=f(x)-（x-2)g(x)+x在x∈1，+o)有两个零点，求m的取值 范围