必刷小卷13 小题标准练(13) 8+3+3 73分练 -2026届高三数学三轮冲刺

必刷小卷13 小题标准练[13] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟 分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(新定义运算)定义若,则中元素个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.5 2.(融合三角函数与二次函数)函数的值域是( ) A. B. C. D. 3.(科技创新)对数螺线广泛应用于科技领域.某种对数螺线可以用表达,其中为正实数,是极角,是极径.若每增加个单位,则变为原来的( ) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 4.(三角函数模型)如图,是某港区的某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 5.(融合二项式定理与三角函数)的展开式中的系数为12,则( ) A. B. C. D. 6.(新定义:同余)若非零向量的夹角为锐角,且,则称被“同余”.已知被“同余”,则在方向上的投影数量为( ). A. B. C. D. 7.(融合数列与解三角形)如图,,,,,…均为直角三角形,A,C,D,E,…为直角顶点,,且,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为,则( ) A. B. C. D. 8.(数学文化情境)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,定理内容如下:如果函数在闭区间上的图象连续不间断,在开区间内的导数为,那么在区间内至少存在一点c,使得成立,其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(航空航天情境)某新一代载人航天器在轨运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地面N千米,远地点距地面M千米,地球半径为R千米,则下列说法正确的是( ) A.椭圆的短轴长为千米 B.椭圆的短轴长为千米 C.椭圆的焦距为千米 D.椭圆的长轴长为千米 10.(学科间融合)已知复数,,则下列结论正确的是( ) A.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线 11.(跨学科融合)六氟化硫,化学式为,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形,可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点,若相邻两个氟原子之间的距离为,则下列结论中正确的是( ) A.该八面体的表面积为; B.该八面体的体积为; C.若点P为棱上一动点,存在点P,使得; D.若点P为棱上的动点,则三棱锥的体积为定值. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(新定义:点的斜坐标)已知平面向量,表示夹角为的两个单位向量,为平面上的一个定点,为平面上任意一点,当时,定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为,则 . 13.(融合等差数列和平面向量)已知等差数列的前项和为,若,且,,,四点共面(为该平面外一点),则 . 14.(项目式设计)如图为某企业的产品包装盒的设计图,其设计方案为:将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子,再将剩下的圆台挖去以O为顶点,以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3,,不计损耗,当圆锥的体积最大时,圆的半径为 ,此时,去掉盖子的几何体的表面积为 . 学科网(北京)股份有限公司 $ 必刷小卷13 小题标准练[13] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.（新定义：运算）定义若，则中元素个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.5 【答案】D 【解析】因为且， 当时，n可能为2，4，8，此时x的取值为：，，； 当时，n可能为2，4，8，此时x的取值为：1，，； 当时，n可能为2，4，8，此时x的取值为：2，1，； 综上可知：，所以集合中元素个数为5. 故选：D. 2.（融合三角函数与二次函数）函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 令，，此时函数变为. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，. 当时，.所以在上的值域是. 故选：A. 3.（科技创新）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解析】设所对应的极径为，则，则所对应的极径为，所以，故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B 4.（三角函数模型）如图，是某港区的某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m. 故选：C. 5.（融合二项式定理与三角函数）的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供，余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供，故的系数为，∴，∴， 故选：C 6.（新定义：同余）若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影数量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为被“同余”，所以，即，则在方向上的投影数量为. 故选：A 7.（融合数列与解三角形）如图，，，，，…均为直角三角形，A，C，D，E，…为直角顶点，，且，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，这些直角三角形是相似的，并且相邻两个三角形的相似比为，从而这些三角形的周长从小到大组成的数列是等比数列，公比，首项为的周长，因此. 故选：C 8.（数学文化情境）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】因为，所以.令为在上的“拉格朗日中值点”，则.令，，则在上单调递增.因为，，所以在内只有一个根，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为1. 故选：B 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.（航空航天情境）某新一代载人航天器在轨运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ） A.椭圆的短轴长为千米 B.椭圆的短轴长为千米 C.椭圆的焦距为千米 D.椭圆的长轴长为千米 【答案】ACD 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，解得，所以 故椭圆的短轴长为千米，A正确，B错误；，，故C正确，D正确. 故选：ACD. 10.（学科间融合）已知复数，，则下列结论正确的是( ) A.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线 【答案】AC 【解析】表示复平面内点与点之间的距离为定值2，则z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确； 表示复平面内点到点和的距离之和为2，又，不满足椭圆的定义，故B不正确； 表示复平面内点到点和的距离之差为1，又，满足双曲线的定义，故C正确； 对于D，可化为，表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线，故D不正确. 故选：AC. 11.（跨学科融合）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列结论中正确的是（ ） A.该八面体的表面积为； B.该八面体的体积为； C.若点P为棱上一动点，存在点P，使得； D.若点P为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值. 【答案】ACD 【解析】A：在正八面体中，相邻两个点之间的距离为， 八面体的表面积为，A正确； B：连接，相交于点O，连接，在八面体中，平面是正方形，且平面，，在中，， 所以该八面体的体积为，B错误； C：若点P为棱上一动点，当点P与点重合时，因为在正方形中，，且平面，平面，所以，又因为，是平面内两条相交直线，所以平面，平面可得，C正确； D：在正八面体中，，平面，平面所以平面， 若点P为棱上的动点，则点P到平面的距离与直线到平面的距离相等且是一个定值，三棱锥的体积为是定值，D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．（新定义：点的斜坐标）已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【答案】 【解析】平面向量，表示夹角为的两个单位向量，则有， 依题意，，则. 故答案为：. 13.（融合等差数列和平面向量）已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 因为，，，四点共面，所以，即. 所以. 故答案为：. 14.（项目式设计）如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以O为顶点，以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为 ，此时，去掉盖子的几何体的表面积为 . 【答案】2 ， 【解析】设圆的半径为，， ，则，得 圆锥的体积为 由得 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减则当，即时，取最大值； 圆台的母线长为 圆台的侧面积为 下底面的面积为， 被挖的圆锥的侧面积为 故去掉盖子的几何体的表面积为 故答案为：2， 学科网（北京）股份有限公司 $