必刷小卷15 小题标准练(15) 8+3+3 73分练 -2026届高三数学三轮冲刺

必刷小卷15 小题标准练[15] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (人教A版必修第一册第9页·第5题)设，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于，所以，且，所以. 故选：B 2．(人教A版必修第二册第69页·例1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 【答案】A 【解析】因为z为纯虚数，所以所以x＝－1. 故选：A. 3．（人教A版必修第一册第31页·例5，人教B版必修第一册第30页·例1，例2）[2024·新课标Ⅱ卷] 已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 【答案】B 【解析】选B.通解：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题. 故选：B. 优解(特殊值法)：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，綈p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题. 故选B. 4．(人教A版必修第一册第226页练习·第1题)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) 【答案】C 【解析】因为sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝－2. 故选：C. 5．(人教A版选择性必修第二册第23页·例9)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30. 故选：A. 6.（北师大版必修第一册第73页·第3题）已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0]　　 B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【答案】B 【解析】若函数f(x)在R上单调递增,则需满足　(易忽视分界点处函数值大小的比较)解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0]. 故选：B. 7.（人教A版必修第一册第140页习题4.4·第3题）我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，故， 故选：C. 8. (人教A版选择性必修第一册第99页习题2.5·第13题)[2025·全国一卷]已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是 (　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) 【答案】B 【解析】解法一：直线l：y＝x＋2的斜率为，其与y轴的夹角为，交点为(0，2).故圆C：x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心M(0，－2)到l的距离为2，因此当1<r<3时，圆C上到l的距离为1的点有且仅有两个． 故选B. 解法二：到直线＝y＝x＋2的距离为1的点均在直线l1：y＝x和直线l2：y＝x＋4上．故l1和l2与圆C：x2＋(y＋2)2＝r2的总交点数为2.因为圆C的圆心M(0，－2)到l1的距离为1，到l2的距离为3，故 当r<l时，l1和l2与圆C均没有公共点； 当r＝1时，l1与圆C恰有1个公共点，l2与圆C没有公共点； 当1<r<3时，l1与圆C有2个公共点，l2与圆C没有公共点； 当r＝3时，l1与圆C没有公共点，l2与圆C恰有1个公共点； 当r>3时，l1和l2与圆C均有2个公共点． 故选：B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．(人教A版必修第一册第249页·第2题)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法正确的是（  ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意可得当时，，故小球在开始振动时的位置在；故A正确； 对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为； 故B正确； 对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确； 对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确. 故选：ABC． 10.(人教A版选择性必修第一册第103页·第18题)设曲线的方程为，下列选项中正确的有（     ） A．由曲线围成的封闭图形的面积为 B．满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个 C．若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为 D．若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为 【答案】ACD 【解析】对于曲线，当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分； 当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分； 当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分； 当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分； 当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示， 由图可知， 对于A，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故A正确； 对于B，曲线恰好经过，，，，，，，，共9个整点，故B不正确； 对于C，曲线上两点之间最大距离为，故C正确； 对于D，由直线恒过定点，由知曲线上两点之间最大距离为，故D正确． 故选：ACD． 11．（人教A版选择性必修第一册第42页习题1.4·第5题） 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（    ） A．三棱锥的体积为定值． B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段上存在点，使平面平面． D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 【答案】ABD 【解析】对于选项A，因为平面，平面平面， 所以，点到平面的距离等于， 的面积为， 所以，，故选项A正确； 对于选项B，连接，易知面，又面，所以， 又分别为棱的中点，则，而，所以， 又面，，所以面， 又面，所以平面平面，故选项B正确， 对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角为， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.（人教A版必修第二册第31页·例7）已知向量，若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为，所以，解得，所以. 【速解】，所以存在实数，使得， 所以，所以，则，解得，所以. 故答案为： 13. (人教A版选择性必修第一册第127页·第3题)直线y=x与双曲线-=1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为-9，则离心率_________. 【答案】 【解析】双曲线-=1(a>0)的虚轴长为4, 联立直线y=x与双曲线方程,消去y可得x2=1, 直线y=x与双曲线交于A,B两点,A,B两点的横坐标之积为-9,所以×9=1,解得a=, 所以c==,可得e===. 故答案为：. 14 .(人教A版选择性必修第二册第104页复习参考题5·第9题)[2025·全国二卷]若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________． 【答案】－4 【解析】思路1：由题设可知f′(x)＝(x－1)(x－2)＋(x－1)(x－a)＋(x－2)(x－a).又x－2是f(x)的极值点，故f′(2)＝(2－1)(2－a)＝0，解得a＝2.故f(0)＝(0－1)×(0－2)2＝－4. 思路2：根据已知，1，2，a是f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的三个零点．根据一元三次函数性质，当a≠1，a≠2时，如图所示，在靠近x＝2的两侧函数取值时符号互异，x＝2不可能为极值点；当a＝1时，同理x＝2不可能为极值点，所以a＝2.故f(0)＝(0－1)×(0－2)2＝－4. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 必刷小卷15 小题标准练[15] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (人教A版必修第一册第9页·第5题)设，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2．(人教A版必修第二册第69页·例1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 3．（人教A版必修第一册第31页·例5，人教B版必修第一册第30页·例1，例2）[2024·新课标Ⅱ卷] 已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 4．(人教A版必修第一册第226页练习·第1题)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) 5．(人教A版选择性必修第二册第23页·例9)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为（     ） A． B． C． D． 6.（北师大版必修第一册第73页·第3题）已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0]　　 B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 7.（人教A版必修第一册第140页习题4.4·第3题）我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 8. (人教A版选择性必修第一册第99页习题2.5·第13题)[2025·全国一卷]已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是 (　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．(人教A版必修第一册第249页·第2题)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法正确的是（  ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 10.(人教A版选择性必修第一册第103页·第18题)设曲线的方程为，下列选项中正确的有（     ） A．由曲线围成的封闭图形的面积为 B．满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个 C．若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为 D．若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为 11．（人教A版选择性必修第一册第42页习题1.4·第5题） 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（    ） A．三棱锥的体积为定值． B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段上存在点，使平面平面． D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.（人教A版必修第二册第31页·例7）已知向量，若，则 . 13. (人教A版选择性必修第一册第127页·第3题)直线y=x与双曲线-=1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为-9，则离心率_________. 14 .(人教A版选择性必修第二册第104页复习参考题5·第9题)[2025·全国二卷]若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $