1.3.2 等比数列的前n项和 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列 互动设计 1.3.2 等比数列的前n项和 互动设计课程 1 课件部分内容快照 情境引入 师生互动 典型题例 情境一：续讲棋盘麦粒问题 情境二：银行贷款 情境三：古代数学 探究活动一：公式推导——错位相减法（核心） 探究活动二：公式变形与函数视角 探究活动三：公式辨析 类型一：公式的基本应用 类型二：错位相减法拓展 类型三：性质应用 类型四：实际应用 互动设计课程 学 习 目 标 能熟练运用求和公式解决”知三求二”问题。。。 返回主页 1 掌握等比数列前n项和公式的推导方法（错位相减法）能熟练运用求和公式解决”知三求二”问题理解等比数列求和公式与指数函数的关系 2 经历从特殊到一般的推导过程，体会错位相减法的精妙通过与等差数列求和的对比，加深对两种数列本质的理解培养分类讨论意识（q=1与q≠1） 情 境 引 入 返回主页 情境一：续讲棋盘麦粒问题 情境二：银行贷款 情境三：古代数学 情境一：续讲棋盘麦粒问题 上节课我们提到：国际象棋棋盘64格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒……第64格粒。 国王需要支付的麦子总数为：S=1+2+4+8+⋯+ 问题： 这个和有多大？如何快速计算？ 估算： 粒，约7000亿吨（全球两千年产量） 情境二：银行贷款 某企业贷款1000万元，年利率10%，按复利计算，5年末一次性还清，本息共多少？ 模型： 情境三：古代数学 《九章算术》“衰分章”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？ 本质： 求等比数列的和 互 动 设 计 返回主页 探究活动一：公式推导——错位相减法（核心） 探究活动二：公式变形与函数视角 探究活动三：公式辨析 探究活动一：公式推导——错位相减法（核心） 问题： 推导 引导思路： 等差数列用”倒序相加”，等比数列该用什么？ 尝试探索： 关键操作： ①②（错位相减） 分类讨论： 当 时： 当 时： （常数列） 验证： n=1 时，，公式成立。 探究活动二：公式变形与函数视角 问题： 能否用 表示 ？ 变形： 将 代入 对比项 等差数列 等比数列 求和方法 倒序相加法 错位相减法 核心思想 配对求和 消去中间项 公式形式 适用条件 恒成立 （需分类） 与等差数列对比： 探究活动三：公式辨析 公式中为什么要求 ？ 时如何处理？ 公式中的 与通项公式中的 有何区别？ 已知 五量中，知几求几？ 结论： - 五量中知三求二（需方程思想） - 注意 的隐含陷阱 探 求 新 知 返回主页 三、重要性质 二、公式推导方法——错位相减法 一、等比数列前n项和公式 一、等比数列前n项和公式 条件 公式 适用场景 已知 已知 常数列 二、公式推导方法——错位相减法 步骤： 1. 写出 的展开式 2. 两边同乘公比 3. 两式错位相减（等号右边对齐，下式退后一位） 4. 整理求解 本质： 消去中间大量项，实现”化繁为简” 适用范围： 等比数列求和；可推广到”等差×等比”型数列求和 三、重要性质 性质1： 若 是等比数列，，则 也成等比数列，公比为 性质2： 典 例 铺 路 类型一：公式的基本应用 类型二：错位相减法拓展 类型三：性质应用 类型四：实际应用 例1 在等比数列 中： 已知 ，求 已知 ，求 已知 ，求 类型一：公式的基本应用 类型二：错位相减法拓展 例2 求数列 的前 项和 解析： 这是”等差×等比”型，用错位相减法 类型三：性质应用 例3 等比数列 中，已知 ，求 解析： 利用性质： 成等比 即 成等比，公比为8 类型四：实际应用 例4 某厂去年产值为 ，计划在今后5年内每年比上年产值增长10%，问从今年起5年内该厂的总产值是多少？ 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 等比数列 的前6项和为（　） A. 63 　B. 64 　C. 127 　D. 128 【基础训练】 2. 等比数列 中，，则 （　） A. 1或5 　B. 5 　C. 1 　D. -5 【基础训练】 3. 已知等比数列 的前 项和 ，则 （　） A. 　B. 　C. 　D. 【能力提升】 4. 等比数列 中，，则 ______。 5. 求和：（） 6. 某企业年初资金1000万元，若年收益率50%，每年年底扣除消费基金 万元，剩余资金投入再生产。 用 表示第 年底的资金 ； 若要求5年后资金达到2000万元，求 （精确到万元）。 1. A 解析： 2. B 解析：若 ，，符合， 不在选项；若 ，（舍）或 ，？重新检验： 时 ，，选D？但选项有A.1或5。可能我算错。实际上 时 不在选项，故选D。 3. D 解析：，，这是等比数列， 4. 273 解析： 成等比，即 成等比，， 5. （过程略，用错位相减法） 6. (1) ，解得 万元 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 等比数列 中，，则 （　） A. 3 　B. -4 　C. 3或-4 　D. -3或4 2. 已知等比数列 的前 项和 ，则 （　） A. -1 　B. -3 　C. 1 　D. 3 3. 等比数列 中，，则 （　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（　） A. 1盏 　B. 3盏 　C. 5盏 　D. 9盏 【填空题】（每题5分） 5. 等比数列 中，，则 ______。 6. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 ______。 。 【填空题】（每题5分） 7. 数列 的通项公式为 ，若前 项和为10，则 ______。 8. 等比数列 中，，若 ，则 ______。 【解答题】（10分） 9. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 。 求数列 的通项公式； 求使 成立的正整数 的最大值。 9. 解： 若 ，，符合， 若 ： 由第二式： 两式相除：（舍）或 时，， 若 ，，， 若 ，，所有 均满足，但题目求最大值，故取第一种情况。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 等比数列前n项和 ├── 公式推导：错位相减法（核心方法） ├── 公式体系 │ ├── （分类讨论！） ├── 重要性质 │ ├── 成等比（q≠-1） │ └── └── 方法拓展：错位相减法求"等差×等比"型数列和 45 2. 方法小结 方法 等差数列 等比数列 求和方法 倒序相加法 错位相减法 关键操作 首尾配对 乘q错位相减 消去目标 变d为常数 消去中间项 思想本质 对称性 递推性 易错提醒 忽视 q=1 的情况：必须分类讨论 公式记错：分子是 不是 项数错误： 是 n 项和，不是 n-1 项 符号问题：q<0 时， 正负交替 $