1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列 互动设计 1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 互动设计课程 1 课件部分内容快照 情境引入 师生互动 典型题例 情境一：生活实例 情境二：数学史话 探究活动一：概念形成（类比等差数列） 探究活动二：公式推导（累乘法） 探究活动三：等比中项与性质 类型一：等比数列的判断 类型二：通项公式的应用 类型三：等比中项及应用 类型四：综合应用 互动设计课程 学 习 目 标 掌握等比数列的通项公式，能熟练运用公式进行计算。。。 返回主页 1 理解等比数列的概念，能准确判断等比数列，理解公比的作用掌握等比数列的通项公式，能熟练运用公式进行计算理解等比数列与指数函数的关系 2 经历从具体实例抽象出等比数列概念的过程，体会类比推理的思想通过推导通项公式，掌握累乘法这一重要数学方法通过与等差数列的对比，培养类比迁移能力 情 境 引 入 返回主页 情境一：生活实例 情境二：数学史话 情境一：生活实例 问题1： 某种细胞分裂，1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……细胞个数构成数列： 1,2,4,8,16,⋯ 这个数列有什么特点？ 问题2： 《庄子·天下篇》记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”每日取后剩余长度构成数列： ⋯ 这个数列与前一个有什么共同特征？ 问题3： 银行定期存款，本金10000元，年利率2.25%，按复利计算，各年末本利和为： 10000,10000×1.0225,10000,⋯ 这个数列与前两个有什么不同？ 情境二：数学史话 古印度国王要奖赏国际象棋发明者西萨·班·达依尔，达依尔请求：在棋盘的第1个格子里放1粒麦子，第2个格子放2粒，第3个格子放4粒，依此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个的两倍，直到第64个格子。国王欣然同意，结果发现全国粮食都不够！这就是著名的棋盘麦粒问题。 思考： 第64个格子要放多少粒麦子？ 是一个多大的数？ 互 动 设 计 返回主页 探究活动一：概念形成（类比等差数列） 探究活动二：公式推导（累乘法） 探究活动三：等比中项与性质 探究活动一：概念形成（类比等差数列） 任务： 观察下列数列，找出与等差数列的不同之处： 数列 相邻两项的关系 小组讨论： 这些数列中，从第2项起，每一项与前一项的比值有什么特点？ 2. 这个”比值”可以是负数吗？可以是1吗？可以是0吗？ 3. 尝试用自己的语言描述这类数列的特征。 4. 与等差数列对比，有哪些相似之处？哪些不同之处？ 师生归纳： 形成等比数列的定义，强调与等差数列的类比关系。 探究活动二：公式推导（累乘法） 问题 类比回顾： 等差数列用累加法推导，等比数列该用什么方法？ 法命名： 累乘法（叠乘法） 与等差数列对比： 对比项 等差数列 等比数列 定义 差相等 比相等 推导方法 累加法 累乘法 通项公式 函数类型 一次函数 指数函数 探究活动三：等比中项与性质 问题： 若 a,G,b 成等比数列，G 与 a,b 有什么关系？ 推导： 两个，同号时存在） 小组讨论： 为什么等比中项要求 a,b 同号？若 ab<0 会怎样？ 探 求 新 知 返回主页 一、等比数列的概念 二、等比数列的通项公式 三、与指数函数的关系 四、重要性质（与等差数列类比） 一、等比数列的概念 定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示。 符号语言，q 为非零常数） 注意： 1. q≠0（否则后续项为0，比值无意义） 2. ≠0（等比数列中任何一项都不能为0） 3. q=1 时为常数列（也是等差数列） 4. q<0 时，数列各项正负交替 等比中项： 若 a,G,b 成等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，且 =ab "或" G=± (ab>0) 二、等比数列的通项公式 公式 形式 意义 已知首项、公比、项数，求末项 关于 的指数函数形式 已知任意一项求另一项 三、与指数函数的关系 当 q>0 且 q≠1 时，可看作指数函数 在 x=n 时的函数值。 图象特征： 等比数列的图象是指数函数图象上的一群孤立点 ()。 公比 数列特征 图象趋势 递增（）或递减（） 指数上升或下降 递减（）或递增（） 指数趋近于0 常数列 水平直线 摆动数列（正负交替） 无单调性 四、重要性质（与等差数列类比） 性质 等差数列 等比数列 下标和 中项 等间隔子列 仍为等差数列 仍为等比数列 典 例 铺 路 类型一：等比数列的判断 类型二：通项公式的应用 类型三：等比中项及应用 类型四：综合应用 类型一：等比数列的判断 例1 判断下列数列是否为等比数列，若是，求出公比 q。 1,-3,9,-27,81,⋯ 2,4,8,16,32,⋯ 1,0,0,0,0,⋯ =3⋅ 解析： 是等比数列，q=-3 是等比数列，q=2 不是等比数列（出现0，比值无意义） 是等比数列， 方法总结： 判断等比数列的方法 - 定义法： 验证 是否为非零常数 - 通项法： 验证 是否为 形式 类型二：通项公式的应用 例2 在等比数列 中： 已知 =2,q=3，求 和 已知 =8,a_4=1，求 q 已知 =12,=48，求 和 q 类型三：等比中项及应用 例3 求下列各组数的等比中项： 4,9 -2,-8 （a≠0） 例4 在 3 和 27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求这三个数。 类型四：综合应用 例5 某工厂今年产值为1000万元，计划每年增长10%，问第5年的产值是多少？从今年算起，5年内的总产值是多少？（精确到万元） 解析： - 各年产值成等比数列：=1000,q=1.1 - 第5年产值：=10006105万元（为下节课求和公式铺垫） 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 等比数列 2,6,18,54,⋯ 的第5项为（　） A. 108 　B. 162 　C. 216 　D. 324 (1) -150° + 360° = 210°，第三象限 (2) 650° - 360° = 290°，第四象限 (3) -950° + 3×360° = -950° + 1080° = 130°，第二象限 【基础训练】 2. 等比数列 中，，则 （　） A. 4 　B. -4 　C. 　D. 8 (1) -150° + 360° = 210°，第三象限 (2) 650° - 360° = 290°，第四象限 (3) -950° + 3×360° = -950° + 1080° = 130°，第二象限 【基础训练】 3. 已知 成等比数列，则 ______。 (1) -150° + 360° = 210°，第三象限 (2) 650° - 360° = 290°，第四象限 (3) -950° + 3×360° = -950° + 1080° = 130°，第二象限 【能力提升】 4. 等比数列 中，，则 ______。 5. 在等比数列 中，，则 ______。 6. 已知数列 满足 ，求证： 是等比数列，并求 。 【针对训练答案】 1. B 解析： 2. A 解析：（注意 与 同号） 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 下列数列是等比数列的是（　） A. B. C. D. 2. 等比数列 中，，则 与 的等比中项是（　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 在等比数列 中，，则 （　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 《九章算术》中的”衰分”问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺。若该女子每日织布量是前一日的2倍，则她第3日织布（　） A. 尺 　B. 尺 　C. 尺 　D. 尺 【填空题】（每题5分） 5. 等比数列 的通项公式为 ______。 6. 等比数列 中，，则 ______。 7. 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数之积为 ______。 8. 已知数列 满足 ，若 ，则 ______。 4. 若角α满足180°<α<360°，且5α与α的始边和终边均相同，则α=______。 【解答题】（10分） 9. 已知等比数列 中，。 求数列 的通项公式； 若 分别为等差数列 的第3项和第5项，求 的通项公式； 设 ，求 的值。 9. 解： 设 公差为 ，则 解得 (其他答案自订） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 等比数列 ├── 定义： ├── 通项公式 │ ├── ├── 等比中项：G² = ab（ab>0） ├── 性质：m+n=p+q ⇒ └── 与指数函数的关系 60 2. 方法小结 对比项 等差数列 等比数列 定义 差相等 比相等 公差/比 可为任意实数 中项 （唯一） （两个） 通项 函数类型 一次函数 指数函数 求和方法 倒序相加 错位相减（下节课） 【易错提醒 忽视 q≠0 等比中项漏负值：G=± 奇偶项符号：q<0 时正负交替 混淆等差与等比：下标和性质，等差是和，等比是积 $