9.3二次根式的加法与减法第1课时二次根式的课件2025--2026学年青岛版数学八年级下册

第9章 二次根式 整式 实数 ………… 青岛版 八年级下册 二次根式 数与式 内容提要 ◆ 二次根式的概念 ◆ 二次根式的性质 ◆ 二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 计算 2.公式逆用： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 化简 温故而知新 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 探究一 二次根式的除法法则 = (a≥0，b＞0) 3.二次根式的除法法则： 4.公式逆用： (a≥0，b＞0) 商的算术平方根，等于商中各因式的算术平方根的商. 计算 化简 5．把下列二次根式化为最简二次根式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 6.什么叫最简二次根式？ 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4 创设情境 导入新课 我们已经学习了二次根式的乘法和除法，利用二次根式的乘法和除法法则计算下列式子： （2）÷； 如果将其中的运算符号变成“+”或者“-”: （2）- 如何计算二次根式的加减呢? 青岛版数学 八年级下册 第9章 二次根式 9.3 二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加减法 （1）你会计算下列各式吗？做一做，想一想，你有什么发现吗？ 探究一 二次根式的加减法则 观察与发现 (1)2x＋3x＝_________； (2)3a2－2a2＋a3＝___________． (3)＋2＝________； (4)3－2＋4＝________＝________。 5x a2＋a3 3 5 10 发现1：如果几个二次根式的被开方数相同，那么可直接根据分配律进行加减运算． 发现2：如果几个二次根式的被开方数相同，加减时的方法与合并同类项类似，系数合并，根式部分不变。 探究一 二次根式的加减法则 （2） 如图,矩形ABCD 的周长是多少? 长比宽多多少? 观察与发现 可由勾股定理得 AB=CD==AD=BC==. 矩形ABCD 的周长: 长比宽多: - +2 这两个二次根式可以合并吗？ 探究一 二次根式的加减法则 如何计算+2呢? 思考与交流 分析：因为 与 的被开方数不同，无法直接相加. 如果 与 能化成被开方数相同的形式， 那么就可以类比合并同类项进行运算. 你又有什么发现？ 能化成与 被开方数相同的形式吗？ =2 探究一 二次根式的加减法则 +2 =2+4 ＝(2＋4) ＝6 =2- ＝(2-1) ＝ 我们可以这样来计算: 化为最简二次根式 利用分配律合并 发现3：如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算． 在有理数范围内成立的运算律， 在实数范围内仍然成立. 探究一 二次根式的加减法则 （3）下列各式能合并吗？试一试，你有什么发现？ 思考与交流 探究一 二次根式的加减法则 发现4：将二次根式化成最简式，如果被开方数相同， 则这样的二次根式可以合并. 注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.只有被开方数相同的才能合并。 探究一 二次根式的加减法则 具有这种特征的二次根式是有特殊关系的二次根式 像二次根式 与 ，与 等的最简二次根式的被开方数相同，这样的几个二次根式称为被开方数相同的二次根式 （也称为同类二次根式）。 同类二次根式的概念： 探究一 二次根式的加减法则 例1、先将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出被开方式相同的二次根式？ (1)； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 = = = = = = 解： （1）（2）（6）是同类二次根式； （3）（4）（5）是同类二次根式。 练习1.判断：下列计算是否正确？为什么？ （1）＋ ＝； （2）2＋ ＝2； （3） ＝＋ ＝2＋3＝5． 注意：被开方数不同的二次根式(如与)不能合并． 由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？ 二次根式相加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再分别将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）合并，不能合并的保留在结果中。 二次根式的加减法法则： 探究一 二次根式的加减法则 概括与表达 m + n = (m+n) 二次根式加法与减法的运算步骤： （1）化——将二次根式化为最简二次根式； （2）找——找出被开方数相同的二次根式； （3）并——把被开方数相同的二次根式合并. “一化二找三合并” 探究一 二次根式的加减法则 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别： 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数（式） 被开方数 化简 根号外的因数 （式）相乘除 根号外的因数 （式）相加减 被开方数相乘除 被开方数不变 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 例2.计算: 解： +2 -3× ＝5 -2 - 练习2.计算: （1）； （2）; （3）-； （4）3+4 例3 、计算： 解： （1）+； （2）（）+）； （1）+； =+； =； 不能合并的二次根式不要漏写. （2）（）+）； =+ = 练习3.计算： （1）； （3）; （4）(－)． （2））； (1)＋2－4－； (2)－－＋(－2)0＋. 例4、计算： 25 (1)＋2－4－； ＝＋4－－ (2)－－＋(－2)0＋ . ＝3－－1－＋1＋－1 ＝； ＝－1. 解： 计算后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式． 26 练习4．计算： (1)＋－－＋3； ＝3＋2－2－3＋ ＝； 解： (2) －2－4＋； ＝－－2＋ (3) (3 )－(2－)－2. ＝－－＋2－ ＝； ＝2－. 28 探究二 二次根式的大小比较 例5、（1）比较7与6的大小； （2）比较+与+的大小； （3）比较与-2的大小。 探究二 二次根式的大小比较 （1）比较7与6的大小； 分析：比较两个二次根式的大小，可以转化成比较两个被开方数的大小，即将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大。 转化法 探究二 二次根式的大小比较 （1）比较7与6的大小； 转化法 解：7== 6== ∵294＞252 ∴＞ ∴7＞6 探究二 二次根式的大小比较 （2）比较+与+的大小； 分析：先将两个要比较大小的式子分别平方，再根据当a>0,b>0时，若a2>b2，则a>b； 若a2<b2，则a<b来比较大小。 平方法 探究二 二次根式的大小比较 （2）比较+与+的大小； （+）2 =13+2×+7 =20+2 （+）2 =17+2×+3 =20+2 ∵20+2＞20+2 ∴+＞+ 平方法 探究二 二次根式的大小比较 （3）比较与-2的大小。 分析：先求出a与b的差，再根据 当a-b<0时，a<b；当a-b>0时，a＞b （）-（-2） =3--+2 =5- = ∵＞0 ∴＞-2 作差法 练习5.一个等腰三角形的两边长分别是和， 求它的周长。 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. (1)化——将二次根式化为最简二次根式； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并. “一化二找三并” 二次根式加减法 的运算步骤 二次根式 的加减 法则 1.下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. B 2．下列选项中和是同类二次根式的是（　　） A．3　　B．　　C．　　D．－ D 2.填空 (1) _____. (2) ______. 0 (3)若二次根式 与最简二次根式 能合并，则a＝ ______. 2 3.计算： 解： $