第9章 二次根式（复习课件）数学新教材青岛版八年级下册

单元复习课件 第9章 二次根式 新教材青岛版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解二次根式的概念，会判断给定式子是否为二次根式，明确被开方数为非负数这一关键条件，并能熟练确定二次根式中字母的取值范围. 3.能够熟练进行二次根式的加减乘除运算，运算结果要化为最简二次根式. 2. 掌握二次根式的 性质，能够灵活运用这些性质对二次根式进行化简与变形. 单元学习目标 二次根式 概念 性质 运算 形如 (a≥0)的式子 注意a的取值(二次根式有意义的条件) 最简二次根式 被开方式中不含分母 被开方中不含一个数或式的平方因式 乘除法则 加减法则 先把二次根式化为最简, 在将同类二次根式合并 混合运算 按照运算顺序计算. 单元知识图谱 考点一、二次根式的概念 1．概念：一般来说，形如 的式子叫做二次根式．其中“ ”叫作 ，a叫作 . 注：(1) 判断是否是二次根式必须满足上述2个必备特征. (2) 任何非负数的算数平方根都是二次根式, 不需要看化简后的结果. (3) 二次根式的被开方式a可以是一个数，也可以是一个式子. ≥0） 被开方式 二次根号 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a≥0 考点串讲 考点一、二次根式的概念 2．二次根式有意义的条件： 是为二次根式的前提条件. a≥0 有意义 ⇔ a ≥ 0 无意义 ⇔ a＜0． 3．二次根式双重非负性：式子 既表示 ，又表示非负数a的 . 二次根式 算术平方根 考点串讲 1、 一个非负数的算术平方根的平方等于 . 考点二、二次根式的性质 2、 一个数的平方的算术平方根等于 . 它本身 这个数的绝对值 考点串讲 考点三、二次根式的运算 1、乘法法则： 2、除法法则： 3、二次根式的化简： 考点串讲 考点三、二次根式的运算 4、最简二次根式： 5、同类二次根式： 1) 被开方式中 ; 2) 被开方式中 . 化简后 的二次根式称为同类二次根式. 不含分母 不含一个数或式的平方因式 被开方式相同 考点串讲 考点三、二次根式的运算 7、混合运算： 6、二次根式的加减： 1) 先把各个二次根式 ； 2) 找 的二次根式； 3) 进行 . 口诀：一化、二找、三合并 先 ，在 ，最后 ，有括号的要 里面的. 注：1) 结果要化为 . 2) 结果中 . 化为最简二次根式 被开方式相同 合并 最简二次根式或整式 分母通常不含二次根式 乘方 乘除 加减 先算括号 考点串讲 考点四、分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母得 ，将分母中的 的过程. 分母有理 化的方法 1) 分母为单项式时，分母得有理化因式是分母本身带根号的部分. 2) 分母为多项式时，分母得有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 有理化因式 根号去掉 考点串讲 题型一、二次根式的概念及有意义的条件 例1：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：(1)(4)(6)满足二次根式的特征，(6)中, 所以(1)(4)(6)是二次根式 (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. (2)6没有“”，所以不是二次根式. (3)-12<0，所以不是二次根式. (5) xy<0，所以不是二次根式. (7) 是三次根号，不是二次根号，所以不是二次根式. 题型剖析 题型一、二次根式的概念及有意义的条件 二次根式的判断方法 判断一个式子是否是二次根式，必须满足两个条件： (1) 是否含二次根号； (2)被开方式是否≥0. 只满足其中一个条件或都不满足，都不是二次根式. 题型剖析 题型一、二次根式的概念及有意义的条件 变式：下列式子中，一定属于二次根式的是( ) D 解： A. -6<0，不是二次根式，不符合题意. B. x<2时不是二次根式 ，不符合题意. C. 是三次根号不是二次根号，所以不符合题意. D. +1>0，所以 是二次根式，符合题意. 题型剖析 题型一、二次根式的概念及有意义的条件 例2、当a为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)∵二次根式在实数范围内有意义,∴a+4≥0,解得a≥-4. (2)∵二次根式在实数范围内有意义,∴12-3a≥0,解得a≤4. (3)∵二次根式 在实数范围内有意义且分母不为0, ∴2a-5>0,解得 a> . 题型剖析 题型一、二次根式的概念及有意义的条件 判断二次根式有意义的方法 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数a≥ 0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 题型剖析 题型一、二次根式的概念及有意义的条件 变式：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)由题意得 x-1＞0， ∴x＞1. 解：(2)∵被开方数大于或等于零， ∴3+x≥0 ∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0 ∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 题型剖析 题型二、二次根式的非负性的应用 例3、(1)已知x，y为实数，若满足 (2)若 解：(1) 题型剖析 题型二、二次根式的非负性的应用 二次根式的非负性的应用 二次根式具有双重非负性：(1)a≥0；(2),根据“几个非负性之和等于0，从而得到每个非负性都等于0”构建方程，可求字母或式子的值. 题型剖析 变式：若 a+=2，则求 的值. 解： ∵a+=2 ∴ ∵a-2≥0，≥0 ∴a-2≥0，2-a≥0 ∴a=2 ∴ 题型二、二次根式的非负性的应用 题型剖析 题型三、二次根式的性质 例4、计算： 解：(1)(2) (3) 例5、已知：实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果是多少？ 解：∵a<-2，0<b<2，∴a+b<0，a-b<0 ∴= ∴+ 题型剖析 题型三、二次根式的性质 利用二次根式的性质解题的方法 从题中观察是先开方在平方，还是先平方在开方，选择合适的二次根式的性质公式. 直接利用公式: (1)；(2) 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a，b的大小讨论绝对值内式子的符号. 题型剖析 变式1：实数a，b在数轴上的对应点如图所示，请你化简. 解：由数轴可知a<0，b>0，a－b<0， ∴原式＝|a|－|b|＋|a－b|＝－a－b－(a－b)＝－2a. 题型三、二次根式的性质 题型剖析 变式2：阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是： ________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 题型三、二次根式的性质 题型剖析 解：， ， 故答案为：； (2)由（1）可知：， ， ， ； (3)∵，b，c为的三边长， ，， ，， ． 题型三、二次根式的性质 题型剖析 题型四、最简二次根式 例7、在二次根式 中，最简二次根式的个数是( ). 解: 被开方数有平方因数36，所以不是最简二次根式. 被开方数有平方因数，所以不是最简二次根式. 被开方数有平方因数，所以不是最简二次根式. ，被开方数有分母，所以不是最简二次根式. 1个 题型剖析 题型四、最简二次根式 例8、化简：(1) 解: (1)(2) (3)(4)=== (5)=== 题型剖析 题型四、最简二次根式 求最简二次根式的方法 方法：1.判断：检查被开方数是否有分母，是否有平方因式； 2.化简:(1)去分母：将被开方数的分母有理化； (2)开方：提取被开方数中的平方因数或因式. 题型剖析 题型四、最简二次根式 变式：若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ∴， 故选B． B 题型剖析 题型五、分母有理化 例9: 阅读理解 爱思考的小华在做题时遇到这样的一个问题：已知，求 的值. 他是这样分析与解答的： 题型剖析 题型五、分母有理化 请根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)计算： (2)若 ，求 的值. 解：= 解： ∵m== ∴ ∴ ∴=1 ∴ 题型剖析 题型五、分母有理化 分母有理化 分母形如m±n的式子，分子、分母同乘(m∓n)，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 题型剖析 题型五、分母有理化 变式：已知m＝，n＝，求m2－mn＋n2的值. 解：∵m＝＝－2， n＝2， ∴m2－mn＋n2 ＝(m－n)2＋mn ＝ ＝16＋5－4 ＝17. 题型剖析 题型六、二次根式的运算 例10、下列计算是否正确: 解析：(1)(2)(6)不是同类二次根式，不能合并，所以不正确. (3) =(3)所以不正确. (4)==，所以(4)不正确. (5) =2，所以(5)不正确. (7)正确. 题型剖析 题型六、二次根式的运算 = = = = 例11、计算： 题型剖析 题型六、二次根式的运算 方法二： 题型剖析 题型六、二次根式的运算 二次根式的运算 1. 顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。 2. 统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。 解题技巧 1. 活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。 2. 有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 题型剖析 题型六、二次根式的运算 变式： 题型剖析 1.要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 D 解析：由题得 2.下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 解析：只有是二次根式，所以选A. 针对训练 3.已知，化简 ____ ． 4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 解析: 解析: 针对训练 5. 已知：，求的值 6.已知最简二次根式是同类二次根式，求的值． 解析: 解析: 针对训练 7. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8. 某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 解析: 选项A和C中被开方数有分母，所以不是二次根式. D中被开方式中有平方因数4，所以不是二次根式，所以选B. B 故通道的总面积为() 针对训练 9. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期. (结果保留根号和π) (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？(参考数据：) 解：(1) 答：该座钟摆针摆动的周期为 (2) 答：在 针对训练 10、已知，b=，求 11. 求：的值. … 针对训练 12. 已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 解: ∵，，∴， ,， (1) ； (2) ． 针对训练 13：计算: (1)(2) (3) 解：(1) ； (2) = ． 针对训练 1. 本节课的学习经历了怎样的过程？ 3. 本节课你用到了哪些数学思想？ 2. 你学到了哪些知识？ 概念认知 性质探究 运算应用 类比思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想 (1)什么是二次根式？(2)二次根式有哪些性质？(3)什么是最简二次根式？ (4)如何将二次根式化为最简根式？(5)二次根式的运算法则有哪些？ 课堂总结 感谢聆听! $