精品解析：天津市河东区2025-2026学年 上学期九年级1月期末数学试卷

2025~2026学年第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系内，点(-1，2)关于原点对称点的坐标是（    ） A. （2，-1） B. （1,2） C. （1，-2） D. （-1，-2） 2. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列说法，正确的是（ ） A. “用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B. 概率很大的事件一定会发生 C. 掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D. 某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 4. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 顶点坐标为 D. 由抛物线向上平移一个单位得到 5. 下列4个汉字中，从数学角度看可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在上，点在延长线上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，绕点逆时针旋转得到，连接，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（ ）． A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线．对于下列结论：；；对于任意实数，总有． 其中正确的是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为_____． 14. 已知方程两根分别为，，则的值为_____． 15. 已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 16. 抛物线与轴交点坐标是_____． 17. 如图，四边形中，，，连接，若与角平分线的交点在线段上．当，时． （1）的面积为_____； （2）线段的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点． （1）的长为_____； （2）若圆过点，，，，点为圆外一点，点为圆上一点，当的值最小时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，以及以点为顶点的圆内接正方形，并简要说明该正方形的顶点的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列一元二次方程． (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x. 20. 为了解某校学生每月参加社团活动的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_____，图①中m的值为_____，统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的众数为_____，中位数为_____； （2）求统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的平均数； （3）已知每月参加社团活动的时间是的被调查的学生中有2名男生和3名女生，若从中随机抽取2人，则抽到的2人都是男生的概率为_____． 21. 《义务教育数学课程标准》二次函数部分中的学业要求提到：会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图．我们据此按照如下步骤研究一个具体的二次函数的图象． （1）将二次函数化成的形式，则_____，_____，_____； （2）利用图象的对称性列表： ．．． 2 4 6 10 ．．． ．．． 5 11 ．．． （3）根据表格信息，在下面提供的坐标系中，描点画出二次函数的图象 22. 已知内接于，，点是上一点，连接和． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若延长线与过点的切线交于点，且，记，用含的代数式表示． 23. 某生物科技发展公司投资5000万元，研制出一种绿色保健食品．已知该种绿色保健食品的成本为300元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于800元/件．经市场调查，获得年销售量（万件）与销售单价（元/件）的关系符合一次函数关系式．请根据相关信息，回答下列问题： （1）销售单价的取值范围为_____； （2）经测算：该种绿色保健食品年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元，设销售该种绿色保健食品年获利润（万元）（年获利润为年销售额成本投资）． ①当年销售量为20万件时，销售单价为_____元，每件成本为_____元，此时的年获利润为_____万元； ②填表： 销售单价（元/件） ．．． 400 500 550 600 650 700 ．．． 年获利润（万元） ．．． — 2200 2700 3000 1300 — ．．． ③求出年销售量低于20万件和不低于20万件时，与之间的函数关系式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，中，原点，，，． （1）线段的长为_____，点的坐标为_____； （2）如图，将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．连接，．若存在以，，，为顶点的四边形，记四边形的面积为． （i）当轴时，求的值： （ⅱ）请直接写出的最大值，以及此时点的坐标． 25. 已知二次函数（b，c为常数）． （1）当时，若二次函数图象的对称轴为直线，求该二次函数的最小值； （2）当时，函数的最小值为，最大值为1，求b的值； （3）若二次函数图象的顶点在y轴上，当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系内，点(-1，2)关于原点对称的点的坐标是（    ） A. （2，-1） B. （1,2） C. （1，-2） D. （-1，-2） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】点(-1，2)关于原点对称的点的坐标为（1，-2），故答案为C. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 2. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）各部分的名称解答即可. 【详解】一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是，， . 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 3. 下列说法，正确的是（ ） A. “用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B. 概率很大的事件一定会发生 C. 掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D. 某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的概率，事件的分类，理解概率、事件分类的概念是解题的关键．根据概率、事件分类的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意； B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意； C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意； D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 顶点坐标为 D. 由抛物线向上平移一个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，， 顶点坐标为，故C错误； 抛物线 向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确； 故选：D． 5. 下列4个汉字中，从数学角度看可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，识别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合即可．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C ． 6. 如图，点，，在上，点在延长线上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，添加辅助线构造圆周角是解题的关键． 设点是优弧上（不与，重合）一点，连接、，由圆周角定理求出的度数，由圆内接四边形的性质可得的度数，由邻补角性质即可求的度数． 【详解】解：设点是优弧上（不与，重合）一点，连接、， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 8. 抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由于抛物线开口向上，比较各点与对称轴的距离即可判断值大小． 【详解】解：抛物线 开口向上，对称轴为直线， 点离对称轴越远，值越大， 对于，与对称轴的距离为， 对于，与对称轴的距离为， 对于，与对称轴的距离为， ， 故选：B． 9. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，，，，，无实数根； B、，，，，，有实数根； C、，，，，，有实数根； D、，化为，，，，，有实数根． 故选：A． 10. 如图，绕点逆时针旋转得到，连接，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转前后对应角相等，对应边相等，即可得出结论． 【详解】解：由旋转得，，，， 故选项D结论正确，符合题意； 现有条件不能得出，，， 故选项A，B，C结论不正确，不合题意； 故选：D． 11. 赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理列方程求解半径是解题的关键． 先根据垂径定理求出，再结合拱高用勾股定理列出关于半径的方程，最后解方程即可得到圆的半径． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故选：B． 12. 已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线．对于下列结论：；；对于任意实数，总有． 其中正确的是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由对称轴和点坐标可得，，结合的范围求的范围，再验证各结论即可． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， 二次函数的图象经过点，， ，， ，， 即， ， ， ，故正确； ， ，故正确； ， ， ，， ， 即对于任意实数，总有，故正确； 正确的有：，共个． 故选：D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式求解即可． 【详解】解：总球数为个，绿球有个， 随机取出个球是绿球的概率为． 故答案为：． 14. 已知方程的两根分别为，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ． 故答案为： ． 15. 已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程，是解题的关键．设营养素的初始含量为，日平均分解率为，则每天后剩余含量为前一天的倍．经过天后，剩余含量为，根据题意，该值等于，从而列出方程． 【详解】解：设营养素的初始含量为，日平均分解率为，则每天后剩余含量为前一天的倍． 经过天后，剩余含量为， 根据题意得：． 故答案为：． 16. 抛物线与轴交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．求抛物线与轴的交点坐标，即令，代入抛物线解析式中计算值即可． 【详解】解：令， ， 抛物线与轴交点坐标是． 故答案为：． 17. 如图，四边形中，，，连接，若与的角平分线的交点在线段上．当，时． （1）的面积为_____； （2）线段的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． （1）过点作，交延长线于，于，根据与的角平分线的交点在线段上可得平分，，根据角平分线的性质可得，利用证明，得出，根据可证明和都是等腰直角三角形，得出，利用线段的和差关系可求出，利用勾股定理求出的长可求出的面积； （2）利用三角形外角性质及等腰直角三角形的性质得出，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于，于， ∵与的角平分线的交点在线段上， ∴平分，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点． （1）的长为_____； （2）若圆过点，，，，点为圆外一点，点为圆上一点，当的值最小时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，以及以点为顶点的圆内接正方形，并简要说明该正方形的顶点的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键， （1）连接，利用勾股定理即可求得答案； （2）连接交网格线于点，则为圆心；连接并延长，分别交圆于点，，取格点，连接，交于点，连接并延长，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，取格点，连接，交网格线于点，连接并延长，交圆于点，，顺次连接，，，，则四边形即为所求． 【详解】解：（1）连接，如图： 由题可得：，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． （2）连接交网格线于点，则为圆心；连接并延长，分别交圆于点，，取格点，连接，交于点，连接并延长，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，取格点，连接，交网格线于点，连接并延长，交圆于点，，顺次连接，，，，则四边形即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列一元二次方程． (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x. 【答案】（1）x1＝4＋，x2＝4－；（2）x1＝1，x2＝． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、本题首先将原方程进行配方，然后利用直接开平方的方法求出答案；(2)、本题首先将方程利用十字相乘法进行因式分解，从而求出方程的解． 试题解析：(1)、，，则 解得：； (2)、移项可得：，因式分解可得：(x-1)(2x-1)=0，解得：． 20. 为了解某校学生每月参加社团活动的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_____，图①中m的值为_____，统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的众数为_____，中位数为_____； （2）求统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的平均数； （3）已知每月参加社团活动的时间是的被调查的学生中有2名男生和3名女生，若从中随机抽取2人，则抽到的2人都是男生的概率为_____． 【答案】（1）50，32，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，求众数，中位数，平均数，用列表法求事件的概率，熟练掌握相关知识是关键． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的计算方法求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法求解即可； （3）先列表法求事件所以等可能结果，再找出抽到的2人都是男生的等可能结果，即可根据概率的计算公式计算． 【小问1详解】 解：由图形可知，； ， ； 由条形统计图可知，统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的众数为； 将50个数据从小到大排列，其中中间两个数都为4，所以中位数为． 故答案为：50，32，，． 【小问2详解】 解：， 所以这组学生每月参加社团活动的时间数据的平均数为； 【小问3详解】 解：记2名男生为，，3名女生为，，， 将抽到的等可能结果列表如下： 由表中信息可知，共有20种等可能结果，其中抽到的2人都是男生的等可能结果有2种，分别是和， 所以抽到的2人都是男生的概率为． 故答案为：． 21. 《义务教育数学课程标准》二次函数部分中的学业要求提到：会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图．我们据此按照如下步骤研究一个具体的二次函数的图象． （1）将二次函数化成的形式，则_____，_____，_____； （2）利用图象的对称性列表： ．．． 2 4 6 10 ．．． ．．． 5 11 ．．． （3）根据表格信息，在下面提供的坐标系中，描点画出二次函数的图象 【答案】（1），6，3； （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查将二次函数化为顶点式，用描点法画出二次函数的图象； （1）利用配方法将二次函数化为顶点式，对比系数即可解答； （2）根据顶点式确定函数图象的对称轴，根据对称性求值填表即可； （3）根据（2）的表格数据描点连线即可． 【小问1详解】 解：, ∴，，； 【小问2详解】 解：由可知函数图象关于对称， 当时，， 当时，，则当时，， 当时，，则当时，， 表格如下： ．．． 2 4 6 8 10 ．．． ．．． 11 5 3 5 11 ．．． 【小问3详解】 解：二次函数的图象如图， 22. 已知内接于，，点是上一点，连接和． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若延长线与过点的切线交于点，且，记，用含的代数式表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，四点共圆的性质，三角形内角和定理，切线的性质，平行线的判定和性质； （1）由等边对等角和三角形内角和定理得，，由题意可知A、B、C、D四点共圆，得求出再由即可解答； （2）连接，由题意得，证，再结合等边对等角，三角形内角和定理即可解答． 【小问1详解】 解：，， ，. 内接于，点是上一点，则A、B、C、D四点共圆， ， . 又， ， . 【小问2详解】 如图，连接， 延长线与过点的切线交于点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， . 23. 某生物科技发展公司投资5000万元，研制出一种绿色保健食品．已知该种绿色保健食品的成本为300元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于800元/件．经市场调查，获得年销售量（万件）与销售单价（元/件）的关系符合一次函数关系式．请根据相关信息，回答下列问题： （1）销售单价的取值范围为_____； （2）经测算：该种绿色保健食品年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元，设销售该种绿色保健食品年获利润为（万元）（年获利润为年销售额成本投资）． ①当年销售量为20万件时，销售单价为_____元，每件成本为_____元，此时的年获利润为_____万元； ②填表： 销售单价（元/件） ．．． 400 500 550 600 650 700 ．．． 年获利润（万元） ．．． — 2200 2700 3000 1300 — ．．． ③求出年销售量低于20万件和不低于20万件时，与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）①600，200，3000； ②600，1400；③ 【解析】 【分析】本题考查用一次函数解决销售利润问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“售价不低于成本价，又不高于800元/件”即可解答； （2）①将代入求出x，根据“年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元”算出成本，再查询表格即可解答；②当和时，分别求出值与20比较，确定成本，再根据年获利润公式计算即可解答；③由值确定成本及x取值范围，再根据年获利润公式计算即可解答． 【小问1详解】 解：根据“售价不低于成本价，又不高于800元/件”可得销售单价的取值范围为； 【小问2详解】 解：①将代入得，解得， 由“年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元”得每件成本为， 由表格可知当时，； ②当时，，则， 当时，，则； ③由①知时，根据得y随x的增大而减小， ∴当时，，此时每件成本为300元． ∴，， 当时，，此时每件成本为200元． ∴，． ∴ 24. 如图，在平面直角坐标系中，中，为原点，，，． （1）线段的长为_____，点的坐标为_____； （2）如图，将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．连接，．若存在以，，，为顶点的四边形，记四边形的面积为． （i）当轴时，求的值： （ⅱ）请直接写出的最大值，以及此时点的坐标． 【答案】（1）， （2）（i）；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，通过含有角的直角三角形的性质和勾股定理解直角三角形，依次求得、、、的长，即可得解； （2）（i）延长交轴于点，则轴，根据旋转的性质可知得到，， ,;结合轴可得边的高为,边的高为,然后根据列式计算即可； （ii）过点作于点，过作于点，易得，可得当取最大值时， 最大，当、、、共线时有最大值，此时点、重合，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 过点作于点， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（i）由（1）可知，，，，， ， 将绕点顺时针旋转，得， ，， , 轴， 轴，边的高为, ∴轴, ∴边的高为, 如图，延长交轴于点，则轴， ； （ii）如图，过点作于点，过作于点， ， 显然，当取最大值时， 最大，当、、、共线时有最大值，此时点、重合，如图所示， ，，且， 四边形是菱形， ， 此时点和点关于点对称， 设点， ，， ，， ， 综上，的最大值为，此时点的坐标为． 25. 已知二次函数（b，c为常数）． （1）当时，若二次函数图象的对称轴为直线，求该二次函数的最小值； （2）当时，函数的最小值为，最大值为1，求b的值； （3）若二次函数图象的顶点在y轴上，当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围． 【答案】（1）1 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴公式可得b的值，进而得到二次函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案； （3）当，且y随x的增大而增大时有，则m、n可看成是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，利用判别式和，可求出c的取值范围；当，且y随x的增大而减小时有，可证明，，则可得到是关于x的一元二次方程的两个实数根，根据方程有实数根得到，则；根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵若二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为1，即二次函数的最小值为1； 【小问2详解】 解：由题意得，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∵当时，函数的最小值为，最大值为1， ∴当时，，当时，， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：∵二次函数图象的顶点在y轴上， ∴对称轴为y轴， ∴，即， ∴二次函数解析式为 ∵当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， ∴当，且y随x的增大而增大时有， ∴m、n可看成是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； ∵， ∴当时，y随x增大而增大， ∴， ∴， ∴； ∴当，且y随x的增大而减小时有， 得， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； ∵， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $