2026年广东省广州市中考数学自编模拟卷01

2026届广东省广州市中考数学自编模拟卷01 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画围.答案必须写在答卷各题目指定区城内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区城.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B A A B D C 1． 【答案】C 【详解】解：，，，； 正数大于负数，且两个负数比较时，绝对值大的数更小，，，，， ∴， ∴最小的数是，对应选项C． 故选：C． 2． 【答案】C 【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C符合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 4． 【答案】C 【详解】解：由题知， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 则， 所以． 故选：C． 5． 【答案】B 【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90分，故A正确； ∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是分，故B错误； ∵平均数是分，故C正确； ∵从小到大排序，后5个数，90，90，90，95，95， ∴分位数是90分，故D正确． 综上所述，B选项符合题意， 故选：B． 6． 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 7． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 8． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设为， 由勾股定理可得：，即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 9． 【答案】D 【详解】解：直线与x轴和y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，，解得， 则，， 点C为的中点， ， ， ，解得， 直线过一、二、三象限， ， 则， 反比例函数的图象经过点C， ． 故选：D． 10． 【答案】C 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，，， 根据题意，得，整理，得， 根据根与系数的关系，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得即， 令， ， ， ， ， ， 解得， ， 故， ，， 令，则， ， 根据二次函数的性质，得时，取得最小值， ，，， 根据题意，得 ， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 【答案】54 【详解】解：如图所示， 根据长方形纸条对边平行可得， 根据翻折的性质可得， 故答案为：54． 12． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【答案】120 【详解】解：∵等边内接于， ∴，四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：120． 14． 【答案】18 【详解】解：由 ，通分得 ，即 ． 代入，得 ， 解得 ． 又，代入，， 得． 故答案为：18 15． 【答案】 【详解】解：在上取一点G，使得， ∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【答案】4 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ，即， ， ， 或， 解得：，；------------------------------2分 （2）解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的解．------------------------------4分 18．（本题满分4分） 【答案】见解析 【详解】证明：在和中 ∴------------------------------3分 ∴------------------------------4分 19．（本题满分6分） 【答案】； 【详解】解： ，------------------------------4分 由题意得， ， ∴．------------------------------6分 20．（本题满分6分） 【答案】(1)，补全条形统计图见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：（人）， 一般的人数为：， 补全条形统计图如下： 故答案为：1000；------------------------------2分 （2）解：，；------------------------------3分 （3）解：列表分析如下： 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果， ．------------------------------6分 21．（本题满分8分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为；------------------------------2分 （2）解：点的横坐标为， 点的纵坐标为， 是矩形对角线的交点，边在轴上， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 在反比例函数的图象上， 点的横坐标为；------------------------------4分 （3）解：反比例函数的图象与矩形的边的交点纵坐标为， 交点的横坐标为， 点的横坐标为，------------------------------5分 由（2）可知，点的横坐标为， ， ， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， ，， ．------------------------------8分 22．（本题满分10分） 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 【详解】解：任务一：由题意：， 整理，得：；------------------------------3分 任务二：不能，理由如下： 由题意得，当， 整理得，， ∵， ∴， ∴该不等式无解，即不存在任何实数，使得利润大于元，------------------------------6分 答：每日盈利达不到4500元，故不能实现这一目标；    任务三： ∵ ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为：； 答：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元．------------------------------10分 23．（本题满分10分） 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) (3)10 【详解】（1）解：①如图所示：∵平分， ∴， ∴，即点E为中点， 点E即为所求；------------------------------2分 ②如图所示：点F即为所求；   ------------------------------4分 （2）解：∵是直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴；------------------------------7分    （3）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：．------------------------------10分 24．（本题满分12分） 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为．------------------------------2分 ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为．------------------------------5分 （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)．------------------------------8分 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．------------------------------12分      25．（本题满分12分） 【答案】（1）25；（2）四边形的周长的最小值为30；（3）存在，四边形的周长最大值为． 【详解】解：（1）如图1，点运动至半圆的中点时，，底边上的高最大， ∵半圆O的直径， ∴，此时的面积最大值， ∴， 故答案为：25；------------------------------2分 （2）如图2，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∵正方形的边长为10，点G是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的周长的最小值， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长的最小值为；------------------------------6分 （3）如图3，连接、，在上取一点，使得， ∵，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，------------------------------9分 ∵四边形的周长， ∵， ∴当最大时，四边形的周长最大， ∴当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大， ∴此时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时， ∴四边形的周长最大值为．------------------------------12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省广州市中考数学自编模拟卷01 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画围.答案必须写在答卷各题目指定区城内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区城.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（   ） A．众数是90分 B．中位数是85分 C．平均数是89分 D．分位数是90分 6．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 7．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 10．如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则 °． 12．如图，在中，，若，，，则的长为 ． 13．如图，等边内接于，点在上，连接，．则 ． 14．已知，则的值为 ． 15．如图所示，在矩形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，，满足，则 ． 16．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为 ． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 解方程： (1)； (2) 18．（本题满分4分） 如图，已知：，．求证：． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分6分） 2025年11月2日，2025年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）决赛第二回合在赣州市全民健身中心圆满收官！这场巅峰对决中，赣州队主场击败宜春队，以两回合总比分完胜对手，成功捧起赣超冠军奖杯．本赛季赣超升级为城市联赛，赛事热度空前，决赛现场近 4.4万球迷共同见证荣耀时刻，而联赛创新推出的整面公益看台，更成为传递城市温情的亮点．某网络平台赛后随机调查了部分现场球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的球迷共有______人，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； (3)在“非常了解”里选4人，有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人赠送赣州队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 21．（本题满分8分） 如图，反比例函数的图象经过点，矩形的边在轴上，是矩形对角线的交点，且两点都在反比例函数的图象上，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的横坐标（用含的式子表示）； (3)若反比例函数的图象与矩形的边的交点纵坐标为，求的度数． 22．（本题满分10分） 根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 23．（本题满分10分） 作图与证明 如图，已知是的直径，点C是上的一点，过点B作的切线，与的延长线交于点D，切点为B． (1)实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写做法） ①作的中点E． ②连接并延长与交于点F． 探究发现 (2)试猜想与有何数量关系，并证明你的结论． (3)若，，求的直径． 24．（本题满分12分） 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 25．（本题满分12分） 问题提出： （1）如图①，半圆O的直径，点P是半圆O上的一个动点，则的面积最大值是_______． 问题探究： （2）如图②，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，请探究并求出四边形的周长的最小值． 问题解决： （3）如图③，四边形中，，，，四边形的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省广州市中考数学自编模拟卷01 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画围.答案必须写在答卷各题目指定区城内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区城.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，； 正数大于负数，且两个负数比较时，绝对值大的数更小，，，，， ∴， ∴最小的数是，对应选项C． 故选：C． 2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C符合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：由题知， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 则， 所以． 故选：C． 5．在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（   ） A．众数是90分 B．中位数是85分 C．平均数是89分 D．分位数是90分 【答案】B 【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90分，故A正确； ∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是分，故B错误； ∵平均数是分，故C正确； ∵从小到大排序，后5个数，90，90，90，95，95， ∴分位数是90分，故D正确． 综上所述，B选项符合题意， 故选：B． 6．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 7．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 8．如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设为， 由勾股定理可得：，即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：直线与x轴和y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，，解得， 则，， 点C为的中点， ， ， ，解得， 直线过一、二、三象限， ， 则， 反比例函数的图象经过点C， ． 故选：D． 10．如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，，， 根据题意，得，整理，得， 根据根与系数的关系，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得即， 令， ， ， ， ， ， 解得， ， 故， ，， 令，则， ， 根据二次函数的性质，得时，取得最小值， ，，， 根据题意，得 ， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则 °． 【答案】54 【详解】解：如图所示， 根据长方形纸条对边平行可得， 根据翻折的性质可得， 故答案为：54． 12．如图，在中，，若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，等边内接于，点在上，连接，．则 ． 【答案】120 【详解】解：∵等边内接于， ∴，四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：120． 14．已知，则的值为 ． 【答案】18 【详解】解：由 ，通分得 ，即 ． 代入，得 ， 解得 ． 又，代入，， 得． 故答案为：18 15．如图所示，在矩形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，，满足，则 ． 【答案】 【详解】解：在上取一点G，使得， ∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ，即， ， ， 或， 解得：，； （2）解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的解． 18．（本题满分4分） 如图，已知：，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在和中 ∴ ∴ 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 20．（本题满分6分） 2025年11月2日，2025年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）决赛第二回合在赣州市全民健身中心圆满收官！这场巅峰对决中，赣州队主场击败宜春队，以两回合总比分完胜对手，成功捧起赣超冠军奖杯．本赛季赣超升级为城市联赛，赛事热度空前，决赛现场近 4.4万球迷共同见证荣耀时刻，而联赛创新推出的整面公益看台，更成为传递城市温情的亮点．某网络平台赛后随机调查了部分现场球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的球迷共有______人，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； (3)在“非常了解”里选4人，有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人赠送赣州队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)，补全条形统计图见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：（人）， 一般的人数为：， 补全条形统计图如下： 故答案为：1000； （2）解：，； （3）解：列表分析如下： 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果， ． 21．（本题满分8分） 如图，反比例函数的图象经过点，矩形的边在轴上，是矩形对角线的交点，且两点都在反比例函数的图象上，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的横坐标（用含的式子表示）； (3)若反比例函数的图象与矩形的边的交点纵坐标为，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：点的横坐标为， 点的纵坐标为， 是矩形对角线的交点，边在轴上， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 在反比例函数的图象上， 点的横坐标为； （3）解：反比例函数的图象与矩形的边的交点纵坐标为， 交点的横坐标为， 点的横坐标为， 由（2）可知，点的横坐标为， ， ， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， ，， ． 22．（本题满分10分） 根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 【详解】解：任务一：由题意：， 整理，得：； 任务二：不能，理由如下： 由题意得，当， 整理得，， ∵， ∴， ∴该不等式无解，即不存在任何实数，使得利润大于元， 答：每日盈利达不到4500元，故不能实现这一目标；    任务三： ∵ ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为：； 答：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 23．（本题满分10分） 作图与证明 如图，已知是的直径，点C是上的一点，过点B作的切线，与的延长线交于点D，切点为B． (1)实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写做法） ①作的中点E． ②连接并延长与交于点F． 探究发现 (2)试猜想与有何数量关系，并证明你的结论． (3)若，，求的直径． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) (3)10 【详解】（1）解：①如图所示：∵平分， ∴， ∴，即点E为中点， 点E即为所求； ②如图所示：点F即为所求；    （2）解：∵是直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （3）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：． 24．（本题满分12分） 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      25．（本题满分12分） 问题提出： （1）如图①，半圆O的直径，点P是半圆O上的一个动点，则的面积最大值是_______． 问题探究： （2）如图②，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，请探究并求出四边形的周长的最小值． 问题解决： （3）如图③，四边形中，，，，四边形的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25；（2）四边形的周长的最小值为30；（3）存在，四边形的周长最大值为． 【详解】解：（1）如图1，点运动至半圆的中点时，，底边上的高最大， ∵半圆O的直径， ∴，此时的面积最大值， ∴， 故答案为：25； （2）如图2，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∵正方形的边长为10，点G是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的周长的最小值， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长的最小值为； （3）如图3，连接、，在上取一点，使得， ∵，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ∵， ∴当最大时，四边形的周长最大， ∴当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大， ∴此时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时， ∴四边形的周长最大值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $