精品解析：河南省新乡市辉县市第一初级中学2025～2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025—2026九年级全学年学业水平评估试卷 数学 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，把正确的答案字母填涂在答题卡对应的位置． 1. 下列成语描述的事件为不可能事件的是（ ）． A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 守株待兔 D. 熟能生巧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握相关知识是解题关键． 不可能事件指一定不会发生的事件，通过分析各成语的含义，判断其描述的事件是否可能发生． 【详解】解：对于A．水中捞月：月亮在水中仅为倒影，实际无法捞取，一定不会发生，为不可能事件； 对于 B．一箭双雕：虽困难，但可能发生，不是不可能事件； 对于C．守株待兔：兔子撞树桩为偶然事件，可能发生，不是不可能事件； 对于 D．熟能生巧：指练习多了，就能掌握技巧，是可能实现的，不是不可能事件． 故选：A． 2. 在常温常压下，酚酞遇酸性或中性溶液时呈无色，遇碱性溶液时变为红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：A．盐酸（呈酸性），B．硝酸钾溶液（呈中性），C．氢氧化钠溶液（呈碱性），D．氢氧化钾溶液（呈碱性）．“理小团”同学任取一种溶液滴入酚酞溶液进行检测，则结果恰好变为红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟记列举法求概率及概率公式是解题的关键．任取一种溶液有4种等可能情况，酚酞变红需取到碱性溶液（C或D），共2种情况，因此概率为． 【详解】解：∵总溶液数4种，任取1种，有4种等可能结果， ∵酚酞变红仅当取碱性溶液（C或D），共2种， ∴概率为． 故选：A． 3. 骐骥迎春至，万象启新程！假设中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》将以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，在欢乐吉祥、喜气洋洋的氛围中，与全球华人相约除夕夜，共赴一场昂扬奋发、喜庆温暖、满屏新意的文化盛宴．小红想调查她所在学校学生对“骐骥”寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从该校各年级的每个班中随机抽取的学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的可靠性，熟练掌握抽样调查的可靠性的定义进行求解是解决本题的关键． 应用抽样调查的可靠性进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、仅随机抽取一个班级，忽略其他班级差异，不能很好地反映总体的情况，故此选项不符合题意； B、仅随机抽取一个年级，忽略其他年级差异，不能很好地反映总体的情况，故此选项不符合题意； C、仅随机抽取一部分女生，存在性别偏差，不能很好地反映总体的情况，故此选项不符合题意； D、从各年级每个班随机抽取学生，覆盖全校所有层次，样本最代表总体，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，利用方程根的定义，将所求表达式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 若是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴指数部分，且系数， 解方程 移项得， 因式分解得， ∴或 又∵，即， ∴． 故选：C． 6. 如图，，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：D． 7. 在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ） A. 68 B. 48 C. 72 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，利用三角形中位线等于第三边的一半即可解答． 【详解】解：∵D，E是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 8. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 9. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：连接，设的半径是r，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，连接，根据圆的周长求出半径，得出为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，连接， 由圆的周长得，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴该正六边形的高为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，代数式有意义需满足分式分母不为零，且二次根式中被开方数非负，据此进行求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，则需满足以下条件： 的被开方数，解得； 分式分母 ，解得； 因此，实数的取值范围是 且． 故答案为：且． 12. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，通过抛物线的顶点式确定对称轴和开口方向，比较两点到对称轴的距离，从而判断函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，且系数 ，故开口向上． 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． 由于开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，因此 ． 故答案为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： 与位似，以原点为位似中心，且相似比为，， 点的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 14. 如图，、分别与相切于A、B两点，且，若半径为3，则图中的阴影部分面积是_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、扇形的面积、多边形的内角和，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆的切线的性质可得，再根据多边形的内角和可得，然后利用扇形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵、分别与相切于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵半径为3， ∴图中的阴影部分面积是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，、分别为边和上的高，F、G分别为、的中点．下列结论： ①； ②为等边三角形； ③的周长为周长的一半； ④； ⑤平分． 其中正确的有_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、直角三角形的性质，等边三角形判定和性质；解题关键是利用直角三角形斜边中线的性质证明为等边三角形； 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再证明，即可得出，由此证明结论. 【详解】解：∵、分别为边和上的高， ∴， 又∵F为的中点，即， ∴． ∴，， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形；故②正确； ∵，点G是的中点， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，， ∵为等边三角形； ∴， ∴的周长为，即的周长为周长的一半；故③正确； ∵，，但、不一定相等， ∴不一定成立，故④结论错误； ∵为等边三角形， ∴， 若平分，则， ∴， ∴，而已知不一定等于，故结论⑤不一致； 综上所述：①②③正确. 故答案为：①②③. 三、计算题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数，零指数幂，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的乘法，有理数的乘方，绝对值运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． （3）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ （4）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 【小问2详解】 解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. 【小问3详解】 解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 18. 在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： 连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； 作直线交于点； 以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）； 作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，请说明是切线； （3）若半径为，，求的长． 【答案】（1）如图所示； ； （2）解：理由：连接， 由作图知，是的直径， ∴， ∵是的半径， ∴是切线； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意步骤作图即可； （）由圆周角定理得，结合是半径即可得证； （）先求出，由作图知，直线是的垂直平分线，所以，最后利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，由（）知，， ∵，， ∴， 由作图知，直线是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19. 2025年11月9日第十五届全国运动会在广州开幕．某商店购进了以吉祥物“喜洋洋”“乐融融”为主题的文创品，该文创品每件盈利20元．其中2025年11月9日至11月12日的日销售量如图所示． （1）2025年11月10日至11月12日文创品的日平均增长率为_________； （2）该商店为减少库存，开始降价促销，经调查发现，该文创品每件降价1元，日销量在12日的基础上增加5件，当该文创品每件降价多少元时，日销售利润为750元？ 【答案】（1） （2）5元或10元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． （1）设日平均增长率为x，列方程求解即可； （2）设降价y元，用含y的式子表示日销量和售价，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为x， 由题意，得， 解得，或（负值舍去）， 故日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设降价y元， 由题意，得， 解得，， 故降价5元，或降价10元时，日销售利润为750元． 20. 如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． （1）填空：______； （2）点处到水平地面的距离为______米； （3）求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 【答案】（1） （2）13 （3）通讯塔的高度米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）根据在处测得塔顶的仰角为可得； （2）作，由题意得，据此即可求解； （3）作于点，作于点，设，则，，分别求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵在处测得塔顶的仰角为， ∴； 【小问2详解】 解：作，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵米 ∴米； 【小问3详解】 解：作于点，作于点， ，即， 则米， 米， 设，则，， 由题意知， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ，米， 米， 米， 米， 答：通讯塔的高度米． 21. 在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． （1）求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． （2）若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【答案】（1） （2）小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． 【小问1详解】 解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 22. 如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标； （2）根据当时，即二次函数图象在轴上方的部分，即可写出的取值范围； （3）将，联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时即可求解． 【小问1详解】 解：令，即， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 【小问2详解】 解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或． 【小问3详解】 解：由得，，即， ∵直线与二次函数有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是． 23. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）； （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026九年级全学年学业水平评估试卷 数学 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，把正确的答案字母填涂在答题卡对应的位置． 1. 下列成语描述的事件为不可能事件的是（ ）． A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 守株待兔 D. 熟能生巧 2. 在常温常压下，酚酞遇酸性或中性溶液时呈无色，遇碱性溶液时变为红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：A．盐酸（呈酸性），B．硝酸钾溶液（呈中性），C．氢氧化钠溶液（呈碱性），D．氢氧化钾溶液（呈碱性）．“理小团”同学任取一种溶液滴入酚酞溶液进行检测，则结果恰好变为红色的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 骐骥迎春至，万象启新程！假设中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》将以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，在欢乐吉祥、喜气洋洋的氛围中，与全球华人相约除夕夜，共赴一场昂扬奋发、喜庆温暖、满屏新意的文化盛宴．小红想调查她所在学校学生对“骐骥”寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从该校各年级的每个班中随机抽取的学生 4. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 若是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，则（     ） A. B. C. D. 7. 在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ） A. 68 B. 48 C. 72 D. 36 8. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是________． 14. 如图，、分别与相切于A、B两点，且，若半径为3，则图中的阴影部分面积是_________（结果保留）． 15. 如图，在中，，、分别为边和上的高，F、G分别为、的中点．下列结论： ①； ②为等边三角形； ③的周长为周长的一半； ④； ⑤平分． 其中正确的有_______． 三、计算题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． （3）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ （4）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 18. 在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： 连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； 作直线交于点； 以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）； 作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，请说明是切线； （3）若半径为，，求的长． 19. 2025年11月9日第十五届全国运动会在广州开幕．某商店购进了以吉祥物“喜洋洋”“乐融融”为主题的文创品，该文创品每件盈利20元．其中2025年11月9日至11月12日的日销售量如图所示． （1）2025年11月10日至11月12日文创品的日平均增长率为_________； （2）该商店为减少库存，开始降价促销，经调查发现，该文创品每件降价1元，日销量在12日的基础上增加5件，当该文创品每件降价多少元时，日销售利润为750元？ 20. 如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． （1）填空：______； （2）点处到水平地面的距离为______米； （3）求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 21. 在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． （1）求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． （2）若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 22. 如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 23. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $