专题 1.14 三角形的证明（单元培优卷）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.14 三角形的证明（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，等边的边长为4，点E是边的中点，且，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.5 D．2 3．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，若是的高，是的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 6．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，，将沿折叠，的对应边为，连接．则的长为（　　） A．5 B．2 C． D． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，是等边三角形，，点在上，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 8．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，，，点为上一点，点，分别是点关于、的对称点，则的最小值是 （    ） A． B． C． D．2 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，若，，则的长为 ． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是 ． 13．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则 ．    14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，与的垂直平分线交于点P，连接，，，若，则的度数为 ． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为 ． 17．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是三边都不相等的三角形，平分，平分，且是三边垂直平分线的交点．当点，同时在的内部，且时，的度数为 ． 18．（25-26八年级上·重庆江津·期末）在中，，，点在边上，如图1，若，则的最小值为 ；如图2，将沿折叠，点的对应点恰好落在的角平分线上．于，若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，且． (1)求证：； (2)若，雨伞在开合过程中，当时，的长度是多少？ 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，和交于点． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求线段的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）（1）如图，在四边形中，平分，，． ①如图1，当时，请判断线段与线段的数量关系并证明； ②如图2，当时，①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）如图3，在等腰中，，，平分交边于点．若，求线段的长度． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.14 三角形的证明（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角定理是解题的关键．由折叠的性质可求得，，再利用外角可求得，则可求得答案． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，等边的边长为4，点E是边的中点，且，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作交于点，则，证明为等边三角形，结合题意得出，求出，再证明，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于点，则， ∵等边的边长为4， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，若是的高，是的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义，三角形内角和定理和外角的性质，由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，求得，，由对顶角相等得，由三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分, ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质，解题的关键是利用三角形高线交于一点的性质，结合直角三角形的角的关系计算角度． 先由三角形内角和求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，最后结合直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数． 【详解】解：延长交于点M， 因为，， 所以． 因为，，与交于F， 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即， 所以， 所以． 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 6．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，，将沿折叠，的对应边为，连接．则的长为（　　） A．5 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．过点E作于点F，推出为等边三角形，求得，在中，，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 故选：B． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，是等边三角形，，点在上，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长交于点．将转化为，通过可证，得到，通过所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理分别求出和的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点． ，是等边三角形， ，． ，， ，， ，． 在中，． 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中 ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 8．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，，，点为上一点，点，分别是点关于、的对称点，则的最小值是 （    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则,此时取得最小值，求出，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ∵点分别是点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为上一点， ∴当取得最小值时，则,此时取得最小值， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，设，分别表示出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ A. 不一定等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 没有条件得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，再根据三角形面积公式得出，从而可得为直角三角形，即，过点作交于，连接，则，从而可得为等腰直角三角形，进而得出，证明，得出，，再证明，得出，结合题意求出，，由勾股定理可得，，设点到的距离为，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，，， ∵与的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 如图，过点作交于，连接， ， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 根据证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由光的反射原理可知，，因为，若，所以，，根据三角形内角和定理即可求． 【详解】解：由光的反射原理可知，， ∵，若， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则 ．    【答案】11 【分析】由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由全等三角形的性质可得． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，与的垂直平分线交于点P，连接，，，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质，得，再根据等腰三角形的性质，易求，，从而可求，最后再根据等腰三角形的性质，计算即可求解． 【详解】解：与的垂直平分线交于点P， ，， 则， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 如图，过点作交于点，通过已知条件结合折叠的性质可证明为等边三角形，得到，进而得到，根据直角三角形两个锐角互余得到；再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理求出的长度，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形的内角和问题．根据题意，易得垂直平分，进而推出，根据角平分线定义，得到，再由三角形的内角和定理得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是三边都不相等的三角形，平分，平分，且是三边垂直平分线的交点．当点，同时在的内部，且时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 先根据点O是三边垂直平分线的交点求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 平分，平分， ，， ． 是三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ． ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·重庆江津·期末）在中，，，点在边上，如图1，若，则的最小值为 ；如图2，将沿折叠，点的对应点恰好落在的角平分线上．于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】①由垂线段最短可知，当时，取得最小值，结合角所对的直角边等于斜边的一半，由 可得；②过点作，垂足为，连接，先利用等腰三角形性质得，利用角平分线得出，由三角形内角和定理可得，即，结合可知 垂直平分，故，由折叠性质可知，，从而得，即是等边三角形，因此，由此可得，由得，由三角形外角性质得，因此，最后根据角平分线性质得，即可求解． 【详解】解：①如图，由垂线段最短可知，当时，取得最小值， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作，垂足为，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点落在的角平分线上，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、折叠的性质、线段垂直平分线判定及性质、等边三角形判定及性质、角所对的直角边等于斜边的一半以及角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用证明，即可得到； （2）延长交于点M，交于点N，证明即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：．理由如下： 如图，延长交于点M，交于点N． ， ． 由（1）得． 又， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，且． (1)求证：； (2)若，雨伞在开合过程中，当时，的长度是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三边对应相等的两个三角形全等证明即可； （2）根据全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质解答即可； 本题考查了三角形的全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中，（已知） （已知）（公共边） ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得，根据折叠的性质得，再根据直角三角形两锐角互余可推出，即可得证； （2）如图，过点作于点，根据勾股定理得，根据三角形等积变换得，再结合折叠的性质推出，最后再根据勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，和交于点． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②线段的长为 【分析】本题考查三角形角度有关的计算，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形中边的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角度等量代换，得出，又由于对顶角相等，即，最终可证出； （2）①过点作交于点，由等腰三角形的性质，得出，随后证明出，即可得到；②根据，以及，得出，结合的直角三角形中边的性质，可得出，结合勾股定理，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是的高线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （2）解：①过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴为等腰三角形，， ∴为中点， 即， ∴，结合，， ∴， ∴． ②∵， ∴， 又∵， ∴， 即在中，， ∴, 结合勾股定理可得 故线段的长为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）（1）如图，在四边形中，平分，，． ①如图1，当时，请判断线段与线段的数量关系并证明； ②如图2，当时，①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）如图3，在等腰中，，，平分交边于点．若，求线段的长度． 【答案】（1）①，证明见解析；②成立，理由见解析．（2）． 【分析】（1）①利用角平分线的性质定理即可证得；②过点D作交延长线于点E，作于点F，可得，证明即可； （2）过点D作交于点E，作于点F，作交延长线于点G，则，由角平分线性质得，得，得，即可得到结论． 【详解】解：（1）①． 证明：∵，平分， ∴； ②成立．理由如下： 过点D作交延长线于点E，作于点F， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵在等腰中，，， ∴， ∵平分， ∴， 过点D作交于点E，作于点F，作交延长线于点G， 则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，解本题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的辅助线作法是解题的关键． （1）①根据角平分线的性质与三角形外角和定理即可求解；②在上截取，证明与即可得到； （2）①根据角平分线的性质得出距离相等，结合三角形面积即可求解；②在上取一点G使得，在上取点H使得，证明与，结合（2）①，即可解得． 【详解】（1）①解：， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：60； ②证明：如图，在上截取， 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①设点F到距离为，点F到距离为，点A到距离为h， 平分， ， ， ， ，， ； ②在上取一点G使得，在上取点H使得， 在与中， ， ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 平分， 由（2）①， ， ，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $